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高中数学
第六章 导数(高中版)
复合函数的导数
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2025-04-12 14:20
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复合函数的导数
## 复合函数求导 设$y=f(u), u=f(x)$ ,则 可将 $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d y}{d u} \cdot \dfrac{d u}{d x}$ 看作是**分数的约分**过程。 > 复合函数求导，犹如剥洋葱，一层层从外往里剥，直到剥到最里层。最里层即是微分表里所载的16个[基本微分函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)，这种法则被称为**洋葱法则**, 详细推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=290) `例`求导：$y=(2 x-3)^3$; 解：$y=(2 x-3)^3$ 可由 $y=u^3$ 及 $u=2 x-3$ 复合而成, 所以 $y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \times 2=\left(u^3\right)^{\prime} \times 2=3 u^2 \times 2=6 u^2=6(2 x-3)^2$. `例`设 $y=e^{3 x+1}$ ，求 $y^{\prime}$ 。 解：拆分: $y=e^u, u=3 x+1$ 所以， $y^{\prime}=e^u \cdot 3=3 e^{3 x+1}$ 记得要把$u$带回去 `例`设 $y=\ln \sin x$, 求 $y^{\prime}$
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