最后更新: 2025-05-20 09:55 查看: 115 次反馈同步训练

高考研究：导数与切线问题

导数的几何意义就是曲线的切线，因此，利用导数研究曲线切线是基本技能。

## 求切线方程
`例`已知函数 $f(x)=2 e ^2 \ln x+x^2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 （e，f（e））处的切线方程为
A． $4 e x-y+ e ^2=0$
B． $4 e x-y- e ^2=0$
C． $4 e x+y+ e ^2=0$
D． $4 e x+y- e ^2=0$

解： 因为 $f(x)=2 e ^2 \ln x+x^2$ ，所以 $f^{\prime}(x)=\frac{2 e ^2}{x}+2 x$ ，所以 $f(e)=2 e^2 \ln e+e^2=3 e^2, ~ f^{\prime}(e)=4 e$ ，
所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $( e , f( e ))$ 处的切线方程为 $y-3 e ^2=4 e (x- e )$ ，即 $4 e x-y-e^2=0$，选D

`例` 曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

先求当 $x>0$ 时，曲线 $y=\ln x$ 过原点的切线方程，设切点为 $\left(x_0, y_0\right)$ ，则由 $y^{\prime}=\frac{1}{x}$ ，得切线斜率为 $\frac{1}{x_0}$ ，
又切线的斜率为 $\frac{y_0}{x_0}$ ，所以 $\frac{1}{x_0}=\frac{y_0}{x_0}$ ，
解得 $y_0=1$ ，代入 $y=\ln x$ ，得 $x_0= e$ ，
所以切线斜率为 $\frac{1}{ e }$ ，切线方程为 $y=\frac{1}{ e } x$ ．
同理可求得当 $x<0$ 时的切线方程为 $y=-\frac{1}{ e } x$ ．
综上可知，两条切线方程为 $y=\frac{1}{ e } x, y=-\frac{1}{ e } x$ ．

## 求参数的值(范围)
`例`已知 $a$ 为非零实数，直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=$ $a \ln (x+1)$ 相切，则 $a=$

解： 设切点坐标为 $(t, a \ln (t+1))$ ，对函数 $y=a \ln (x+1)$ 求导得 $y^{\prime}=\frac{a}{x+1}$ ，所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{t+1}=1, \\ a \ln (t+1)=t+1,\end{array}\right.$解得 $t= e -1, a= e$ ．

(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.

## 两曲线的公切线
`例` 若直线 $l: y=k x+b(k>1)$ 为曲线 $f(x)= e ^{x-1}$ 与曲线 $g(x)= e \ln x$ 的公切线，则的纵截距 $b$ 等于

A． 0
B． 1
C．e
D．- e

解： 设 $l$ 与 $f(x)$ 的切点为 $\left(x_1, y_1\right)$ ，
则由 $f^{\prime}(x)= e ^{x-1}$ ，得 $l: y=x e ^{x_1-1}+\left(1-x_1\right) e ^{x_1-1}$ 。
同理，设 $l$ 与 $g(x)$ 的切点为 $\left(x_2, y_2\right)$ ，
则由 $g^{\prime}(x)=\frac{ e }{x}$ ，得 $l: y=\frac{ e }{x_2} x+ e \left(\ln x_2-1\right)$ ．
故 $\left\{\begin{array}{l} e ^{x_1-1}=\frac{ e }{x_2}, \\ \left(1-x_1\right) e ^{x_1-1}= e \left(\ln x_2-1\right) .\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}x_1=1, \\ x_2= e

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