最后更新: 2025-12-25 08:39 查看: 287 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二项式定理性质

> 排列组合里，组合记法有苏式记法和美式记法。苏式记法 $C_n^m$  美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$，国内普遍使用苏式记法，而国际竞赛普通使用美式记法， $\mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} $

## 二项式的性质-对称性
我们研究二项式 $(x+y)^n$ 的展开式中各项系数的性质。 我们已知 $\mathrm{C}_n^m=$ $\mathrm{C}_n^{n-m}$, 所以:

$$
\mathrm{C}_n^0=\mathrm{C}_n^n, \quad \mathrm{C}_n^1=\mathrm{C}_n^{n-1}, \quad \mathrm{C}_n^2=\mathrm{C}_n^{n-2}, \ldots,\quad   \mathrm{C}_n^k=\mathrm{C}_n^{n-k}, \ldots \quad 
$$

这种对称性也可以从杨辉三角里看到。
![img-text](/uploads/2025-05/32f6fa.jpg){width=400px}

`例` 已知 $(x+\frac{1}{x})^{n}$ 的展开式中，第$3$项与第$7$项的二项式系数相等，求$n$的值

解： 解题步骤
1.  **明确二项式系数的对应关系**
    根据二项式展开式的通项公式 $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k$，
    第$3$项对应的是 $k+1=3 \implies k=2$，其二项式系数为 $C_n^2$；
    第$7$项对应的是 $k+1=7 \implies k=6$，其二项式系数为 $C_n^6$。

2.  **利用对称性列方程**
    二项式系数的对称性为 $C_n^k = C_n^{n-k}$，题目中给出 $C_n^2 = C_n^6$，因此有两种情况：
    - 情况1：$2 = 6$（显然不成立）；
    - 情况2：$2 = n-6$。

解此方程得：
$$
n = 2+6 = 8
$$
 
 ## 二项式的性质-最大值
 
因为

$$
\mathrm{C}_n^k=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+2)(n-k+1)}{(k-1)!k}=\mathrm{C}_n^{k-1} \frac{n-k+1}{k},
$$

即

$$
\frac{\mathrm{C}_n^k}{\mathrm{C}_n^{k-1}}=\frac{n-k+1}{k},
$$

所以，当 $\frac{n-k+1}{k}>1$ ，即 $k<\frac{n+1}{2}$ 时， $\mathrm{C}_n^k$ 随 $k$ 的增加而增大；由对称性知，当 $k>\frac{n+1}{2}$时， $\mathrm{C}_n^k$ 随 $k$ 的增加而减小。
 
 若 $n$为**偶数**，则当 $k=\frac{n}{2}$时，二项式系数 $C_n^{\frac{n}{2}}$取得最大值；
 若 $n$为**奇数**，则当 $k=\frac{n-1}{2}$和 $k=\frac{n+1}{2}$时，二项式系数 $C_n^{\frac{n-1}{2}}=C_n^{\frac{n+1}{2}}$同时取得最大值。

`例`求 $(x+y)^{10}$ 和 $(x+y)^{11}$ 的最大系数的项.
解： $(x+y)^{10}$ 是10次幂(展开共有11项)， 因为$n$是偶数，所以，$C_{10}^5$系数最大，为
 
$$
\mathrm{T}_{5+1}=\mathrm{C}_{10}^5 x^{10-5} (2y)^5=252 x^5 y^5
$$

最大值是展开式的第6项。

$(x+y)^{11}$ 最大系数的项数是 $\frac{11-1}{2}=5$ 或  $\frac{11+1}{2}=6$  ，所以

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{T}_{5+1}=\mathrm{C}_{11}^5 x^{11-5} y^5=462 x^6 y^5 \\
& \mathrm{~T}_{6+1}=\mathrm{C}_{11}^6 x^{11-6} y^6=462 x^5 y^6
\end{aligned}
$$

最大值是展开式的第6项或第7项。

> 请注意：在题目要求最大系数时，他的通项公式是$T_{k+1}=\mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k $ ,$T$的角标是$k+1$ 表示的是展开式的第几项。

`例` 在 $(5 x+2 y)^{29}$ 展开式中第几项的系数最大, 并求它的系数。
解：设 $T_{k+1}$ 系数最大，则它必须满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{T}_{k+1} \text { 系数 }}{\mathrm{T}_k \text { 系数 }}=\frac{\mathrm{C}_{29}^k 5^{29-k} 2^k}{\mathrm{C}_{29}^{k-1} 5^{29-k+1} 2^{k-1}}=\frac{2(29-k+1)}{5 k} \geq 1 \\
\frac{\mathrm{T}_{k+1} \text { 系数 }}{\mathrm{T}_{k+2} \text { 系数 }}=\frac{\mathrm{C}_{29}^k 5^{29-k} 2^k}{\mathrm{C}_{29}^{k+1} 5^{29-k-1} 2^{k+1}}=\frac{5(k+1)}{2(29-k)} \geq 1
\end{array}\right.
$$

即 $\left\{\begin{array}{l}7 k \leq 60 \\ \frac{53}{7} \leq k \leq 29\end{array}\right.$
解得 $7 \frac{4}{7} \leq k \leq 8 \frac

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