最后更新: 2024-11-26 08:29 ● 参与者查看: 183 次纠错分享参与项目词条搜索

矩阵的合同

### 为什么引入合同？
在二次多项式里，比如 $f=x_1^2+2 x_1 x_2+ x_2 ^2$ 就很好，因为他可以写成 $f=(x_1+x_2^2)^2$ 这样，他的图形就和初中学过的$y=x^2$类似，$f$的很多性质也一目了然，比如 $f=(x_1+x_2^2)^2$ 可以知道他的函数开口向上，而且有最小值，甚至知道最小值$f \ge 0$。
但是，如果我们给$f$交叉项修改一下 $f=x_1^2+ x_1 x_2+ x_2 ^2$ 此时，就发现$f$不是完全平方项了，想知道$f$的极值也变的困难。
因此，首要的任务是一个二次多项式能否通过线性替换，去掉交叉项，让$f$仅包含平方项，答案是肯定的。

事实上，对于一个简单的二次型 $a x^2+b x y+c y^2=1$ ，这个式子的几何意义是一个歪了的椭圆或者双曲线，例如是一个椭圆，我们的目的是将这个椭圆的中心点拉回到坐标原点，让轴水平和坚直，也就是进行一个变换操作，将椭圆标准化，准确地说就是将原来的方程变换为标准方程，对应的标准方程就是这个二次型的标准型。

$$
a x^2+b x y+c y^2=1 \rightarrow m x^{\prime 2}+n y^{\prime 2}=1
$$

椭圆标准方程: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>b>0)$
双曲线标准方程: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>b>0)$

## 相似与合同
先联想一下相似变换的本质，相似变换就是从一个基到另一个基，相似变换通俗的理解可以类比初中学习的相似三角形,两个三角形相似有很多优良性质：对应边成比例，对应角相等等,但是相似三角形有一个致命缺陷：对应边长不相等。如果你的研究只关心三角形角度关系使用相似三角形就可以了。但是如果你的研究更关心两个三角形的边长关系，此时就必须使用全等三角形。
 ![图片](/uploads/2024-11/ba095f.jpg){width=200px}

同样，矩阵相似给矩阵研究带来了方便，如果你是想研究两个矩阵的秩，矩阵的基本性质使用矩阵的相似变换就可以了，但是如果你是研究矩阵的极值，矩阵向量的长度就必须使用矩阵的合同变幻。因为只有矩阵合同变换**不改变函数固有的属性，比如函数的值，向量的长度**等，

> 矩阵相似可以类似初中学的相似三角形
矩阵合同可以类比初中学的全等三角形

对于一个矩阵，矩阵的合同变换是如何不更改二次多项式的值呢？
对于一个二次型:
$$
f(x)=X^{\mathrm{T}} A X ... (7.4)
$$

有一个向量替换关系 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{y}$, 把它带入式 (7.4), 则函数值不变, 得到

$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=(\boldsymbol{C} \boldsymbol{y})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C y}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C}\right) \boldsymbol{y} ...(7.5)
$$

式 (7.5) 最后的表达式中的度量矩阵是 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C}$, 这正是一个**合同变换**。

确实是矩阵的 “合同” 变换, 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的左、右同时变换 (左乘 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}$ 和右乘 $\boldsymbol{C}$ ), 行和列的变换 “合同” 进行。

事实上合同的定义就是：若有$A$和$B$两个矩阵，存在可逆矩阵$C$ , 使得 $B=C^TAC $ 则称矩阵$A$合同矩阵$B$，这就是合同的定义。

但是，上面的合同定义是广义的，还不能满足我们的需求，我们看比较一下相似和合同

$B=C^{-1}AC $ 是相似的定义 
$B=C^TAC $  是合同的定义

仔细比较上面的定义，如果 $C^{-1}=C^{T}$ 那么这种变换既能满足矩阵的简化又不改变矩阵的值，这不正是我们想要的吗？ 是的，只有正交矩阵有这种性质，为此我们研究一下[施密特正交化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=493)

接着引入正交矩阵，定义如果A满足 $A^T A=E$ 称呼矩阵A为 [**正交矩阵**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=494)

###  再看等价、相似与合同
据说, 整个线性代数里矩阵之间有三种最典型的关系: 矩阵相似 (similar)、矩阵等价 (equivalent) 和矩阵合同(congruent)。具体的定义如下:
(1) $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 等价 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $B=P A Q$;
(2) $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$;
(3) $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 。
注意这三种关系的联系和差别。据定义可以知道, 这三种矩阵关系都是等价关系。其中等价关系是最弱的一个关系: 两个矩阵相似, 或两个矩阵合同, 那这两个矩阵一定是等价的, 但是反过来不成立。相似与合同矩阵之间不能够互相推导。但是如果两个实对称矩阵是相似的,那肯定是合同的; 反之也成立。如果从整体上来看矩阵之间的三种关系, 我们会想到用集合来表示三者之间的关系(见图 5-68)。集合的表示更加清晰地展现了矩阵等价、相似、合同三者之间的关系。

图中显示, 相似的矩阵不一定合同, 合同的矩阵不一定相似。但相似和合同有交集, 就是有既相似又合同的矩阵。若转换矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$, 这两定义变成相同, 则 $\boldsymbol{A} 、 \boldsymbol{B}$ 两个矩阵既是相似的又是合同的, 但具备这种性质的矩阵 $\boldsymbol{P}$, 只有正交矩阵一类, 因为这正是**正交矩阵的定义**。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231107ff573ba.png)

