最后更新: 2024-10-18 21:17 ● 参与者查看: 41 次纠错分享参与项目词条搜索

二次型的定义

### 初步了解二次型的作用
一个二次方程为两个变量 $x$ 和 $y$ 的方程
$$ \boxed{
a x^2+2 bxy+c y^2+d x+e y+f=0 ...(1)
}
$$

方程（1）可写为

$$ \boxed{
\left[\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
b & c
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
d & e
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]+f=0
...(2)
} 
$$

令

$$
x =\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] \quad \text { 和 } \quad A=\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
b & c
\end{array}\right]
$$

则

$$
x ^{T} A x =a x^2+2 b x y+c y^2
$$

称为与 (1) 相关的二次型 (quadratic form).
**圆锥曲线**
一个形如 (1) 的方程对应的图形称为圆锥曲线 (conic section). 为圆、椭圆、抛物线或双曲线 (见图). 当圆锥曲线的方程可以化为下列标准形式之一时，其草图很容易绘制：
(i) $x^2+y^2=r^2$（圆）
(ii) $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$（椭圆）
(iii) $\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=1$ (双曲线)
(iv) $x^2=\alpha y$(抛物线)
我们称这些曲线是以原点为中心的. 且关于坐标轴对称的曲线为标准圆锥曲线
  ![图片](/uploads/2024-10/5f19f3.jpg)

`例`绘制方程$9 x^2-18 x+4 y^2+16 y-11=0$的草图.
解 为看到如何选择新的坐标系，我们进行配方：

$$
9\left(x^2-2 x+1\right)+4\left(y^2+4 y+4\right)-11=9+16
$$
这个方程可化简为
$$
\frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y+2)^2}{3^2}=1
$$
若令
$$
x^{\prime}=x-1 \quad \text { 及 } \quad y^{\prime}=y+2
$$

方程化为

$$
\frac{\left(x^{\prime}\right)^2}{2^2}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^2}{3^2}=1
$$
它在 $x^{\prime}$ 和 $y^{\prime}$ 下是标准形式. 因此图形为在 $x^{\prime} y^{\prime}$ 坐标系下标准位置的一个椭圆. 椭圆的中心在 $x^{\prime} y^{\prime}$ 平面中的原点，不难看出新坐标系的中心点坐标为 $(x, y)=(1,-2)$. $x^{\prime}$ 轴的方程为 $y^{\prime}=0$, 它在 $x y$ 平面上的方程为 $y=-2$. 类似地, $ y^{\prime}$ 轴对应于直线 $x=1$.
 ![图片](/uploads/2024-10/9f9186.jpg)
 
圆雉曲线平移相对简单，如果进行了旋转，则需要进行坐标变换，使得在新坐标系 $x^{\prime}$ 和 $y^{\prime}$ 下方程不含有 $x^{\prime} y^{\prime}$ 项。令 $x =(x, y)^{ T }$ 及 $x ^{\prime}=\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)^{ T }$ 。由于新坐标系和旧坐标系相差一个旋转, 我们有

$$
x =Q x ^{\prime} \quad \text { 或 } \quad x ^{\prime}=Q^{T} x
$$

其中旋转矩阵Q参加[坐标变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1339)

$$
Q=\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right] \text { 或 } \quad Q^{T}=\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

利用这种变量变换, (2) 化为

$$
\boxed{
\left( x ^{\prime}\right)^{T}\left(Q^{T} A Q\right) x ^{\prime}+\left[\begin{array}{ll}
d^{\prime} & e^{\prime}
\end{array}\right] x ^{\prime}+f=0
} ...(3)
$$

其中 $\left[\begin{array}{ll}d^{\prime} & e^{\prime}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}d & e\end{array}\right] Q$ 。这个方程不包含 $x^{\prime} y^{\prime}$ 项的充要条件是 $Q^{ T } A Q$ 为对角的. 由于 $A$ 是对称的, 可以求得一对规范正交向量 $q _1=\left(x_1,-y_1\right)^{ T }$ 和 $q _2=\left(y_1, x_1\right)^{ T }$ 。因此, 若令 $\cos \theta=x_1$ 及 $\sin \theta=y_1$, 则

$$
Q=\left[\begin{array}{ll} 
q _1 & q _2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
x_1 & y_1 \\
-y_1 & x_1
\end{array}\right]
$$

对角化 $A$, 且 (3) 化简为

$$
\lambda_1\left(x^{\prime}\right)^2+\lambda_2\left(y^{\prime}\right)^2+d^{\prime} x^{\prime}+e^{\prime} y^{\prime}+f=0
$$

`例` 考虑圆锥曲线

$$
3 x^2+2 x y+3 y^2-8=0
$$

该方程可写为

$$
\left[\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=8
$$

矩阵

$$
\left[\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]
$$

的特征值为 $\lambda=2$ 和 $\lambda=4$, 其对应的单位特征向量为

$$
\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T} \quad \text { 和 } \quad\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}
$$

令

$$
Q=\left[\begin{array}{rr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
\cos 45^{\circ} & \sin 45^{\circ} \\
-\sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ}
\end{array}\right]
$$

并令
$$
\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]
$$

于是

$$
Q^{\top} A Q=\left[\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]
$$

且圆雉曲线的方程化为

$$
2\left(x^{\prime}\right)^2+4\left(y^{\prime}\right)^2=8
$$

或

$$
\frac{\left(x^{\prime}\right)^2}{4}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^2}{2}=1
$$

在新坐标系下, $x^{\prime}$ 轴的方向由点 $x^{\prime}=1, y^{\prime}=0$ 确定. 为将其转换到 $x y$ 坐标系下, 我们作乘法

$$
\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right]= q _1
$$

$x^{\prime}$ 轴将在 $q _1$ 的方向上. 类似地, 为求得 $y^{\prime}$ 轴的方向, 我们作乘法

$$
Q e_2=q_2
$$

构成 $Q$ 的列的特征向量告诉了我们新坐标轴的方向（见图).

