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二项式定理性质

> 排列组合里，组合记法有苏式记法和美式记法。苏式记法 $C_n^m$  美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$，国内普遍使用苏式记法，而国际竞赛普通使用美式记法， $\mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} $

## 二项式的性质
我们研究二项式 $(x+y)^n$ 的展开式中各项系数的性质。二项展开式各项系数是:

$$
\mathrm{C}_n^0, \mathrm{C}_n^1, \mathrm{C}_n^2, \ldots, \mathrm{C}_n^{n-1}, \mathrm{C}_n^n
$$

展开式各项系数有下列性质
1. 在二项展开式中, 与首末两端"等距离"的两项数相等. 我们已知 $\mathrm{C}_n^m=$ $\mathrm{C}_n^{n-m}$, 所以:

$$
\mathrm{C}_n^0=\mathrm{C}_n^n, \mathrm{C}_n^1=\mathrm{C}_n^{n-1}, \mathrm{C}_n^2=\mathrm{C}_n^{n-2}, \ldots, \mathrm{C}_n^k=\mathrm{C}_n^{n-k}, \ldots
$$

2. 如果二项式的幕指数是偶数, 中间一项的系数大, 如果二项式的幂指数是奇数, 中间两项系数相同并且大.

由于展开式各项系数顺次是

$$
\begin{gathered}
\mathrm{C}_n^0=1, \quad \mathrm{C}_n^1=n, \quad \mathrm{C}_n^2=\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}, \ldots \\
\mathrm{C}_n^k=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k}, \ldots, \quad \mathrm{C}_n^n=1
\end{gathered}
$$

其中, 后一个系数的分子是前一个系数的分子乘以逐次减小 1 的数, (如 $n, n-$ $1, n-2, \ldots$ ), 分母是乘以逐次增大 1 的数（如 $1,2,3, \ldots$ ）得到的，因而，各项系数从开始起总是逐渐增大，又因为与首末两端"等距离"的两项系数相等，所以系数增大到某一项时就逐渐减小，而最大项必在中间.

当 $n$ 是偶数时， $n+1$ 是奇数，展开式共有 $n+1$ 项，所以展开式有中间一项，即第 $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ 项，并且系数最大。

当 $n$ 是奇数时， $n+1$ 是偶数，展开式共有 $n+1$ 项，所以有中间两项，即第 $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ 和第 $\left(\frac{n+1}{2}+1\right)$ 两项，系数相同并且最大.

`例`求 $(x+y)^{10}$ 和 $(x+y)^{11}$ 的最大系数的项.
解： $(x+y)^{10}$ 最大系数项的项数是 $\frac{10}{2}+1=6$ ，所以

$$
\mathrm{T}_6=\mathrm{C}_{10}^5 x^{10-5} y^5=252 x^5 y^5
$$

$(x+y)^{11}$ 最大系数的项数是 $\frac{11+1}{2}=6$ 或 $6+1=7$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{T}_6=\mathrm{C}_{11}^5 x^{11-5} y^5=462 x^6 y^5 \\
& \mathrm{~T}_7=\mathrm{C}_{11}^6 x^{11-6} y^6=462 x^5 y^6
\end{aligned}
$$

`例`在 $(5 x+2 y)^{29}$ 展开式中第几项的系数最大, 并求它的系数。
解：设 $T_{k+1}$ 系数最大，则它必须满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{T}_{k+1} \text { 系数 }}{\mathrm{T}_k \text { 系数 }}=\frac{\mathrm{C}_{29}^k 5^{29-k} 2^k}{\mathrm{C}_{29}^{k-1} 5^{29-k+1} 2^{k-1}}=\frac{2(29-k+1)}{5 k} \geq 1 \\
\frac{\mathrm{T}_{k+1} \text { 系数 }}{\mathrm{T}_{k+2} \text { 系数 }}=\frac{\mathrm{C}_{29}^k 5^{29-k} 2^k}{\mathrm{C}_{29}^{k+1} 5^{29-k-1} 2^{k+1}}=\frac{5(k+1)}{2(29-k)} \geq 1
\end{array}\right.
$$

即 $\left\{\begin{array}{l}7 k \leq 60 \\ \frac{53}{7} \leq k \leq 29\end{array}\right.$
解得 $7 \frac{4}{7} \leq k \leq 8 \frac{4}{7}$. 因为 $k$ 为正整数，故 $k=8$ ，即系数最大项系数是

$$
\mathrm{T}_{8+1}=\mathrm{C}_{29}^8 5^{29-8} \cdot 2^8=\mathrm{C}_{29}^8 5^{21} \cdot 2^8
$$

`例`求证: $\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k=\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^2+\cdots+\mathrm{C}_n^{n-1}+\mathrm{C}_n^n=2^n$
证明: 在二项式公式中取 $x=y=1$, 有:

$$
(1+1)^n=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k 1^{n-k} 1^k=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k
$$

