最后更新: 2025-04-12 14:57 查看: 7 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

利用导数求最值

## 利用导数研究函数的最值
在许多理论和现实的问题中，常常需要求函数的最大值或者最小值（统称为最值）。最值反映了函数在定义域上整体的情况，而极值则仅考虑函数在某点附近的局部特征。有时最值和极值是一致的，如函数 $y=\sin x$ ；但有时却不一致，如图 5－3－2 所示的函数

![图片](/uploads/2025-04/43a461.jpg)

当然，一个函数的极值与最值可能都不存在，如函数 $y=x^3$ 。但是，如果考虑一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在。

上面所说的一个区间 $I$ 上的连续函数，可以直观地理解为在区间I上图像为一条连绵不断的曲线的函数

`例`  已知 $f(x)=-x^2+6 x-1$ ，求函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0,7]$ 上的最大值与最小值．
解 对函数求导，得 $f^{\prime}(x)=-2 x+6$ ．令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=3$ ，从而 $x=3$ 为函数 $y=f(x)$ 的唯一驻点．把该驻点与其两侧的区间列表如下：
 ![图片](/uploads/2025-04/5bf588.jpg)
 
 比较 $f(3)=8, f(0)=-1, f(7)=-8$ ，可知该函数在 $[0,7]$ 上的最大值是 8 ，最小值是 -8 ，如图 5－3－3 所示．
  ![图片](/uploads/2025-04/fbabcf.jpg)
  
  在本例中，**我们对驻点处与区间两端点处的函数值进行比较**，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．
  
  
  
  
`例`  已知 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-x+2$ ，求函数 $y=f(x)$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值．

解  函数 $y=\frac{1}{3} x^3-x+2$ 的两个驻点为 $x_1=-1, x_2=1$.

由于驻点 $x_1=-1$ 不在区间 $[0,3]$ 内，因此只需比较 $f(1)=\frac{1}{3}, f(0)=2, f(3)=8$ ，可知函数 $y=\frac{1}{3} x^3-x+2$ 在 $[0,3]$ 上的最大值是 8 ，最小值是 $\frac{4}{3}$ ．

`例`已知某商品的成本 $C$ 与产量 $q$ 满足函数关系 $C=$ $C(q)$ ，其中 $C(q)=100+\frac{1}{4} q^2$ ，并定义平均成本为 $\bar{C}=\bar{C}(q)$ ，其中 $\bar{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$ ．
（1）比较 $C^{\prime}(10)$ 和 $C^{\prime}(20)$ ，解释两者的大小代表了怎样的实际意义；
（2）当产量为多少时，平均成本最少？
解（1）因为 $C^{\prime}(q)=\frac{1}{2} q$ ，所以 $C^{\prime}(10)=5, C^{\prime}(20)=10$ ，有 $C^{\prime}(10)<C^{\prime}(20)$ ．
$C^{\prime}(10)=5$ 代表当产量为 $q=10$ 时，增加单位产量需付出的成本增加量为 5 ；而 $C^{\prime}(20)=10$ 代表当产量为 $q=20$ 时，增加单位产量需付出的成本增加量为 10 。
（2）平均成本 $\bar{C}(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{100}{q}+\frac{q}{4}, \bar{C}^{\prime}(q)=-\frac{100}{q^2}+\frac{1}{4}$ ．
令 $\bar{C}^{\prime}(q)=0$ ，得 $q^2=400$ ，根据实际意义，可知 $q>0$ ，因此，$q=20$ 是其驻点．

当 $0<q<20$ 时， $\bar{C}^{\prime}(q)<0$ ，函数 $\bar{C}=\bar{C}(q)$ 严格减；而当 $q>$ 20 时， $\bar{C}^{\prime}(q)>0$ ，函数 $\bar{C}=\bar{C}(q)$ 严格增．因此，当产量 $q=20$ 时，平均成本最少．

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