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高中数学
第六章 导数(高中版)
三次函数的单调区间和极值
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2024-12-29 09:17
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三次函数的单调区间和极值
## 三次函数的单调区间和极值 三次函数的导数是二次函数，下面我们来讨论一般的三次多项式函数. 设 $F(x)=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$ ，则 $F^{\prime}(x)=3 a x^2+2 b x+c$ 是二次函数。可能有以下三种情形： **情形1** 函数 $F^{\prime}(x)$ 没有零点, $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不变号, 如下图 (1) 若 $a>0$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 恒为正， $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递增。 (2) 若 $a<0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 恒为负, $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递减.  **情形2** 函数 $F^{\prime}(x)$ 有一个零点 $x=w$, 如下图 (1) 若 $a>0$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, w) \cup(w,+\infty)$ 上恒为正， $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递增。 (2) 若 $a<0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, w) \cup(w,+\infty)$ 上恒为负, $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递减.  **情形3** 函数 $F^{\prime}(x)$ 有两个零点 $x=u$ 和 $x=v$, 设 $u<$ $v$, 如下图, 根据二次函数的性质可得: (1) 若 $a>0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, u)$ 和 $(v,+\infty)$ 上为正, 在 $(u, v)$ 上为负, 对应地, $F(x)$ 在 $(-\infty, u)$ 上递增, 在 $(u, v)$ 上递减, 在 $(v,+\infty)$ 上递增. 可见 $F(x)$ 在 $x=u$ 处取极大值, 在 $x=v$ 处取极小值. (2) 若 $a<0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 在
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