最后更新: 2025-04-25 07:53 查看: 328 次反馈刷题

矩阵的合同

### 为什么引入合同？
在二次多项式里，比如 $f=x_1^2+2 x_1 x_2+ x_2 ^2$ 就很好，因为他可以写成 $f=(x_1+x_2^2)^2$ 这样，他的图形就和初中学过的$y=x^2$类似，$f$的很多性质也一目了然，比如 $f=(x_1+x_2^2)^2$ 可以知道他的函数开口向上，而且有最小值，甚至知道最小值$f \ge 0$。
但是，如果我们给$f$交叉项修改一下 $f=x_1^2+ x_1 x_2+ x_2 ^2$ 此时，就发现$f$不是完全平方项了，想知道$f$的极值也变的困难。
因此，首要的任务是一个二次多项式能否通过线性替换，去掉交叉项，让$f$仅包含平方项，这样方便我们研究函数的性质。答案是肯定的。所以，我们的首要任务是**消灭交叉项**。

### 合同的几何意义

> 在线性代数里，合同的本意是“重合后相同”，这和日常生活中说的“法律合同”完全不相干。核心思想是两个二次型如果可以通过坐标系的旋转、缩放互相转换，它们就是合同的。

`例`举一个最简单的例子：$x^2+y^2=1$ 表示半径为1的圆。 而 $x^2+y^2=4$ 表示半径为2的圆，我们容易看到，圆1通过放大2倍，就可以变成圆2，因此，我们说 “圆1与圆2”是图形是合同的。
 ![图片](/uploads/2025-03/038d9b.jpg){width=200px}

根据二次型的定义，如果写出圆1的二次型矩阵为

$$
A_1=\left(\begin{array}{c}
1 & 0 \\
0 & 1
  \end{array}
  \right)
$$

，圆2的二次型矩阵为

$$
A_2=\left( \begin{array}{c}
\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
 \end{array}
\right)
$$

直觉告诉我们，$A_1$和$A_2$是合同的，那么怎么用数学语言证明来说两个矩阵是“合同”的呢？ 参考上图，一个简单方式是圆的$x,y$轴同时放大相同倍数即可。
因此，我们定义
$$
B=C^TAC
$$

> **从几何意义上简单理解就是，$A,B$是合同的。 这里矩阵A左乘$C^T$相当于作用在行轴进行放大N倍，而矩阵A右乘$C$相当于作用在列轴上进行放大同样的N倍。放大后，$A=B$，所以是重合的。**

合同除了缩放，还有旋转的意义在里面，见下例。

`例` 方程 $3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2=6$ 表示怎样的曲线？是不是标准的椭圆，或者双曲线，或者抛物线呢？
解：从方程可以看到，该方程表示的是一条中心与坐标原点重合的曲线，并且曲线关于原点对称(为什么？因为没有一次项，详见二次型的意义)，但是并不能从该方程上直接看出它表示图形是不是日常见到的椭圆，双曲线，或者抛物线，或者是其他怎样的曲线．为此，考虑对左侧的关于 $x, y$ 变量的二次多项式作线性变换(可以使用配方法实现，后面会简单解释)，令

$$
x=\frac{u}{2}-\frac{\sqrt{3} v}{2}, y=\frac{\sqrt{3} u}{2}+\frac{v}{2}
$$

这里使用了一个正交矩阵，由于旋转变换是一个正交变换，表示的是将坐标轴逆时针旋转 $\theta$ 角的变换。因此变换后的方程与原方程表示的同一条曲线。

如果不使用正交矩阵也可以，那么图形会变形（例如圆是拉伸乘椭圆）。
这里他是逆时钟旋转 $\frac{\pi}{3}$ 的旋转变换。

代入上面的二次多项式，可得

$$
\begin{aligned}
2\left(3 u^2+v^2\right) & =6 \\
\text { 即 } u^2+\frac{v^2}{3} & =1 .
\end{aligned}
$$
 
从方程可以看到它是一个椭圆。

![图片](/uploads/2025-04/bb4da0.jpg){width=300px}
 
红色的是原方程曲线，蓝色的是旋转后的曲线. 上述变换过程，从代数的观点来看，二次型就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式（只含二次项）化为只含平方项的多项式的过程.

