最后更新: 2025-12-13 09:35 查看: 673 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

利用导数求曲线的切线与法线★★★★★

## 函数导数的定义求切线与法线
导数$f'(x_0)$的几何意义是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的**切线斜率**，需掌握切线方程的公式
$$
\boxed{
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)  ...(切线方程公式)
}
$$

法线与切线垂直，其斜率为$-\frac{1}{f'(x_0)}$（$f'(x_0)\neq0$），则法线方程为

$$
\boxed{
y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)  ...(法线方程公式)
}
$$

`例` 求曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程与法线方程。
解：首先，对 $y=x^2$ 求导，根据求导公式 $\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}$ ，可得 $y^{\prime}=2 x$ 。
然后，将 $x=1$ 代入 $y^{\prime}$ ，得到切线的斜率 $k=y^{\prime}{ }_{x=1}=2 \times 1=2$ 。

最后，利用[点斜式方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=688)，已值直线的斜率k=2和所过的点(1,1)， 则切线方程为 $y-1=2(x-1)$ ，整理得 $2 x-y-1=0$ 。

![图片](/uploads/2025-12/3ea438.jpg){width=400px}
 
和切线垂直度直线是法线，参考上图，两条直线垂直则斜率乘积为-1，因此法线的斜率为 $k=-\frac{1}{2}$ 所以法线方程为
$$
y-1=-\frac{1}{2}(x-1)
$$
即
$\frac{1}{2}x+y-\frac{1}{2}=0$

`例` 函数 $f(x)=x^4-2 x^3$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为.
解：$f(x)=x^4-2 x^3$
   $\therefore f^{\prime}(x)=4 x^3-6 x^2$
   $ \therefore f^{\prime}(1)=-2$ ，

这表示切线的斜率$k=-2$ , 所求切线的方程为 $y+1=-2(x-1)$ ，
即 $y=-2 x+1$

`例` 已知曲线 $y=a e ^x+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ,求$a,b$
解： 
$$
\begin{aligned}
&   y^{\prime}=a e^x+\ln x+1, \\
& k=\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=a e+1=2, \quad \therefore a=e^{-1}
\end{aligned}
$$

将 $(1,1)$ 代入 $y=2 x+b$ 得 $2+b=1, b=-1$

## 求过某点的切线方程
当题目给出过某点的切线时，需要特别注意切线的条数。通常过曲线上一点左曲线的切线有一条，过曲线外一点做封闭曲线的切线会有两条，比如已知圆外的一点，向圆做切线，他就会有两条，有些图像过一点甚至会有3条甚至更多切线。

![图片](/uploads/2025-12/70ec66.jpg){width=300px}

`例` 已知曲线曲线方程：$y = x^3 - 3x$, 计算过点$(2,2)$的切线方程。

解：
 **1.判断点是否在曲线上**
首先，检查 $ (2, 2) $ 是否在曲线上：
$$
y(2) = 8 - 6 = 2
$$
所以 $ (2, 2) $ 在曲线上。

**2. 求导数得斜率**
$$
y'(x) = 3x^2 - 3
$$
在 $ x = 2 $ 时：
$$
y'(2) = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9
$$

**3. 切线方程（点在曲线上）**
已知点 $ (2, 2) $ 在曲线上，斜率 $ m = 9 $：
$$
y - 2 = 9(x - 2)
$$
$$
y = 9x - 18 + 2
$$
$$
y = 9x - 16
$$

**4. 确认是否还有别的切线过 (2, 2)**
因为问题说的是“曲线过点的切线方程”，通常若点 **在曲线上**，则一般只有一个切线（该点处的切线），但是，在本题里，因为曲线是三次函数，不是闭曲线，过该点不同切线只可能发生在：或者点不在曲线上，从该点向曲线可以作多条切线；或者曲线在该点有多条切线（比如尖点）。

但我们检查这里： 设切点为 $ (a, a^3 - 3a) $，则切线斜率：
$$
y'(a) = 3a^2 - 3
$$
切线方程：
$$
y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a)
$$
要求此直线过 $ (2, 2) $：
$$
2 - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(2 - a)
$$
 
**5. 解上面方程**
整理：
左边 $ 2 - a^3 + 3a $。
右边 $ (3a^2 - 3)(2 - a) = 6a^2 - 3a^3 - 6 + 3a $   
即
$$
2 - a^3 + 3a = 6a^2 - 3a^3 - 6 + 3a
$$

化简 
$$
a^3 - 3a^2 + 4 = 0
$$

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