所以 $\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k=2^n$

`例`证明在 $(x+y)^n$ 展开式中, 奇数项系数的和等于偶数项系数的和.
证明: 在二项式公式中取 $x=1, y=-1$, 有

$$
(1-1)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k \mathrm{C}_n^k 1^{n-k} 1^k=\sum_{k=0}^n(-1)^k \mathrm{C}_n^k
$$

即

$$
0=\left(\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^2+\cdots\right)-\left(\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^3+\cdots\right)
$$

所以

$$
\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^2+\cdots=\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^3+\cdots
$$

`例`求证: $\sum_{k=1}^n 2 k \mathrm{C}_n^k=n \cdot 2^n$
证明：因为

$$
\begin{aligned}
k \mathrm{C}_n^k & =k \cdot \frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k!} \\
& =n \cdot \frac{(n-1)(n-2) \cdots(n-k+1)}{(k-1)!}=n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}
\end{aligned}
$$

所以

$$
\sum_{k=1}^n 2 k \mathrm{C}_n^k=2 \sum_{k=1}^n k \mathrm{C}_n^k=2 n \sum_{k=0}^{n-1} \mathrm{C}_{n-1}^k=2 n \cdot 2^{n-1}=n \cdot 2^n
$$

`例`计算 $(1.009)^{20}$ 和 $(0.991)^5$ 的近似值（精确到 0.001 ）
解:

$$
\begin{aligned}
(1.009)^{20} & =(1+0.009)^{20} \\
& =1+20 \times 0.009+190 \times(0.009)^2+1140 \times(0.009)^3+\cdots \\
& =1+0.18+0.01539+0.00083106+\cdots
\end{aligned}
$$
可以看出, 要使所求的近似值的误差不超过 0.001 , 需取展开式中前三项的和,就是

$$
\begin{aligned}
(1 . .009)^{20} & \approx 1+0.18+0.01539 \approx 1.195 \\
(0.991)^5 & =(1-0.009)^5=1-5 \times 0.009+10 \times(0.009)^2+\cdots
\end{aligned}
$$

根据精确度要求, 第三项以后各项都可以删去, 所以,

$$
(0.991)^5 \approx 1-0.045=0.955
$$

#### 记忆
可以使用杨辉三角进行记忆

![图片](/uploads/2025-02/d0ce5a.jpg)

## 二项式系数的性质

#### （1）对称性
$$
C_n^k=C_n^{n-k}
$$

#### （2）单峰性
$n$ 为偶数时
$$
\begin{aligned}
& C_n^0<C_n^1<\cdots<C_n^{n / 2-1}<C_n^{n / 2} \\
& C_n^{n / 2}>C_n^{n / 2+1}>\cdots>C_n^{n-1}>C_n^n
\end{aligned}
$$
$n$ 为奇数时
$$
\begin{aligned}
& C_n^0<C_n^1<\cdots<C_n^{(n-1) / 2}=C_n^{(n+1) / 2} \\
& C_n^{(n-1) / 2}=C_n^{(n+1) / 2}>\cdots>C_n^{n-1}>C_n^n
\end{aligned}
$$

#### 帕斯卡恒等式

设 $n, k \in \mathbb{N}^* ， n \geq k$
$$
C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}
$$

## 二项式展开式
 $ (a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+C_n^2 a^{n-2} b^2+\ldots+C_n^n b^n $
 
(1)展开式共 $n+1$ 项, 各项次数为 $n$.
(2)各项规律: $a$ 降幂 $(n \rightarrow 0)$; $b$ 升幂 $(0 \rightarrow n)$
(3)展开式的通项or第 $k+1$ 项: $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k(k=0,1,2, \ldots, n)$
(4)各项的二项式系数 : $C_n^k(k=0,1,2, \ldots, n)$
如: $(1+2 x)^6$ 的第 4 项的二项式系数是 $C_6^3=20$.
(5)与首末等距的两个二项 式系数相等, 即 $C_n^k=C_n^{n-k}(k=0,1,2, \ldots, n)$

#### 基础题1
求 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式

解：先写通项,再将 $0,1,2, \ldots n$ 代入 $k$
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^6=\left(x+x^{-1}\right)^6$, 通项为 $C_6^k x^{6-k} x^{-k}=C_6^k x^{6-2 k}(k=0,1, \ldots, 5,6)$
$$
\begin{aligned}
\therefore\left(x+\frac{1}{x}\right)^6 & =C_6^0 x^6+C_6^1 x^4+C_6^2 x^2+C_6^3+C_6^4 x^{-2}+C_6^5 x^{-4}+C_6^6 x^{-6} \\
& =x^6+6 x^4+15 x^2+20+15 x^{-2}+6 x^{-4}+x^{-6}
\end{aligned}
$$