![图片](/uploads/2024-10/b898d3.jpg)
 
 通过上面的介绍，使得读者初步了解二次型的作用，具体请参考后续章节的介绍。
 
## 二次型的定义
### 二次型定义
含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2... x_n$ 的二次齐次多项式

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+2 a_{13} x_1 x_3+\cdots+2 a_{1, n} x_1 x_n \\
& +a_{22} x_2^2+2 a_{23} x_2 x_3+\cdots+2 a_{2, n} x_2 x_n+\cdots+a_{n-1, n-1} x_{n-1}^2+2 a_{n-1, n} x_{n-1} x_n+a_{m n} x_n^2
\end{aligned}
$$

称为二次型. 如果所有系数 $a_{i j}(1 \leq i, j \leq n)$ 均为实数，则称二次型为实二次型.

`例`像 $x_1^2+x_1x_2+x_3^2$是二次型，但是  $x_1^2+x_1x_2+x_3^2+x$不是二次型，$x_1^2+x_1x_2+x_3^2+1$也不是二次型。

### 标准形
特别地， 如果 $n$ 元二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 只含有平方项，即

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1^2+k_2 x_2^2+\cdots+k_n x_n^2 ，
$$

称这样的二次型为二次型的**标准形**.

### 规范形
如果标准形的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 只在 $1,-1,0$ 三个数中 取值，也就是

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2,
$$

就称其为二次型的**规范形**.

## 二次型与矩阵的关系
二次型实际上是 $n$ 元二次齐次多项式。为了使用矩阵作为分析二次型的工具, 我们找到了二次型和对称矩阵一一对应的关系。对于形如
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f(x_1,x_2,\cdots,x_n)   =   a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\
      +a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\\
    +\cdots+ a_{nn}x^2_n
\end{array}
\end{equation*}
$$
的二次型， 如果令$a_{ij}=a_{ji}$ , $2 a_{i j} x_i x_j=a_{i j} x_i x_j+a_{i j} x_j x_i$, 那么上式就可以改写为,

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)  \\
&= x_1\left(a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n\right) \\
&+ x_2\left(a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n\right) \\
&+\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots+ \\
&+ x_n\left(a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n\right)
\end{aligned}
$$

进而得到

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \\
\cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n
\end{array}\right) \\
& =\left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \\
& =x^{T} A x
\end{aligned}
$$

我们可以把他写成如下的矩阵相乘的形式。
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

通过上面操作，我们得到了二次多项式求二次型矩阵的关系快捷写法
>平方项系数放在矩阵的主对角线上。交叉项的系数除以2放在对应的位置上

如果用图表示如下

![图片](/uploads/2023-11/image_202311065d9e358.png)

因此，在写二次型的矩阵时, 要将交叉项 $x_i x_j$ 的系数 $a_{i j}$ 一分为二, 分别放在矩阵的第 $(i, j)$ 和 $(j, i)$ 的位置上, 而平方项 $x_i^2$ 的系数 $a_{i i}$ 就直接放在矩阵的对角线上的 $(i, i)$ 位置上。

显然, 二次型的矩阵将是一个**实对称矩阵**。**有人会问, 为啥要把交叉项的系数一分为二的放? 因为这样处理我们会得到一个对称矩阵, 对称矩阵有很优良的性质, 对处理二次型方便很多。再说了, 不这样把系数对半分的话, 一个二次型将有无数个矩阵相对应, 麻烦大了**。

可见, 任给一个二次型, 就唯一确定一个对称矩阵; 反之, 任给一个对称矩阵, 也就唯一确定一个二次型。其中矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 被称为二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的矩阵。

改写其为矩阵形式的表达式 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是为了方便。那么, 今后对二次型的研究就归结到对实对称矩阵的研究上来。

#### 二次型的记法
记

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right),
$$

则二次型可记作

$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x},
$$

其中 $A$ 为对称阵.

`例` 写出 $f(x, y)=a x^2+b x y+c y^2$ 的二次型矩阵。
解：
平方项$x^2,y^2$的系数$a,b$直接放到主对角线上。 交叉项系数$xy$的一半$\frac{b}{2}$放在对应位置上。
$$
f(x)=\left(\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right)\left[\begin{array}{ll}
a &  \frac{b}{2} \\
\frac{b}{2} & c
\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$$

`例` 二次型 $f=x_1^2-3 x_3^2-4 x_1 x_2+x_2 x_3$ 用矩阵记号写出来，就是

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
-2 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right) .
$$

## 由矩阵写出二次项
上面介绍了由二次多项式可以快速写出二次型矩阵，同样的，给出二次型矩阵也能快速写出二次多项式。
`例` 已知二次型矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 2 & \frac{1}{2} \\
-1 & \frac{1}{2} & -1
\end{array}\right)
$$
写出他的二次多项式。
解：直接写出来就是 $f=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_3+x_2 x_3$

`例` 已知 $$  f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1 x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)$$，写出他的二次型多项式。
解：二次型矩阵必须为实对称矩阵，在这里矩阵并不完全实对称，因此把矩阵里的 $2,3$ 求和取一般，写在对应的位置上，即改写为

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & \frac{5}{2} \\
1 & 0 & 1 \\
\frac{5}{2} & 1 & -1
\end{array}\right)
$$
然后写出
$f=x_1^2-3 x_3^2+2x_1 x_2 + 5x_1 x_3 + x_2x_3$

### 本章在线教程
https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1

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