最后更新: 2024-09-14 19:59 ● 参与者查看: 319 次纠错分享评论参与项目

等比数列

## 等比数列的定义

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用 $G 、 P$ 表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 $q$ 表示 $(q \neq 0)$ ，等比数列 $a_1 \neq 0$ 。其中 $\left\{a_n\right\}$ 中的每一项均不为 0 。注: $q=1$ 时， $a_n$ 为常数列。
性质
如果一个等比数列的首项记作 $a$ ，公比记作 $q$ ，那么该等比数列第 $n$ 项的 $a_n$ 一般项为:

$$
a_n=a q^{n-1}
$$

换句话说，任意一个等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 都可以写成

$$
\left\{a, a q, a q^2, \cdots, a q^{n-1}\right\}
$$

在一个等比数列中，给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$, 可知其公比

$$
q=\frac{a_{n+1}}{a_n}
$$

给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，则有公比

$$
q=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}
$$

此外，在一个等比数列中，选聂某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说

$$
a_1 \times a_3=a_2^2
$$

一般的有
$a_{n-1} \times a_{n+1}=a_n{ }^2$ ， 证明如下:

$$
\begin{aligned}
a_{n-1} \times a_{n+1} & =a q^{n-2} \times a q^n \\
& =a^2 \times q^{2 n-2} \\
& =\left(a q^{n-1}\right)^2 \\
& =a_n^2
\end{aligned}
$$

从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均

$$
a_n=\pm \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}
$$

此结果从上面直接可得。如果有整数 $m, n, p, q$ 使得 $m+n=p+q$ 那么则有:

$$
a_m \cdot a_n=a_p \cdot a_q
$$

证明如下:

$$
\begin{aligned}
a_m \cdot a_n & =a q^{m-1} \cdot a q^{n-1} \\
& =a^2 a^{m+n-2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =a^2 q^{p+q-2} \\
& =a q^{p-1} \cdot a q^{q-1} \\
& =a_p \cdot a_q
\end{aligned}
$$

由此可将上面的性质一般化成:

$$
\begin{aligned}
& a_{n-k} \cdot a_{n+k}=a_n{ }^2 \\
& a_n=\pm \sqrt{a_{n-k} \cdot a_{n+k}}
\end{aligned}
$$

给定一个等比数列 $\left\{a_n\right\}$ ，则有:
$\left\{b \cdot a_n\right\}$ 是等比数列。
$\left\{\frac{b}{a_n}\right\}$ 是等比数列。
$\left\{\log _b\left(a_n\right)\right\}$ 是等差数列。
从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成

$$
a_n=p q^n
$$

## 等比数列和
一个等比数列的首 $n$ 项之和，称为等比数列和。其公式为

$$
S_n=\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q}
$$

其中 $a$ 为首项， $n$ 为项数， $q$ 为公比，且 $q \neq 1$
公式证明如下:
将等比数列和写作以下形式:

$$
S_n=a+a q+a q^2+\cdots+a q^{n-1} \ldots \cdots
$$

将两边同乘以公比 $q$ ，有:

$$
q S_n=a q+a q^2+\cdots+a q^n \cdots \cdots
$$

(1)式减去(2)式，有

$$
(1-q) S_n=a-a q^n
$$

当 $q \neq 1$ 时，移项得证

$$
S_n=\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q}
$$

当 $q=1$ 时可以发现:

$$
S_n=a+a q+a q^2+\cdots+a q^{n-1}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_n \\
& =n \times a \\
& =a n
\end{aligned}
$$

综上所述，等比数列的求和公式为

$$
S_n= \begin{cases}\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q} & r \neq 1 \\ a n & q=1\end{cases}
$$

等比数列的收敛性
当 $-1<q<1$ 时，
$\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0$
因此，我们可得无限项之和 (sum to infinity) 的公式为

$$
S_{\infty}=\frac{a}{1-q}
$$

会收敛到一个固定值
等比数列积
一个等比数列的首 $n$ 项之积，称为等比数列积 记作 $P_n$
举例来说，等比数列 $\{1,2,4,8\}$ 的积是 $1 \times 2 \times 4 \times 8=64$
等比数列求积的公式如下:

$$
P_n=a^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}
$$

证明如下

$$
\begin{aligned}
P_n & =a \cdot a r \cdot a q^2 \cdots a q^{n-1} \\
& =a^n \cdot q^{0+1+2+\cdots+(n-1)}
\end{aligned}
$$

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