#### 基础题2
求 $\left(3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$ 的展开式.

解：原式 $=\left(\frac{3 x+1}{\sqrt{x}}\right)^4=\frac{1}{x^2}(1+3 x)^4$, 
括号内先化简,再展开 $(1+3 x)^4$ 的通项为 
$C_4^k(3 x)^k=C_4^k 3^k x^k(k=0,1,2,3,4)$
$\therefore$ 展开式为 $x^{-2}\left(1+12 x+54 x^2+108 x^3+81 x^4\right)$
$$
=x^{-2}+12 x^{-1}+54+108 x+81 x^2
$$

### 逆用二项式定理
#### 基础题1
求 $1+2 C_n^1+4 C_n^2+\ldots+2^n C_n^n=\underline{} \quad , a=1, b=3$
解： 原式 $=C_n^0 \cdot 2^0+C_n^1 \cdot 2+C_n^2 \cdot 2^2+\ldots+C_n^n \cdot 2^n=(1+2)^n=3^n$

#### 基础题2
求 $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+\ldots+C_{10}^{10}=\underline{}$.
解：令 $a=b=1$, 得 $(a+b)^n$ 的二项式系数之和为 $2^n$,
即 $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n=2^n$. 只与 $n$ 有关, 与 $a, b$ 无关.

> 令 $ a=1, b=-1 $ 可得奇数项和偶数项的二项式系数和相等,即
$ C_n^0+C_n^2+C_n^4+\ldots=C_n^1+C_n^3+C_n^5 \ldots=2^{n-1}$

#### 提高
$\frac{C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n}{C_{n+1}^0+C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\ldots+C_{n+1}^{n+1}}={ }^{\frac{1}{2}}$

#### 提高2
$(x+1)^n$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为 15 , 则 $n=$ 
解析 : $(1+x)^n$含$x^2$ 的项为 $C_n^2 x^2=15 x^2, \therefore C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=15, \therefore n=6$.

#### 提高3
$(x+y)(x-y)^5$ 的展开式中 $x^3 y^3$ 的系数是

解析: 若 $(x+y)$ 选 $x$, 则找 $(x-y)^5$ 展开式中 $x^2 y^3$ 的系数,即 $x \cdot C_5^3 x^2(-y)^3=-10 x^3 y^3$.
若 $(x+y)$ 选 $y$, 则找 $(x-y)^5$ 展开式中 $x^3 y^2$ 的系数,
即 $y \cdot C_5^2 x^3(-y)^2=10 x^3 y^3$.
所以，系数是0

#### 提高4
求 $\left(x^2+x+y\right)^5$ 的展开式中 $x^5 y^2$ 的系数
解析：$\left(x^2+x+y\right)^5=\left[\left(x^2+x\right)+y\right]^5$,
其展开式中含 $y^2$ 的项为 $C_5^2\left(x^2+x\right)^3 y^2$
只需再求 $\left(x^2+x\right)^3$ 的展开式中 $x^5$ 的系数,
其通项为 $C_3^k\left(x^2\right)^{3-k} x^k=C_3^k x^{6-k}$
令 $k=1$ 得 $\left(x^2+x\right)^3$ 的展开式中 $x^5$ 的系数为 $C_3^1=3$,
$\therefore$ 原式的展开式 $x^5 y^2$ 的系数为 $C_5^2 \cdot 3=30$

## 三项式问题
典型例题：
 在 $\left(x^2+3 x+2\right)^5$ 的展开式中, $x$ 的一次项的系数为？
####  解法1：分组法
因为 $\left(x^2+3 x+2\right)^5=\left[\left(x^2+2\right)+3 x\right]^5$, 所以二项式 $\left[\left(x^2+2\right)+3 x\right]^5$ 的展开式的通项公式为:
$$
T_{r+1}=C_s^\gamma \cdot\left(x^2+2\right)^{5-\gamma} \cdot(3 x)^r
$$

当且仅当 $r=1$ 时, $T_{r+1}=C_5^r \cdot\left(x^2+2\right)^{5-\gamma} \cdot(3 x)^\gamma$ 的展开式中才有 $x$ 的一次项,
此时, $T_{\gamma+1}=T_2=C_5^1 \cdot\left(x^2+2\right)^4 \cdot(3 x)$,
所以, $x$ 的一次项为 $C_5^1 \times C_4^4 \times 2^4 \times(3 x)$, 它的系数为: $C_5^1 \times C_4^4 \times 2^4 \times 3=240$ 。

####  解法2：定义法
在 $\left(x^2+3 x+2\right)^5$ 的 5 个因式中, 1 个取因式中的 $3 x$ ，剩余的 4 个都取因式中的 2 ,
所以 $x$ 的一次项为 $C_5^1 \times 3 x \cdot 2^4=240 x$,
故展开式中, $x$ 的一次项的系数为 240 .

