最后更新: 2025-02-09 18:27 查看: 573 次反馈刷题

数学归纳法

## 数学归纳法
数学归纳法  是一种证明与自然数相关的定理的方法，它与自然数集合的良序公理等价， 且被列入如 Peano 公理等一些和自然数相关的公理当中。数学归纳法有以下几种形式，以下皆假设 $P(m)$ 是一个与自 然数相关 (以下将与定理相关的自然数设做 $m$ ) 的命题。

一般地，证明一个与正整数 $n$ 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行:
(1) (归纳奠基) 证明当 $n=n_0 \quad\left(n_0 \in N^*\right)$ 时命题成立；

(2) (归纳递推) 假设当 $\left.n=k （ k \in N^* ， k \geq n_0\right)$ 时命题成立，证明当 $n=k+1$ 时命题也成立。
根据 (1)(2)就可以断定命题对于从 $n_0$ 开始的所有正整数 $n$ 都成立。上述证明方法叫作数学归纳法。

用数学归纺法证明关键在于“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”

`例`请证明

$$
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}< 2-\frac{1}{n} \quad(n \geqslant 2) .
$$

证明：（数学归纳法）

① 当 $n=2$ 时, $1+\frac{1}{2^2}=\frac{5}{4}<2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, 命题成立.

② 假设 $n=k$ 的命透成立, 即 $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}<2$ $-\frac{1}{k}$

$$
\begin{aligned}
& \quad \text { 当 } n=k+1 \text { 时, } 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}< \\
& 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}=2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \\
& =2-\frac{1}{k+1} \text { 命题成立. }
\end{aligned}
$$

由 ① ② 可以证明原命题成立。

注意：数学归纳法的实质在于递推，所以从 " $k$ “到 “ $k+1$ " 的过程，必须把归纳假设" $n=k$ " 作 为条件来导出 “ $n=k+1$ " 时的命题,在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。

`例` 证明:
$$
S(n)=1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n-1} n^2=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}
$$

证明:
1. 当 $n=1$ 时, $S(1)=1$, 又 $(-1)^0 \frac{1(1+1)}{2}=1$, 所以等式成立.
2. 假设 $n=k$ 时, 有

$$
S(k)=1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{k-1} k^2=(-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2}
$$

那么, 当 $n=k+1$ 时, 有

$$
\begin{aligned}
S(k+1)=S(k)+(-1)^k(k+1)^2 & =(-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2}+(-1)^k(k+1)^2 \\
& =(-1)^k(k+1)\left[-\frac{k}{2}+(k+1)\right] \\
& =(-1)^k \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\
& =(-1)^k \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}
\end{aligned}
$$
`例`   用数学归纳法证明, 如果 $n$ 是一个正整数, 那么 $x^{2 n}-y^{2 n}$ 能被 $x+y$整除。

证明：
1. 当 $n=1$ 时, $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ 能被 $x+y$ 整除.
2. 假设当 $n=k$, ( $k$ 是自然数 $), x^{2 k}-y^{2 k}$ 能被 $x+y$ 整除, 那么当 $n=k+1$时，

$$
\begin{aligned}
x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)} & =x^2 \cdot x^{2 k}-y^2 \cdot y^{2 k} \\
& =x^2 \cdot x^{2 k}-x^2 y^{2 k}+x^2 y^{2 k}-y^2 \cdot y^{2 k} \\
& =x^2\left(x^{2 k}-y^{2 k}\right)+\left(x^2-y^2\right) \cdot y^{2 k}
\end{aligned}
$$

因为 $x^{2 k}-y^{2 k}$ 与 $x^2-y^2$ 都能被 $x+y$ 整除, 所以 $x^2\left(x^{2 k}-y^{2 k}\right)+\left(x^2-y^2\right) y^{2 k}$也能被 $x+y$ 整除，这就是说， $x^{2 k+1}-y^{2 k+1}$ 能被 $x+y$ 整除.

根据 1 和 2 , 命题成立.

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