最后更新: 2025-04-24 22:17 查看: 86 次反馈刷题

二次型的定义

## 二次型的定义
含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2... x_n$ 的二次齐次多项式

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+2 a_{13} x_1 x_3+\cdots+2 a_{1, n} x_1 x_n \\
& +a_{22} x_2^2+2 a_{23} x_2 x_3+\cdots+2 a_{2, n} x_2 x_n+\cdots+a_{n-1, n-1} x_{n-1}^2+2 a_{n-1, n} x_{n-1} x_n+a_{m n} x_n^2
\end{aligned}
$$

称为二次型. 如果所有系数 $a_{i j}(1 \leq i, j \leq n)$ 均为实数，则称二次型为实二次型.

像 $x_1^2+x_1x_2+x_3^2$是二次型，但是  $x_1^2+x_1x_2+x_3^2+x$不是二次型，$x_1^2+x_1x_2+x_3^2+1$也不是二次型。

### 标准形
特别地， 如果 $n$ 元二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 只含有平方项，即

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1^2+k_2 x_2^2+\cdots+k_n x_n^2 ，
$$

称这样的二次型为二次型的**标准形**.

### 规范形
如果标准形的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 只在 $1,-1,0$ 三个数中 取值，也就是

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2,
$$

就称其为二次型的**规范形**.

## 二次型与矩阵的关系
二次型实际上是 $n$ 元二次齐次多项式。为了使用矩阵作为分析二次型的工具, 我们找到了二次型和对称矩阵一一对应的关系。对于形如
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f(x_1,x_2,\cdots,x_n)   =   a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\
      +a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\\
    +\cdots+ a_{nn}x^2_n
\end{array}
\end{equation*}
$$
的二次型， 如果令$a_{ij}=a_{ji}$ , $2 a_{i j} x_i x_j=a_{i j} x_i x_j+a_{i j} x_j x_i$, 那么上式就可以改写为,

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)  \\
&= x_1\left(a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n\right) \\
&+ x_2\left(a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n\right) \\
&+\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots+ \\
&+ x_n\left(a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n\right)
\end{aligned}
$$

进而得到

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \\
\cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n
\end{array}\right) \\
& =\left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \\
& =x^{T} A x
\end{aligned}
$$

我们可以把他写成如下的矩阵相乘的形式。
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

通过上面操作，我们得到了二次多项式求二次型矩阵的关系快捷写法
>平方项系数放在矩阵的主对角线上。交叉项的系数除以2放在对应的位置上

如果用图表示如下

![图片](/uploads/2023-11/image_202311065d9e358.png)

因此，在写二次型的矩阵时, 要将交叉项 $x_i x_j$ 的系数 $a_{i j}$ 一分为二, 分别放在矩阵的第 $(i, j)$ 和 $(j, i)$ 的位置上, 而平方项 $x_i^2$ 的系数 $a_{i i}$ 就直接放在矩阵的对角线上的 $(i, i)$ 位置上。

显然, 二次型的矩阵将是一个**实对称矩阵**。**有人会问, 为啥要把交叉项的系数一分为二的放? 因为这样处理我们会得到一个对称矩阵, 对称矩阵有很优良的性质, 对处理二次型方便很多。再说了, 不这样把系数对半分的话, 一个二次型将有无数个矩阵相对应, 麻烦大了**。

可见, 任给一个二次型, 就唯一确定一个对称矩阵; 反之, 任给一个对称矩阵, 也就唯一确定一个二次型。其中矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 被称为二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的矩阵。

改写其为矩阵形式的表达式 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是为了方便。那么, 今后对二次型的研究就归结到对实对称矩阵的研究上来。

#### 二次型的记法
记

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right),
$$

则二次型可记作

$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x},
$$

其中 $A$ 为对称阵.

`例` 写出 $f(x, y)=a x^2+b x y+c y^2$ 的二次型矩阵。
解：
平方项$x^2,y^2$的系数$a,b$直接放到主对角线上。 交叉项系数$xy$的一半$\frac{b}{2}$放在对应位置上。
$$
f(x)=\left(\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right)\left[\begin{array}{ll}
a &  \frac{b}{2} \\
\frac{b}{2} & c
\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$$

## 二次型的秩
 二次型的系数构成的矩阵 $A$ 是由二次型 $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 唯一确定的一个对称矩阵，称为二次型 $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 的矩阵．二次型的秩定义为其对应矩阵的秩．

反过来，给定一个对称矩阵 $A$ ，则 $X^{ T } A X$ 也唯一确定了一个二次型．这表明，二次型与对称矩阵间是一一对应的．特别地，$n$ 元实二次型与 $n$ 阶实对称矩阵之间是——对应的。

`例` 二次型 $f=x_1^2-3 x_3^2-4 x_1 x_2+x_2 x_3$ 用矩阵记号写出来，就是

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
-2 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right) .
$$

写出下列二次型的矩阵，并求它们的秩．
（1）$f_1=3 x_1^2+2 x_2^2-x_3^2+2 x_1 x_2-4 x_2 x_3$ ．
（2）$f_2=x_1^2-2 x_1 x_3$ ．
（3）$f_4=\left[\begin{array}{lll}x_1 & x_2 & x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right]$ ．

【解】 ：（1）$A_1=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right]$ ．由于 $\operatorname{det} A_1=-17$ ，故 $\operatorname{rank} A_1=3$ ，即二次项的秩为 3 ．
（2）$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ．易知 $\operatorname{rank} A_2=2$ ，即二次项的秩为 2 。
（3）注意矩阵 $\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]$ 不是对称矩阵，因而它不是该二次型的矩阵．计算可得

$$
f=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+6 x_1 x_2+4 x_1 x_3+6 x_2 x_3,
$$

故二次型矩阵为

$$
A_3=\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2 \\
3 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 3
\end{array}\right] .
$$

由于 $\operatorname{det} A_3=-2$ ，故 $\operatorname{rank} A_3=3$ ，即二次项的秩为 3 。

## 由矩阵写出二次项
上面介绍了由二次多项式可以快速写出二次型矩阵，同样的，给出二次型矩阵也能快速写出二次多项式。
`例` 已知二次型矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 2 & \frac{1}{2} \\
-1 & \frac{1}{2} & -1
\end{array}\right)
$$
写出他的二次多项式。
解：直接写出来就是 $f=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_3+x_2 x_3$

`例` 已知 $$  f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1 x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)$$，写出他的二次型多项式。
解：**二次型矩阵必须为实对称矩阵，在这里矩阵并不完全实对称，因此把矩阵里的 $2,3$ 求和取一半**，写在对应的位置上，即改写为

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & \frac{5}{2} \\
1 & 0 & 1 \\
\frac{5}{2} & 1 & -1
\end{array}\right)
$$
然后写出
$f=x_1^2-3 x_3^2+2x_1 x_2 + 5x_1 x_3 + x_2x_3$

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