最后更新: 2025-04-12 15:06 查看: 611 次反馈刷题

等比数列

## 等比数列的定义

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用 $G 、 P$ 表示。这个常数叫做等比数列的**公比**，公比通常用字母 $q$ 表示 $(q \neq 0)$ ，等比数列 $a_1 \neq 0$ 。其中 $\left\{a_n\right\}$ 中的每一项均不为 0 。

> 注: $q=1$ 时， $a_n$ 为常数列。

一般地，如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 $a_1$ ，公比为 $q$ ，那么根据等比数列的定义，可以得到

$$
\frac{a_2}{a_1}=q, \frac{a_3}{a_2}=q, \cdots, \frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n \geqslant 2),
$$

把这 $n-1$ 个等式的两边分别相乘得

$$
\boxed{
a_n=a_1 q^{n-1}
}
$$

当 $n=1$ 时，该等式的两边都是 $a_1$ ，这表明该等式对任意 $n \in N _{+}$都成立，因而它就是等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

### 性质1
任意一个等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 都可以写成

$$
\left\{a, a q, a q^2, \cdots, a q^{n-1}\right\}
$$

在一个等比数列中，给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$, 可知其公比

$$
q=\frac{a_{n+1}}{a_n}
$$

给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，则有公比

$$
q=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}
$$

此外，在一个等比数列中，选中某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说

$$
a_1 \times a_3=a_2^2
$$

### 性质2
一般的有
$a_{n-1} \times a_{n+1}=a_n{ }^2$ ，

证明如下:

$$
\begin{aligned}
a_{n-1} \times a_{n+1} & =a q^{n-2} \times a q^n \\
& =a^2 \times q^{2 n-2} \\
& =\left(a q^{n-1}\right)^2 \\
& =a_n^2
\end{aligned}
$$

从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均

$$
a_n=\pm \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}
$$

此结果从上面直接可得。如果有整数 $m, n, p, q$ 使得 $m+n=p+q$ 那么则有:

$$
a_m \cdot a_n=a_p \cdot a_q
$$

证明如下:

$$
\begin{aligned}
a_m \cdot a_n & =a q^{m-1} \cdot a q^{n-1} \\
& =a^2 a^{m+n-2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =a^2 q^{p+q-2} \\
& =a q^{p-1} \cdot a q^{q-1} \\
& =a_p \cdot a_q
\end{aligned}
$$

由此可将上面的性质一般化成:

$$
\begin{aligned}
& a_{n-k} \cdot a_{n+k}=a_n{ }^2 \\
& a_n=\pm \sqrt{a_{n-k} \cdot a_{n+k}}
\end{aligned}
$$

给定一个等比数列 $\left\{a_n\right\}$ ，则有:
$\left\{b \cdot a_n\right\}$ 是等比数列。
$\left\{\frac{b}{a_n}\right\}$ 是等比数列。
$\left\{\log _b\left(a_n\right)\right\}$ 是等差数列。
从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成

$$
a_n=p q^n
$$

## 等比数列和
一个等比数列的首 $n$ 项之和，称为等比数列和。其公式为

$$
S_n=\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q}
$$

其中 $a$ 为首项， $n$ 为项数， $q$ 为公比，且 $q \neq 1$
公式证明如下:
将等比数列和写作以下形式:

$$
S_n=a+a q+a q^2+\cdots+a q^{n-1} \ldots \cdots ...①
$$

将两边同乘以公比 $q$ ，有:

$$
q S_n=a q+a q^2+\cdots+a q^n \cdots \cdots ...②
$$

(1)式减去(2)式，有

$$
(1-q) S_n=a-a q^n
$$

当 $q \neq 1$ 时，移项得证

$$
S_n=\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q}
$$

当 $q=1$ 时可以发现:

$$
S_n=a+a q+a q^2+\cdots+a q^{n-1}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_n \\
& =n \times a \\
& =a n
\end{aligned}
$$

综上所述，等比数列的求和公式为

$$
\boxed
{
S_n= \begin{cases}\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q} & r \neq 1 \\ a n & q=1\end{cases}
}
$$

又因为 $a_n=a_1 q^{n-1}$ ，所以上述公式又可以写成

$$
\boxed{
S_n=\left\{\begin{array}{l}
\frac{a_1-a_n q}{1-q}(q \neq 1), \\
n a_1(q=1) .
\end{array}\right.
}
$$

