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高中数学
第九章 数列
数列计算：构造法
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更新:
2025-05-28 07:29
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数列计算：构造法
## 构造法 通过引入适当参数，把数列构造成心的数列，基本形式有三种。  **命题点1 $a_{n+1}=p a_n+q(p \neq 0,1, q \neq 0)$** `例`数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=4 a_{n-1}+3(n \geqslant 2)$ 且 $a_1=0$ ，则 $a_{2024}$ 等于 A． $2^{2023}-1$ B． $4^{2023}-1$ C． $2^{2023}+1$ D． $4^{2023}+1$ 解： $$ \begin{aligned} & \because a_n=4 a_{n-1}+3(n \geqslant 2), \\ & \therefore a_n+1=4\left(a_{n-1}+1\right)(n \geqslant 2), \end{aligned} $$ $\therefore\left\{a_n+1\right\}$ 是以 1 为首项， 4 为公比的等比数列， 则 $a_n+1=4^{n-1}$ ． $$ \begin{aligned} & \therefore a_n=4^{n-1}-1, \\ & \therefore a_{2024}=4^{2023}-1 . \end{aligned} $$ **命题点2 $a_{n+1}=p a_n+q n+c(p \neq 0,1, q \neq 0)$** `例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=2 a_n-n+1\left(n \in N ^*\right), ~ a_1=3$ ，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式． 解： $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \because a_{n+1}=2 a_n-n+1, \\ & \therefore a_{n+1}-(n+1)=2\left(a_n-n\right), \\
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