最后更新: 2025-12-25 22:26 查看: 231 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二项式定理★★★★★

## 二项式次幂

在初中我们学过多项式乘法，并且知道：如果 $a, b$ 是任意实数，那么

$$
\begin{aligned}
& (a+b)^1=a+b \\
& (a+b)^2=a^2+2 a b+b^2, \\
& (a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 . \\
& (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4  .
\end{aligned}
$$

如果计算 $(a+b)^n$ 次方呢？

## 二项式定理
观察上面结论，设 $a, b$ 是任意实数，对于正整数 $n$ ，有以下猜想：

$$
\boxed{
(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+\cdots+C_n^r a^{n-r} b^r+\cdots+C_n^n b^n ...(1)
}
$$

下面我们对上述猜想的正确性予以说明．
由于 $(a+b)^n$ 是 $n$ 个 $(a+b)$ 相乘，每个 $(a+b)$ 在相乘时有两种选择，选 $a$ 或 $b$ ，而且每个 $(a+b)$ 中的 $a$ 或 $b$ 都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项。因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，$(a+b)^n$ 的展开式共有 $2^n$ 项，其中每一项都是 $a^{n-k} b^k(k=0,1, \cdots, n)$ 的形式。

对于每个 $k(k=0,1,2, \cdots, n)$ ，对应的项 $a^{n-k} b^k$ 是由 $(n-k)$ 个 $(a+b)$ 中选 $a$ ，另外 $k$ 个 $(a+b)$ 中选 $b$ 得到的。由于 $b$ 选定后，$a$ 的选法也随之确定，因此，$a^{n-k} b^k$出现的次数相当于从 $n$ 个 $(a+b)$ 中取 $k$ 个 $b$ 的组合数 $\mathrm{C}_n^k$ 。这样，$(a+b)^n$ 的展开式中， $a^{n-k} b^k$ 共有 $\mathrm{C}_n^k$ 个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式。

公式（1）叫做**二项式定理**（binomial theorem），右边的多项式叫做 $(a+b)^n$ 的**二项展开**式，其中各项的系数 $\mathrm{C}_n^k(k=0,1,2, \cdots, n)$ 叫做**二项式系数**。式中的 $\mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$ 叫做二项展开式的**通项**，用 $T_{k+1}$ 表示，即通项为展开式的第 $k+1$ 项：

$$
\boxed{
T_{k+1}=\mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k 
}
$$

> **注意：这里的$k$ 是从0开始的。**

也就是

当 $k=0$ 时，对应的是**第1项**：$T_{0+1}=T_1=C_n^0 a^n b^0$
当 $k=1$ 时，对应的是**第2项**：$T_{1+1}=T_2=C_n^1 a^{n-1} b^1$
  ...
当 $k=r$ 时，对应的是**第 $k+1$ 项**：$T_{k+1}=C_r^k a^{n-r} b^r$
    
或者说，**通项公式让项数和系数的下标一一对应** ，因此 如果题目要求计算,或者说，这里的$k$是$b$的次数。

**因此，如果写$T_5$，就表示是第5项，但是$b$的次数是4.**

在二项式定理中，若设 $a=1, b=x$ ，则得到公式：

$$
\boxed{
(1+x)^n=\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1 x+\mathrm{C}_n^2 x^2+\cdots+\mathrm{C}_n^k x^k+\cdots+\mathrm{C}_n^n x^n .
}
$$

## 理解：通俗解释二项式定理

二项式定理其实就是**两个数相加后求n次方的“万能展开公式”**，不用一次次手动乘开，核心就是“组合计数”的思路，咱们用大白话和例子讲清楚：

### 一、 先想个简单的例子：$(a+b)^2$
咱们不用公式，直接乘开：
$$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
这里的系数怎么来的？
- 要得到 $a^2$：得从**两个括号里都选a**，只有1种选法 → 系数是1；注意：因为两个数相乘与顺序无关，所有是组合，而不是排列。

- 要得到 $ab$：从**第一个括号选a、第二个选b**，或者**第一个选b、第二个选a**，共2种选法 → 系数是2；
- 要得到 $b^2$：得从**两个括号里都选b**，只有1种选法 → 系数是1。

### 二、 推广到 $(a+b)^n$：本质是“选a和b的组合数”
$(a+b)^n$ 就是 $n$ 个 $(a+b)$ 相乘，展开后每一项都是 $a^{n-k}b^k$（$k$ 是选b的个数），系数就是**从n个括号里选k个b的方法数**——这就是组合数 $C_n^k$。

用通俗的话总结规律：
1.  **项的形式**：每一项都是 $a$ 的幂乘以 $b$ 的幂，$a$ 的幂次从 $n$ 降到0，$b$ 的幂次从0升到 $n$；
2.  **系数的意义**：$a^{n-k}b^k$ 前面的系数，就是“n个括号里挑k个括号选b，剩下的选a”的方法数；
3.  **不用硬算乘法**：比如 $(a+b)^4$，不用算 $(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$，直接用组合数算系数：
    - $a^4$：选0个b → $C_4^0=1$
    - $a^3b$：选1个b → $C_4^1=4$
    - $a^2b^2$：选2个b → $C_4^2=6$
    - $ab^3$：选3个b → $C_4^3=4$
    - $b^4$：选4个b → $C_4^4=1$
    结果就是 $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

### 三、 一句话记住二项式定理
**n个(a+b)相乘，展开后每一项的系数，就是挑k个b的方法数，a的次数跟着减k，b的次数跟着加k**。

公式就是：
$$(a+b)^n = \underbrace{C_n^0a^n b^0}_{选0个

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【概率论与数理统计】排列数、组合数与二项式定理

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