## 合同
任给一个二次型就确定了一个对称矩阵，反之，任给一个对称矩阵，也可以唯一缺点一个二次型，这样二次型与对称矩阵就存在一一对应的关心。

设 $f(X)=X^{ T } A X$ 为一个 $n$ 元二次型，$X=C Y$ 为可逆线性变换，将 $X=C Y$ 代入该二次型中，得

$$
\begin{aligned}
f(X) & =X^{T} A X=(C Y)^{T} A(C Y) \\
& =Y^{T}\left(C^{T} A C\right) Y
\end{aligned}
$$

令 $B=C^{ T } A C$ ，则 $B$ 即为变换后所得新二次型的矩阵。

如果存在 $n$ 阶可逆矩阵 $C$ ，使得 $B=C^T A C $ 则称矩阵$A$合同矩阵$B$。

>注意这里不要与相似变换混渚的概念，相似变换是 $B=P^{-1} A P$ ，相似变换是在不同基的同一矩阵进行变换，而合同变换则表示二次型到标准型的变换，关于矩阵的等价、合同、相似请点击[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

矩阵间的合同关系是一个等价关系，满足
**（1）** 反身性：每一个方阵都与它自身合同. 这是因为 $A=E^{\mathrm{T}} A E$.
**（2）** 对称性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 也合同. 这是因为由 $B=C^{\mathrm{T}} A C$ 及矩阵 $C$ 可逆可 得 $A=P^{\mathrm{T}} B P$ ，其中 $P=C^{-1}$.
**（3）** 传递性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同， $B$ 与 $C$ 合同，则 $A$ 与 $C$ 也合同. 这是因为由 $B=P^{\mathrm{T}} A P$ 及 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{Q}$ 可得 $\boldsymbol{C}=(\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q})^{\mathrm{T}} A(\boldsymbol{P Q})$.

### 合同的性质
- $F$ 上 $n$ 阶方阵的合同关系是等价关系。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $A$ 与 $B$ 相抵。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $A$ 与 $B$ 的秩相同。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同且 $A^T=A$ ，则 $B^T=B$ 。
- 若 $A$ 与 $B$ 合同且 $A^T=-A$ ，则 $B^T=-B$ 。
- 若 $A$ 与 $B$ 正交相似，则 $A$ 与 $B$ 相似且 $A$ 与 $B$ 合同。
- 设对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $B=C^T A C$ 。

>提示：单独看合同的定义，$B=C^T A C $ 并不要求$A$一定是对称矩阵。但是如果$A$是对称矩阵，合同会有更好的性质。

## 二次型的标准形

对于二次型
$$
\begin{array}{r}
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+\cdots+2 a_{1 n} x_1 x_n \\
+a_{22} x_2^2+\cdots+2 a_{2 n} x_2 x_n \\
+\cdots+a_{n n} x_n^2
\end{array}  ...(1)
$$ 
去掉他的交叉项，就是标准形。这里的“去掉”是通俗说法，因为真的去掉会更改$f$的值，正确说法是线性替换，设$x=cy$，通过引入一个线性替换，消去交叉项。

> 所谓二次型标准型就是去掉二次型里烦人的交叉项

**定义:** 如果 $n$ 元二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 只含有平方项，即$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2$ 称这样的二次型为**标准形**.

既然标准形本质仍是二次型，因此可以快速写出他的二次型矩阵：

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_n 
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 &   &   \\
  & \lambda_2 &   \\
  &   & \lambda_n 
\end{array}\right)
$$

即：

$$
\begin{aligned}
f & =\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 \\
& =\left(\begin{array}{llll}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right) \\
& = y ^{T} \Lambda y
\end{aligned} 
...(2)
$$

现在，我们核心工作是怎么寻找一个线性替换，把(1)中的$x$多项式转换为(2)中的$y$多项式。

>这里的 $xx$ 是二次型中的未知数，$yy$ 是该二次型对应的标准型中的未知数,我们不关心向量y是什么样的, 我们只关心中间的矩阵怎么找，为此先引入线性替换

## 线性替换
关系式

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1=c_{11} y_1+c_{12} y_2+\cdots+c_{1 n} y_n \\
x_2=c_{21} y_1+c_{22} y_2+\cdots+c_{2 n} y_n \\
\vdots \quad \vdots \quad \vdots \\
x_n=c_{n 1} y_1+c_{n 2} y_2+\cdots+c_{n n} y_n
\end{array}\right. ...(3)
$$

称为由变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 到变量 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的线性替换。

记

$$
C=\left(\begin{array}{cccc}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n}
\end{array}\right), \quad X=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), \quad Y=\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)
$$

则(3)可以表示为 $X=C Y$ 。

当 $C$ 可逆矩阵时，线性替换称为**可逆线性替换或非退化线性替换**。
当 $C$ 不可逆矩阵时，线性替换称为**不可逆线性替换或退化线性替换**。
当 $C$ 正交矩阵时，线性替换称为**正交线性替换**。

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶对称方阵。则二次型

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=X^T A X
$$

经过可逆线性替换 $X=C Y$ 化为

$$
g\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)=Y^T B Y
$$

的充分必要条件是存在可逆矩阵 $C$ ，使得

$$
C^T A C=B .
$$
所以我们引入了一个新概念：合同。

`例` 设二次型

$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2, \\
& g(u, v)=6 u^2+2 v^2
\end{aligned}
$$

