最后更新: 2025-12-08 20:46 查看: 128 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数的最大值与最小值★★★★★

## 极值和最值的比较
在许多理论和现实的问题中，常常需要求函数的最大值或者最小值（统称为**最值**）。最值反映了函数在定义域上**整体**的情况，而极值则仅考虑函数在某点附近的**局部特征**。有时最值和极值是一致的，但有时却不一致。

如果考虑一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在，参考下图，函数的最值出现在函数的**极值点**或者**两端端点**。

![图片](/uploads/2025-09/c5e388.jpg){width=500px}
 
因此，要求函数的最值，只要把极值点和端点求出来，进行比较即可。
 
## 最值的求法

### 用导数求函数 $f(x)$ 最值的基本方法
（1）求导函数：求函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ ；
（2）求极值嫌疑点：即 $f^{\prime}(x)$ 不存在的点和 $f^{\prime}(x)=0$ 的点；
（3）列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出 $f^{\prime}(x)$ 与 $f(x)$ 随 $x$ 变化的一览表；
（4）求极值：依（3）的表中所反应的相关信息，求出 $f(x)$ 的极值点和极值；
（5）求区间端点的函数值；
（6）求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数 $f(x)$ 在其定义域内的最大值和最小值．

`例`  已知 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-x+2$ ，求函数 $y=f(x)$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值．

解：
**1.写出函数**
$$
f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x + 2
$$
定义域：在 $[0,3]$ 上考察。

**2.求导找驻点**
$$
f'(x) = x^{2} - 1
$$
令 $f'(x) = 0$：
$$
x^{2} - 1 = 0
$$
$$
x = 1 \quad (\text{在区间内}), \quad x = -1 \ (\text{不在区间内})
$$
所以区间 $(0,3)$ 内唯一驻点是 $x = 1$。

**3.计算关键点处的函数值**

我们要比较：
$$
f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 0 + 2 = 2
$$

$$
f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \approx 1.333
$$

$$
f(3) = \frac{1}{3}(27) - 3 + 2 = 9 - 3 + 2 = 8
$$

**4.区间内增减性**  
由 $f'(x) = x^2 - 1$：
- 当 $0 \le x < 1$，$x^2 - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$，函数单调递减；
- 当 $1 < x \le 3$，$x^2 - 1 > 0 \implies f'(x) > 0$，函数单调递增。

所以在 $x=1$ 处取极小值（也是局部极小值，但不是区间最小值，因为比较端点才知道）。

**5.比较大小（极值点和端点）**  
$$
f(0) = 2
$$
$$
f(1) = \frac{4}{3} \approx 1.333
$$
$$
f(3) = 8
$$

显然：
最大值：$f(3) = 8$
最小值：$f(1) = \frac{4}{3}$

`例` 已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}-1$ ，求函数 $f(x)$ 的最小值。
解：求出定义域，求导，得到函数单调性，进而得到最值；
由题意得 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，
且 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$ ，
当 $0<x<1$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；
当 $x>1$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，

故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，
所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也是最小值，
所以 $f(x)_{\min }=f(1)=0$ ．

`例`  求函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值。

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