最后更新: 2025-04-12 14:20 查看: 45 次反馈刷题

复合函数的导数

## 复合函数求导

设$y=f(u), u=f(x)$ ,则

可将 $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d y}{d u} \cdot \dfrac{d u}{d x}$ 看作是**分数的约分**过程。

> 复合函数求导，犹如剥洋葱，一层层从外往里剥，直到剥到最里层。最里层即是微分表里所载的16个[基本微分函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)，这种法则被称为**洋葱法则**, 详细推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=290)

`例`求导：$y=(2 x-3)^3$;
解：$y=(2 x-3)^3$ 可由 $y=u^3$ 及 $u=2 x-3$ 复合而成,
所以 $y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \times 2=\left(u^3\right)^{\prime} \times 2=3 u^2 \times 2=6 u^2=6(2 x-3)^2$.

`例`设 $y=e^{3 x+1}$ ，求 $y^{\prime}$ 。
解：拆分: $y=e^u, u=3 x+1$
所以， $y^{\prime}=e^u \cdot 3=3 e^{3 x+1}$
记得要把$u$带回去

`例`设 $y=\ln \sin x$, 求 $y^{\prime}$.
解： 拆分: $y=\ln u, u=\sin x$
所以
$$
\begin{aligned}
y^{\prime} & =\frac{1}{u} \cdot \cos x \\
& =\frac{\cos x}{\sin x} \\
& =\cot x
\end{aligned}
$$

当我们熟练了以后，通常不写出中间步骤，而是一气呵成。

`例` 设实数 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，求证：$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$ ．
证明 因为 $a^x= e ^{\ln a^x}= e ^{x \ln a}$ ，可以把 $y= e ^{x \ln a}$ 看作由 $y= e ^x$与 $u=x \ln a$ 复合而成，所以

$$
y^{\prime}=\left(e^u\right)^{\prime} \ln a=e^u \ln a=e^{x \ln a} \ln a=a^x \ln a,
$$

$$
\text { 即 }\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a \text {. }
$$

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