试求可逆矩阵 $C$ ，使得 $f$ 的二次型矩阵 $A$ 与 $g$ 的二次型矩阵 $B$ 合同，即 $B=C^{ T } A C$ ．

解 ：两二次型的矩阵分别为

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
3 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 5
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right] .
$$

通过凑项配方原二次型来得到

$$
\begin{aligned}
f(x, y) & =3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2 \\
& =\frac{3}{2}(x+\sqrt{3} y)^2+\frac{1}{2}(y-\sqrt{3} x)^2 .
\end{aligned}
$$

于是令 $u=x+\sqrt{3} y, v=y-\sqrt{3} x$ ，可以将原二次型转换为标准二次型， 这个变换可以改写为

$$
\begin{aligned}
& x=\frac{1}{4}(u-\sqrt{3} v) \\
& y=\frac{1}{4}(\sqrt{3} u+v) .
\end{aligned}
$$

用矩阵可以描述为

$$
\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
u \\
v
\end{array}\right]
$$

于是有

$$
\begin{aligned}
C^{T} A C & =\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\
-\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
3 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 5
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{cc}
\frac{3}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
\end{array}\right]=B'
\end{aligned}
$$
这里$B'$和$B$相比，图像不变但是缩放了4倍。

## 再次讨论一下合同
为什么合同的定义是 $B=C^T A C $ 而不是其它，例如不是定义 $B=C T A C $ 为合同呢？
### 数学上解释
假设我们有一个二次型 $f(x) = x^T A x$，其中 $x$ 是列向量，$A$ 是对称矩阵。  
当进行变量替换 $\mathbf{x} = C \mathbf{y}$（$C$ 是可逆矩阵，$\mathbf{y}$ 是新变量）时，原二次型变为：  
$$
f(x) = (C \mathbf{y})^T A (C \mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (C^T A C) \mathbf{y}.
$$  
此时，新二次型的矩阵必须为 $C^T A C$，否则表达式无法保持二次型的标量性质（即右边必须是标量）。  
关键点：  
• 变量替换后，矩阵乘法需要满足维度匹配，转置 $C^T$ 的作用是调整矩阵位置，使表达式合法。

• 若直接用 $C^{-1} A C$（相似变换），会导致 $\mathbf{y}^T C^{-1} A C \mathbf{y}$ 的维度不匹配（除非 $C$ 是方阵且对称，但这限制了变换类型）。

### 几何意义：保持二次型的“本质形状” 
合同变换的核心目的是通过坐标变换（旋转、缩放）改变二次型的表示形式，但保持其几何本质（如椭圆还是双曲线）。  
• 转置的作用：

当 $C$ 是正交矩阵（即 $C^T = C^{-1}$）时，合同变换 $C^T A C$ 相当于旋转或反射坐标系，不改变向量的长度和内积（即保持几何形状）。  
  例如，将斜椭圆旋转为标准椭圆时，转置矩阵 $C^T$ 对应旋转操作，消除交叉项 $xy$。

• 缩放操作：

如果 $C$ 是对角矩阵（缩放矩阵），则 $C^T A C$ 相当于沿坐标轴缩放，调整二次型的系数，但保持正负惯性指数不变。

### 为什么不用其他操作？ 
1. 为什么不用 $C^{-1} A C$（相似变换）？  
   相似变换会改变二次型的正负惯性指数，无法保持几何本质。例如，椭圆可能被错误地映射为双曲线。

2. 为什么不用普通的矩阵乘法 $C A C$？  
   若不用转置，表达式 $\mathbf{x}^T C A C \mathbf{x}$ 会变成向量（非标量），破坏二次型的标量性质。

3. 转置的独特作用：  
   转置 $C^T$ 是调整矩阵位置的“桥梁”，既保证了变量替换后的表达式仍是标量，又维持了内积结构（即 $x^T A x = y^T (C^T A C) y$）。

> **一句话：转置矩阵 $C^T$ 是合同变换的“灵魂”，它通过调整坐标系的方向和尺度，让二次型的本质形状在变换中保持不变。**

请注意：矩阵的相似不改变矩阵的值，矩阵的合同不改变函数的图像，如果我们希望既不改变函数的值又不改变函数的图像，那就需要使用“正交相似”，仔细看一下合同和相似的定义
合同： $B=C^{T} A C$
相似：$B=C^{-1} A C$

**如果$C^T=C^{-1}$ 该多好啊，这就是“正交相似”，正交相似是线性代数研究的重点。关于他们的总结，请参考[附录2: 等价、相似与合同](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)**

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