最后更新: 2024-12-29 09:17 查看: 155 次反馈刷题

三次函数的单调区间和极值

## 三次函数的单调区间和极值
三次函数的导数是二次函数，下面我们来讨论一般的三次多项式函数.

设 $F(x)=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$ ，则 $F^{\prime}(x)=3 a x^2+2 b x+c$ 是二次函数。可能有以下三种情形：

**情形1** 函数 $F^{\prime}(x)$ 没有零点, $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不变号, 如下图
(1) 若 $a>0$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 恒为正， $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递增。
(2) 若 $a<0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 恒为负, $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递减.
 ![图片](/uploads/2024-12/22e535.jpg)
 
 
 **情形2** 函数 $F^{\prime}(x)$ 有一个零点 $x=w$,  如下图
(1) 若 $a>0$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, w) \cup(w,+\infty)$ 上恒为正， $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递增。
(2) 若 $a<0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, w) \cup(w,+\infty)$ 上恒为负, $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上递减.
 ![图片](/uploads/2024-12/53bd36.jpg)
 
 
**情形3** 函数 $F^{\prime}(x)$ 有两个零点 $x=u$ 和 $x=v$, 设 $u<$ $v$, 如下图, 根据二次函数的性质可得:
(1) 若 $a>0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, u)$ 和 $(v,+\infty)$ 上为正, 在 $(u, v)$ 上为负, 对应地, $F(x)$ 在 $(-\infty, u)$ 上递增, 在 $(u, v)$ 上递减, 在 $(v,+\infty)$ 上递增.
可见 $F(x)$ 在 $x=u$ 处取极大值, 在 $x=v$ 处取极小值.
(2) 若 $a<0$, 则 $F^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, u)$ 和 $(v,+\infty)$ 上为负, 在 $(u, v)$ 上为正, 对应地, $F(x)$ 在 $(-\infty, u)$ 上递减, 在 $(u, v)$ 上递增, 在 $(v,+\infty)$ 上递减.

可见 $F(x)$ 在 $x=u$ 处取极小值, 在 $x=v$ 处取极大值.
 ![图片](/uploads/2024-12/f5aba5.jpg)
 
 `例` 求 $f(x)=x^3-x^2+2 x+1$  函数的单调区间和极值.
 
 解： 因为 $f^{\prime}(x)=3 x^2-2 x+2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{5}{3}$,
所以 $f^{\prime}(x)$ 恒为正, $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增,
因此 $f(x)$ 没有极值. 其图像如下图
 ![图片](/uploads/2024-12/865dcb.jpg)
 
 
 `例` 求 $h(x)=-2 x^3+9 x^2-12 x+5$.  函数的单调区间和极值.
 解：$h^{\prime}(x)=-6 x^2+18 x-12=-6\left(x^2-3 x+2\right)=-6(x-1)(x-2)$.
令 $h^{\prime}(x)=0$, 得 $x=1$ 或 $x=2$ 。
1 和 2 将区间 $(-\infty,+\infty)$ 分为三个区间, 列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-12/89ea84.jpg)
 故 $h(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 和 $(2,+\infty)$ 上单调递减, 在 $(1,2)$ 上单调递增, 因而极大值为 1 , 极小值为 0 。
 其图像如下
  ![图片](/uploads/2024-12/9564bf.jpg)

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：利用导数求最值

下一篇：高考导数压轴题

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)