最后更新: 2025-12-11 10:08 查看: 176 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

极值点偏移

> 极值点偏移是高考老师们**自创**的一个名词，在实际教程/教科书里，并没有这一个概念。极值点偏移简单的说，极值点偏移了中点，打破了对称性。

##  什么是极值点偏移
对于一个可导函数 $ f(x) $，如果 $ x_0 $ 是其极值点（比如极小值点），且函数在 $ x_0 $ 左右两侧单调性相反，那么当方程 $ f(x) = k $ 有两个解 $ x_1, x_2 $ 且关于 $ x_0 $ 不对称时，就出现了“极值点偏移”。

**一个函数的图像，在极值点左右两侧的“增减速度”或“弯曲程度”不一致，导致极值点并不位于函数值相等的两个点的中点位置。**

### 与对称函数的对比（理解的关键）

我们以最常见的**二次函数（抛物线）** 为例(参考下图)：
函数 $f(x) = ax^2 + bx + c   (a \neq 0$)。
*   它的图像关于其对称轴 $x = -\frac{b}{2a} $ 完全**对称**。
*   在极值点左右两侧的“增减速度”或“弯曲程度”一样，如果存在 $x_1 $ 和 $x_2 $ 使得 $f(x_1) = f(x_2) $，那么根据对称性，**极值点 $x_0 $** 一定是它们中点的平均值，即 $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} $。

**极值点偏移，就是指上面这个“中点等式”不再成立。**

![图片](/uploads/2025-12/dad614.jpg){width=300px}
 
 
 
 
 
 
 
 
 用一个具体的函数为例，$y=x^2+4x$，其极值在$x_{min}=-2$时取得。 当$y=0$时，其值$x_1=-4,x_2=0$，而这2个值的中点坐标为$x_0=\frac{-4+0}{2}=-2$， 所以函数的极值点就是$x_1,x_2$的中点。
 
  ![图片](/uploads/2025-12/1d3338.jpg){width=400px}
  
  
 
 常见的问题是：已知 $ f(x_1) = f(x_2) $，且 $ x_1 < x_0 < x_2 $，求证 $ x_1 + x_2 > 2x_0 $（右偏）或 $ x_1 + x_2 < 2x_0 $（左偏）。
 
由于 $f(x_1) = f(x_2) $，这就像在函数图像上画了一条水平线，与曲线相交于两点。偏移研究的就是这两个交点的横坐标与极值点横坐标之间的位置关系。

##  极值点右偏例子 $y=xe^{-x}$

一个典型极值点右偏例子是$y=xe^{-x}$，参考下图 ,  如果**以极值点为参照物**，可以看到中点线往右移了，即  
$$
\frac{x_1 + x_2}{2} > x_0
$$
 
 
  ![图片](/uploads/2025-12/a97b60.jpg){width=500px}
 
可以看到，曲线两侧“陡峭程度”不同，如果用$y=c$ ，$c$是一个常数且在(0,1/e)之间，也就是用水平线去截取他会得到两个值$x_1,x_2$，那么 $x_1+x_2 > 2 x_0$

![图片](/uploads/2025-12/60959d.jpg){width=400px}
 
 
> 极值点右偏导致  $\Rightarrow$  函数图像在极值点右侧更平缓  $\Rightarrow$ 导致平均中心在极值点右边  $\Rightarrow$  $\frac{x_1 + x_2}{2} > x_0$
 
 
下面是数学推导

**1. 求导找极值点**
$$
f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)
$$
令 $f'(x) = 0$ 得 $x_0 = 1$。  
当 $x < 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数递增；当 $x > 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数递减。  
所以 $x_0 = 1$ 是**极大值点**，极大值 $f(1) = e^{-1}$。

**2. 图像的偏移性质**
这个函数在 $x_0=1$ 左侧增长比较**陡峭**（指数部分 $e^{-x}$ 下降不明显，主要受线性项 $x$ 影响），在 $x_0=1$ 右侧下降

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