这个公式表明，等比数列的前 $n$ 项和可由首项，公比和末项唯一确定．

## 等比数列的收敛性
当 $-1<q<1$ 时，
$\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0$
因此，我们可得无限项之和 (sum to infinity) 的公式为

$$
\boxed{
S_{\infty}=\frac{a}{1-q}
}
$$

会收敛到一个固定值

### 等比数列积
一个等比数列的首 $n$ 项之积，称为等比数列积 记作 $P_n$
举例来说，等比数列 $\{1,2,4,8\}$ 的积是 $1 \times 2 \times 4 \times 8=64$
等比数列求积的公式如下:

$$
P_n=a^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}
$$

证明如下

$$
\begin{aligned}
P_n & =a \cdot a r \cdot a q^2 \cdots a q^{n-1} \\
& =a^n \cdot q^{0+1+2+\cdots+(n-1)}
\end{aligned}
$$

## 等比数列与指数函数
类比等差数列，下面我们从函数的角度来研究等比数列 $\left\{a_n\right\}$ ．先看几个例子：已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 分别满足：
（1）$a_1=3, q=2$ ；
（2）$a_1=3, q=\frac{1}{2}$ ；
（3）$a_1=-3, q=2$ ；
（4）$a_1=-3, q=\frac{1}{2}$ ．
不难求得这四个等比数列的通项公式分别为：
（1）$a_n=3 \times 2^{n-1}$ ；
（2）$a_n=3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ；
（3）$a_n=-3 \times 2^{n-1}$ ；
（4）$a_n=-3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ．
上述通项公式可以看成自变量 $n$ 取正整数值的函数，它们的公比都是正数，将通项公式中的正整数自变量 $n$ 换成实数自变量 $x$ ，得到函数 $y=\frac{3}{2} \cdot 2^x, y=6 \cdot$ $\left(\frac{1}{2}\right)^x, y=-\frac{3}{2} \cdot 2^x, y=-6 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x$ ，它们都是一个非零常数 $c\left(c=\frac{a_1}{q}\right)$ 与指数函数 $y=q^x$（指数函数的底数为公比）的乘积：$y=c q^x$ ．由指数函数 $y=q^x$ 的图象可以得出 $y=c q^x$ 的图象，而 $y=c q^x$ 的图象上横坐标为正整数 $n$ 的孤立点 $\left(n, a_n\right)$ 组成上述等比数列的图象，如图 1．3－2（1）～（4）．
 ![图片](/uploads/2025-02/5b02f1.jpg)
 
 我们由指数函数的图象得到等比数列的图象，接下来就可以借助函数 $y=c q^x$ 的性质来分析等比数列的单调性。

显然，当 $q>1$ 时，指数函数 $y=q^x$ 递增；当 $0<q<1$ 时，指数函数 $y=q^x$ 递减．
若 $a_1>0, q>0$ ，那么 $c>0$ ．则当 $q>1$ 时，函数 $y=c q^r$ 递增，数列 $a_n=a_1 q^{n-1}$ 递增，如数列（1）；当 $0<q<1$ 时，函数 $y=c q^x$ 递减，数列 $a_n=a_1 q^{n-1}$ 递减，如数列（2）．

若 $a_1<0, q>0$ ，那么 $c<0$ ．则当 $q>1$ 时，函数 $y=c q^\tau$ 递减，数列 $a_n=a_1 q^{n-1}$递减，如数列（3）；当 $0<q<1$ 时，函数 $y=c q^x$ 递增，数列 $a_n=a_1 q^{n-1}$ 递增，如数列（4）．

值得指出的是，当等比数列的公比 $q=1$ 时，等比数列的各项都为常数 $a_1$ ，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点。

而当等比数列的公比 $q<0$ 时，例如等比数列的通项公式为 $a_n=3 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，此时如果将 $n$ 换成实数 $x$ ，得到 $y=3 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{x-1}$ ，当 $x$ 不为整数时没有意义，因此这样的等比数列不能通过指数函数来研究．当 $n$ 为奇数时，$a_n=3 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}>0$ ，当 $n$ 为偶数时， $a_n=3 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0$ ，可见该数列是摆动数列，既不递增也不递减，反映在图象上是一系列上下波动的孤立的点，如图 
 
  ![图片](/uploads/2025-02/d6ba1d.jpg)

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=3^n+a$ ．当常数 $a$满足什么条件时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列？

解 当 $n=1$ 时，可得 $a_1=S_1=3+a$ ．而当 $n \geqslant 2$ 时，

$$
a_n=S_n-S_{n-1}=\left(3^n+a\right)-\left(3^{n-1}+a\right)=2 \times 3^{n-1}
$$

从而

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2 \times 3^n}{2 \times 3^{n-1}}=3, n \geqslant 2 .
$$

于是，当且仅当 $\frac{a_2}{a_1}=3$ 时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列．由上式， $a_1=3+a$ ，而 $a_2=6$ ，由 $\frac{a_2}{a_1}=3$ ，解得 $a=-1$ 。

因此，当 $a=-1$ 时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列．

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