最后更新: 2025-05-16 08:17 查看: 563 次反馈同步训练

导数的四则运算

## 求导法则
两个导数的加、减、乘与除被称为倒数的四则运算，也叫求导法则。求导法则如下：

$$
\begin{aligned}
& (cu)^{\prime}=c(u') \\
&(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\\
&(u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}\\
&(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\\
&\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}(\mathrm{v} \neq 0)
\end{aligned}
$$

### 简单证明
#### 导数加法证明
一般地, 和函数 $u(x)=f(x)+g(x)$ 的导数, 等于两函数的导数和.这是因为：

$$
\begin{aligned}
\frac{u(x+d)-u(x)}{d} & =\frac{f(x+d)+g(x+d)-(f(x)+g(x))}{d} \\
& =\frac{f(x+d)-f(x)}{d}+\frac{g(x+d)-g(x)}{d}
\end{aligned}
$$

当 $d \rightarrow 0$ 时, $\xrightarrow[d]{f(x+d)-f(x)} \rightarrow f^{\prime}(x), \frac{g(x+d)-g(x)}{d} g^{\prime}(x)$,
于是, $(f(x)+g(x))^{\prime} \rightarrow f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$.
即两函数之和的求导法则为

$$
(f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) .
$$

#### 导数乘法证明
设
$$
\begin{aligned}
&  F(x)=f(x) g(x) \text {, 则 }\\
&\begin{aligned}
& \frac{F(x+d)-F(x)}{d} \\
= & \frac{f(x+d) g(x+d)-f(x) g(x)}{d} \\
= & \frac{f(x+d) g(x+d)-f(x+d) g(x)+f(x+d) g(x)-f(x) g(x)}{d} \\
= & \frac{f(x+d) g(x+d)-f(x+d) g(x)}{d}+\frac{f(x+d) g(x)-f(x) g(x)}{d} \\
= & f(x+d) \cdot \frac{g(x+d)-g(x)}{d}+g(x) \cdot \frac{f(x+d)-f(x)}{d} .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

当 $d \rightarrow 0$ 时,

$$
f(x+d) \rightarrow f(x), \frac{g(x+d)-g(x)}{d} \rightarrow g^{\prime}(x), \frac{f(x+d)-f(x)}{d} \rightarrow f^{\prime}(x),
$$

所以

$$
F^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x)
$$

即函数乘积的求导法则为

$$
(f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)
$$

## 例题

`例` 求曲线 $y=\tan x$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4}\right)$ 处的切线方程.
解 因为

$$
\begin{aligned}
(\tan x)^{\prime} & =\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime} \\
& =\frac{(\sin x)^{\prime} \cos x-(\cos x)^{\prime} \sin x}{\cos

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：求导公式

下一篇：复合函数的导数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)