最后更新: 2025-04-12 15:05 查看: 583 次反馈刷题

等差数列

## 等差数列的定义

如果一个数列，从第二项起，每一项减去它的前面的一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做**等差数列**，这个常数叫做等差数列的**公差**，用符号 $d$ 表示．等差数列的通项公式是

$$
\boxed{
a_n=a_1+(n-1) d, \quad(n=1,2,3, \ldots)
}
$$

它的前 $n$ 项求和公式是

$$
\boxed
{
S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}
}
$$

或

$$
\boxed{
S_n=n a_1+\frac{n(n-1)}{2} d
}
$$

### 性质 
在一个等差数列中，给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ ，可知公差

$$
d=a_{n+1}-a_n
$$

给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，则有公差

$$
\boxed{
d=\frac{a_m-a_n}{m-n}
}
$$

此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说

$$
a_1+a_3=2 a_2
$$

更一般的有: 
$$
a_{n-1}+a_{n+1}=2 a_n
$$

证明如下

$$
\begin{aligned}
a_{n-1}+a_{n+1} & =[a+(n-2) d]+(a+n d) \\
& =2 a+(2 n-2) d \\
& =2[a+(n-1) d] \\
& =2 a_n
\end{aligned}
$$

从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均

$$
a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
$$

此结果从上面直接可得。

### 性质2
如果有正整数 $m, n, p, q$ ，使得 $m+n=p+q$ ，那么则有:

$$
a_m+a_n=a_p+a_q
$$

证明如下

$$
\begin{aligned}
a_m+a_n & =[a+(m-1) d]+[a+(n-1) d] \\
& =2 a+(m+n-2) d \\
& =2 a+(p+q-2) d \\
& =[a+(p-1) d]+[a+(q-1) d] \\
& =a_p+a_q
\end{aligned}
$$

由此可将上面的性质一般化成

$$
\begin{aligned}
& a_{n-k}+a_{n+k}=2 a_n \\
& a_n=\frac{a_{n-k+a_{n \nmid k}}}{2}
\end{aligned}
$$

其中 ${k}$ 是一个小于 $\mathrm{n}$ 的整数。

## 等差数列和
一个等差数列的首 $\mathrm{n}$ 项之和，称为等差数列和，记做 $S_n$ ，等差数列求和的公式如下：

将等差数列和写作以下两种形式：

$$
\begin{aligned}
& S_n=a+(a+d)+(a+2 d)+\cdots+[a+(n-2) d]+[a+(n-1) d] ...① \\
& S_n=\left[a_n-(n-1) d\right]+\left[a_n-(n-2) d\right]+\cdots+\left(a_n-2 d\right)+\left(a_n-d\right)+a_n ...②
\end{aligned}
$$

将两公式相加来消掉公差 $d$ ，可得

$$
2 S_n=n\left(a+a_n\right)
$$

由此得到等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和的公式

$$
\boxed{
S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}
}
$$

这个公式表明，等差数列的前 $n$ 项和可由首项，末项和项数唯一确定。

又因为 $a_n=a_1+(n-1) d$ ，所以上述公式又可以写成

$$
\boxed{
S_n=n a_1+\frac{n(n-1)}{2} d .
}
$$

## 等差数列与一次函数

数列可以看成以正整数集 $N _{+}$（或它的有限子集 $\{1,2, \cdots, n\}$ ）为定义域的函数 $a_n=f(n)$ ，因而可以利用函数知识来研究数列的性质。我们先看两个具体例子：

求下列等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性：
（1）$a_1=1, d=3$ ；
（2）$a_1=7, d=-2$ ．
不难求得，等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式分别为：
（1）$a_n=3 n-2$ ；
（2）$a_n=-2 n+9$ ．
上述通项公式可以看成自变量 $n$ 取正整数值的函数，将通项公式中的正整数自变量 $n$ 换成实数自变量 $x$ ，得到一次函数 $y=3 x-2$ 和 $y=-2 x+9$ ，它们的图象都是直线．当 $x$ 取正整数值 $n$ 时，就得到 $a_n$ ，等差数列的图象由直线上横坐标为正整数 $n$ 的孤立点 $\left(n, a_n\right)$ 组成．如图 1．2－2（1），（2）所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/57f065.jpg)
 
 由于一次函数 $y=3 x-2$ 的一次项系数 $3>0$ ，函数递增，因此数列 $a_n=3 n-2$ 也递增；而一次函数 $y=-2 x+9$ 的一次项系数 $-2<0$ ，函数递减，因此数列 $a_n=$ $-2 n+9$ 也递减．

对于一般的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ ，其通项公式为 $a_n=a_1+(n-1) d$ ，将其中的正整数自变量 $n$ 换成实数自变量 $x$ ，得到

$$
y=a_1+(x-1) d=d x+\left(a_1-d\right),
$$

当 $d \neq 0$ 时，是一次函数（其中一次项系数为等差数列的公差 $d$ ）；当 $d=0$ 时，$y=a_1$ （ $a_1$ 为常数），这两种情形的函数图象都是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 $n$ 的孤立点 $\left(n, a_n\right)$ 组成．

当 $d>0$ 时，直线 $y=d x+\left(a_1-d\right)$ 从左至右上升，等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 递增；当 $d<0$时，直线 $y=d x+\left(a_1-d\right)$ 从左至右下降，等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 递减；当 $d=0$ 时，$y=a_1$ 为水平方向的直线，数列为常数列．

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=n^2+2 n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．
解（1）当 $n \geqslant 2$ 时，

$$
S_{n-1}=(n-1)^2+2(n-1),
$$

从而

$$
a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2 n-\left[(n-1)^2+2(n-1)\right]=2 n+1 .
$$

而当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1^2+2 \times 1=3$ 亦满足上式．
所以，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=2 n+1$ ．
（2）证明：由（1）中的结果，当 $n \geqslant 2$ 时，

$$
a_{n-1}=2(n-1)+1=2 n-1
$$

从而

$$
a_n-a_{n-1}=(2 n+1)-(2 n-1)=2 .
$$

所以，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是一个以 3 为首项，以 2 为公差的等差数列．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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