### 二次型图形
再次回到二次型图形，原本图形形状不做改变的过程，仅仅是同一图形在不同基下的表达形式而已。因此，对于二次型标准化的本质也就清楚了，所谓二次型标准化，本质上就是基的改变，通过定义一个新的坐标系，使得原图形在新的基下是标准形式，然后再通过相似变换将原图形映射过去即可。
 ![图片](/uploads/2024-10/8a9e06.jpg)

坐标变换后，对图形的研究可以带来方便，比如圆的面积是$S=\pi r^2$, 而椭圆的面积是$S=\pi ab$ ，可以看到他们非常类似，这似乎也告诉我们，对于椭圆的研究，利用坐标变换后，也可以采用圆的性质

## 二次型的标准形

对于二次型
$$
\begin{array}{r}
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+\cdots+2 a_{1 n} x_1 x_n \\
+a_{22} x_2^2+\cdots+2 a_{2 n} x_2 x_n \\
+\cdots+a_{n n} x_n^2
\end{array}  ...(1)
$$ 
去掉他的交叉项，就是标准形。这里的“去掉”是通俗说法，因为真的去掉会更改$f$的值，正确说法是线性替换，设$x=cy$，通过引入一个线性替换，消去交叉项。

> 所谓二次型标准型就是去掉二次型里烦人的交叉项

**定义:** 如果 $n$ 元二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 只含有平方项，即$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2$ 称这样的二次型为**标准形**.

既然标准形本质仍是二次型，因此可以快速写出他的二次型矩阵：

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_n 
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 &   &   \\
  & \lambda_2 &   \\
  &   & \lambda_n 
\end{array}\right)
$$

即：

$$
\begin{aligned}
f & =\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 \\
& =\left(\begin{array}{llll}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right) \\
& = y ^{T} \Lambda y
\end{aligned} 
...(2)
$$

现在，我们核心工作是怎么寻找一个线性替换，把(1)中的$x$多项式转换为(2)中的$y$多项式。

>这里的 $xx$ 是二次型中的未知数，$yy$ 是该二次型对应的标准型中的未知数,我们不关心向量y是什么样的, 我们只关心中间的矩阵怎么找，为此先引入线性替换

## 线性替换
关系式

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1=c_{11} y_1+c_{12} y_2+\cdots+c_{1 n} y_n \\
x_2=c_{21} y_1+c_{22} y_2+\cdots+c_{2 n} y_n \\
\vdots \quad \vdots \quad \vdots \\
x_n=c_{n 1} y_1+c_{n 2} y_2+\cdots+c_{n n} y_n
\end{array}\right. ...(3)
$$

称为由变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 到变量 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的线性替换。

记

$$
C=\left(\begin{array}{cccc}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n}
\end{array}\right), \quad X=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), \quad Y=\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)
$$

则(3)可以表示为 $X=C Y$ 。

当 $C$ 可逆矩阵时，线性替换称为**可逆线性替换或非退化线性替换**。
当 $C$ 不可逆矩阵时，线性替换称为**不可逆线性替换或退化线性替换**。
当 $C$ 正交矩阵时，线性替换称为**正交线性替换**。

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶对称方阵。则二次型

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=X^T A X
$$

经过可逆线性替换 $X=C Y$ 化为

$$
g\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)=Y^T B Y
$$

的充分必要条件是存在可逆矩阵 $C$ ，使得

$$
C^T A C=B .
$$
现在要引入一个新概念：合同。

## 合同
如果存在 $n$ 阶可逆矩阵 $C$ ，使得 $B=C^T A C $ 则称矩阵$A$合同矩阵$B$。

>注意这里不要与相似变换混渚的概念，相似变换是 $B=P^{-1} A P$ ，相似变换是在不同基的同一矩阵进行变换，而合同变换则表示二次型到标准型的变换
关于矩阵的等价、合同、相似请点击[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

矩阵间的合同关系是一个等价关系，满足
**（1）** 反身性：每一个方阵都与它自身合同. 这是因为 $A=E^{\mathrm{T}} A E$.
**（2）** 对称性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 也合同. 这是因为由 $B=C^{\mathrm{T}} A C$ 及矩阵 $C$ 可逆可 得 $A=P^{\mathrm{T}} B P$ ，其中 $P=C^{-1}$.
**（3）** 传递性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同， $B$ 与 $C$ 合同，则 $A$ 与 $C$ 也合同. 这是因为由 $B=P^{\mathrm{T}} A P$ 及 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{Q}$ 可得 $\boldsymbol{C}=(\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q})^{\mathrm{T}} A(\boldsymbol{P Q})$.

### 合同的性质
- $F$ 上 $n$ 阶方阵的合同关系是等价关系。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $A$ 与 $B$ 相抵。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $A$ 与 $B$ 的秩相同。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同且 $A^T=A$ ，则 $B^T=B$ 。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同且 $A^T=-A$ ，则 $B^T=-B$ 。
- 若 $A$ 与 $B$ 正交相似，则 $A$ 与 $B$ 相似且 $A$ 与 $B$ 合同。
- 设对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $B=C^T A C$ 。

>提示：单独看合同的定义，$B=C^T A C $ 并不要求$A$一定是对称矩阵。但是如果$A$是对称矩阵，合同会有更好的性质。

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