最后更新: 2025-11-22 10:40 查看: 565 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵的合同

### 为什么引入合同？
在二次多项式里，比如 $f=x_1^2+2 x_1 x_2+ x_2 ^2$ 就很好，因为他可以写成 $f=(x_1+x_2^2)^2$ 这样，他的图形就和初中学过的$y=x^2$类似，$f$的很多性质也一目了然，比如 $f=(x_1+x_2^2)^2$ 可以知道他的函数开口向上，而且有最小值，甚至知道最小值$f \ge 0$。
但是，如果我们给$f$交叉项修改一下 $f=x_1^2+ x_1 x_2+ x_2 ^2$ 此时，就发现$f$不是完全平方项了，想知道$f$的极值也变的困难。
因此，首要的任务是一个二次多项式能否通过线性替换，去掉交叉项，让$f$仅包含平方项，这样方便我们研究函数的性质。答案是肯定的。所以，我们的首要任务是**消灭交叉项**。

### 合同的几何意义

> 在线性代数里，合同的本意是“重合后相同”，这和日常生活中说的“法律合同”完全不相干。核心思想是两个二次型如果可以通过坐标系的旋转、缩放互相转换，它们就是合同的。

> 想象你看戏，相似变换相于你在前、后、左、右等不同视角看演员。 合同变换相当于你在正前方 远、近看演员。而正交变换相当于你在正前方距离为1的最佳视角看演员。

`例`举一个最简单的例子：$x^2+y^2=1$ 表示半径为1的圆。 而 $x^2+y^2=4$ 表示半径为2的圆，我们容易看到，圆1通过放大2倍，就可以变成圆2，因此，我们说 “圆1与圆2”是图形是合同的。
 ![图片](/uploads/2025-03/038d9b.jpg){width=200px}

根据二次型的定义，如果写出圆1的二次型矩阵为

$$
A_1=\left(\begin{array}{c}
1 & 0 \\
0 & 1
  \end{array}
  \right)
$$

，圆2的二次型矩阵为

$$
A_2=\left( \begin{array}{c}
\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
 \end{array}
\right)
$$

直觉告诉我们，$A_1$和$A_2$是合同的，那么怎么用数学语言证明来说两个矩阵是“合同”的呢？ 参考上图，一个简单方式是圆的$x,y$轴同时放大相同倍数即可。
因此，我们定义
$$
B=C^TAC
$$

> **从几何意义上简单理解就是，$A,B$是合同的。 这里矩阵A左乘$C^T$相当于作用在行轴进行放大N倍，而矩阵A右乘$C$相当于作用在列轴上进行放大同样的N倍。放大后，$A=B$，所以是重合的。**

> **更通俗的理解，合同就是矩阵的等比例缩放**

相似变换可能是$x$缩放2倍，$y$缩放3倍，而合同变换是$x,y$要么同时缩放2倍，要么同时缩放3倍。 合同除了缩放，还有旋转的意义在里面，见下例。

`例` 方程 $3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2=6$ 表示怎样的曲线？是不是标准的椭圆，或者双曲线，或者抛物线呢？
解：从方程可以看到，该方程表示的是一条中心与坐标原点重合的曲线，并且曲线关于原点对称(为什么？因为没有一次项，详见二次型的意义)，但是并不能从该方程上直接看出它表示图形是不是日常见到的椭圆，双曲线，或者抛物线，或者是其他怎样的曲线．为此，考虑对左侧的关于 $x, y$ 变量的二次多项式作线性变换(可以使用配方法实现，后面会简单解释)，令

$$
x=\frac{u}{2}-\frac{\sqrt{3} v}{2}, y=\frac{\sqrt{3} u}{2}+\frac{v}{2}
$$

这里使用了一个正交矩阵，由于旋转变换是一个正交变换，表示的是将坐标轴逆时针旋转 $\theta$ 角的变换。因此变换后的方程与原方程表示的同一条曲线。

如果不使用正交矩阵也可以，那么图形会变形（例如圆是拉伸乘椭圆）。
这里他是逆时钟旋转 $\frac{\pi}{3}$ 的旋转变换。

代入上面的二次多项式，可得

$$
\begin{aligned}
2\left(3 u^2+v^2\right) & =6 \\
\text { 即 } u^2+\frac{v^2}{3} & =1 .
\end{aligned}
$$
 
从方程可以看到它是一个椭圆。

![图片](/uploads/2025-04/bb4da0.jpg){width=300px}
 
红色的是原方程曲线，蓝色的是旋转后的曲线. 上述变换过程，从代数的观点来看，二次型就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式（只含二次项）化为只含平方项的多项式的过程.

## 合同
任给一个二次型就确定了一个对称矩阵，反之，任给一个对称矩阵，也可以唯一确定一个二次型，这样二次型与对称矩阵就存在一一对应的关心。

例如，平面二次曲线 $a x^2+2 b x y+c y^2=d$ ，经非奇异线性替换

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x^{\prime} \cos \theta-y^{\prime} \sin \theta, \\
y=x^{\prime} \sin \theta+y^{\prime} \cos \theta
\end{array} \quad \text { 即 }\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}\right.
$$

可化为标准方程

$$
a^{\prime} x^{\prime 2}+b^{\prime} y^{\prime 2}=d,
$$

此标准方程仍代表了一个二次型．

**这样，我们研究二次型就能得到曲线的形状，反之，通过曲线的形状也能得到二次型。**

设 $f(X)=X^{ T } A X$ 为一个 $n$ 元二次型，$X=C Y$ 为可逆线性变换，将 $X=C Y$ 代入该二次型中，得

$$
\begin{aligned}
f(X) & =X^{T} A X=(C Y)^{T} A(C Y) \\
& =Y^{T}\left(C^{T} A

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