#### 解法3：分解因式法
因为
$$
\begin{aligned}
& \left(x^2+3 x+2\right)^5=(x+1)^5 \cdot(x+2)^5 \\
& =\left(C_5^0 x^5+C_5^1 x^4+\cdots+C_5^5\right)\left(C_5^0 x^5+C_5^1 x^4 \times 2+\cdots+C_5^5 \times 2^5\right)
\end{aligned}
$$

所以展开式中 $x$ 的一次项为: $C_5^4 x \cdot C_5^5 \times 2^5+C_5^4 x \cdot 2^4$故展开式中, $x$ 的一次项的系数为 240 .

## 二项式系数最大项
 设第 $r+1$ 项为 $(a+b)^n$ 展开式中二项式系数最大的项
  （1）当 $n$ 是偶数时, $r=\frac{n}{2}$, 即中间的一项 $T_{\frac{n}{2}+1}=C_n^{\frac{n}{2}} a^{\frac{n}{2}} b^{\frac{n}{2}}$ 为二项式系数最大的项;
    （2）当 $n$ 是奇数时, $r=\frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2}$, 即中间的两项 $T_{\frac{n-1}{2}+1}=C_n^{\frac{n-1}{2}} a^{\frac{n+1}{2}} b^{\frac{n-1}{2}}$,
$T_{\frac{n+1}{2}+1}=C_n^{\frac{n+1}{2}} a^{\frac{n-1}{2}} b^{\frac{n+1}{2}}$ 为二项式系数最大的项.

#### 典型例题1
求 $\left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)^{20}$ 展开式中系数最大的项.
 解
 设第 $k+1$ 项系数最大, 则
$$
\begin{aligned}
& T_{k+1}=\mathrm{C}_{20}^k(\sqrt{x})^{20-k}\left(\frac{2}{x}\right)^k=2^k \mathrm{C}_{20}^k x^{\frac{20-3 k}{2}} . \\
& \text { 由 }\left\{\begin{array}{l}
2^k C_{20}^k \geq 2^{k+1} C_{20}^{k+1}, \\
2^k C_{20}^k \geq 2^{k-1} C_{20}^{k-1},
\end{array}\right. \\
& \text { 即 }\left\{\begin{array}{l}
\frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k+1} \cdot 20 !}{(k+1) !(19-k) !}, \\
\frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k-1} \cdot 20 !}{(k-1) !(21-k) !},
\end{array}\right. \\
& \text { 亦即 }\left\{\begin{array}{c}
\frac{1}{20-k} \geq \frac{2}{k+1}, \\
\frac{2}{k} \geq \frac{1}{21-k},
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
$$

解得 $13 \leq k \leq 14$.
因为 $k \in \mathbf{N}^*$, 所以 $k=13$ 或 $k=14$.
所以系数最大的项为
$$
T_{14}=2^{13} \mathrm{C}_{20}^{13} x^{-\frac{19}{2}}, T_{15}=2^{14} \mathrm{C}_{20}^{14} x^{-11}
$$

#### 典型例题2
求 $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^{20}$ 展开式中系数最大的项.
 解
 设第 $k+1$ 项系数的绝对值最大, 则
$$
\begin{aligned}
& T_{k+1}=\mathrm{C}_{20}^k(\sqrt{x})^{20-k}\left(-\frac{2}{x}\right)^k=(-2)^k \mathrm{C}_{20}^k x^{\frac{20-3 k}{2}} . \\
& \text { 由 }\left\{\begin{array}{l}
2^k C_{20}^k \geq 2^{k+1} C_{20}^{k+1}, \\
2^k C_{20}^k \geq 2^{k-1} C_{20}^{k-1},
\end{array}\right. \\
& \text { 即 }\left\{\begin{array}{l}
\frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k+1} \cdot 20 !}{(k+1) !(19-k) !}, \\
\frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k-1} \cdot 20 !}{(k-1) !(21-k) !},
\end{array}\right. \\
& \text { 亦即 }\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{20-k} \geq \frac{2}{k+1}, \\
\frac{2}{k} \geq \frac{1}{21-k},
\end{array} \text { 解得 } 13 \leq k \leq 14 .\right. \\
&
\end{aligned}
$$

因为 $k \in \mathbf{N}^*$, 所以 $k=13$ 或 $k=14$.
所以系数绝对值最大的项为
$$
T_{14}=-2^{13} \mathrm{C}_{20}^{13} x^{-\frac{19}{2}}, T_{15}=2^{14} \mathrm{C}_{20}^{14} x^{-11} \text {. }
$$

故系数最大的项为 $T_{15}=2^{14} \mathrm{C}_{20}^{14} x^{-11}$.

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