最后更新: 2025-04-25 08:32 查看: 110 次反馈同步训练

实对称矩阵的对角化

## 矩阵为什么对角化
**矩阵对角化本质是找到一组正交坐标系，使矩阵作用简化为各坐标轴方向的伸缩变换**

矩阵对角化的通俗解释可以从“换坐标系”的角度理解，目的是让复杂的矩阵运算变得像“数数”一样简单。以下是分步说明：

### 为什么需要“对角化”
想象你有一个遥控器（矩阵），每个按键控制不同的功能（矩阵的列）。但遥控器设计得太复杂，按下按键时多个功能同时触发（矩阵运算混乱）。  
对角化的目标：重新设计遥控器，让每个按键只控制一个独立功能（矩阵运算简化为缩放）。  
对角矩阵就像一个“完美遥控器”，每个按键只负责放大或缩小某个信号，互不干扰。

### 对角化的核心步骤
1. 找特征向量（新坐标轴）  
   特征向量是矩阵变换中方向不变的向量。例如，旋转矩阵的特征向量是旋转轴，拉伸矩阵的特征向量是拉伸方向。  
  特征值：对应方向上的缩放比例（比如拉伸2倍，缩放0.5倍）。

2. 用特征向量组成新基（新遥控器按键）  
   将特征向量排成矩阵 $P$，相当于建立一组新坐标系。例如，原坐标系是直角坐标系，新坐标系可能是倾斜的，但更符合矩阵的“性格”。

3. 对角矩阵（简化后的遥控器）  
   通过 $ P^{-1}AP = \Lambda $，原矩阵 $ A$ 被转化为对角矩阵 $ \Lambda $，对角线上的元素就是特征值。此时，矩阵运算（如求幂）只需对每个特征值单独操作。

---

### **通俗类比**
1. 陀螺旋转  
   • 原坐标系下，陀螺的运动轨迹复杂。  
   • 若以旋转轴为新坐标系，陀螺的运动只是绕轴旋转，其他方向无变化（对角矩阵的“缩放”效果）。

2. 遥控器优化  
   • 原遥控器按键混乱（普通矩阵）。  
   • 对角化后，每个按键只控制音量、频道等单一功能（对角矩阵的独立缩放）。

### **对角化的意义**
1. 简化计算  
   • 计算矩阵的100次幂：对角矩阵只需对每个特征值取100次幂，普通矩阵需连乘100次。
   • 例子：计算 $ A^{100} $，若 $ A = PDP^{-1} $，则 $ A^{100} = PD^{100}P^{-1}$。

2. 揭示本质  
   • 特征值代表矩阵的“核心作用力”（如量子力学中的能量本征值）。
   • 特征向量代表“作用方向”（如力学中的主应力方向）。

3. 解决实际问题  
   • 图像处理：PCA通过协方差矩阵对角化提取图像主特征。
   • 微分方程：将方程组解耦为独立方程，便于求解。

### 什么矩阵能对角化？
• 实对称矩阵：必可对角化，且特征向量正交（如力学中的应力矩阵）。
• 一般矩阵：需满足有 $ n $ 个线性无关的特征向量（如非重复特征值的矩阵）。

总之，矩阵对角化就像给矩阵“换一副眼镜”，让它原本模糊的作用变得清晰可见。通过找到最自然的坐标系（特征向量基），复杂变换被分解为简单的缩放操作。无论是量子力学中的粒子行为，还是抖音推荐算法中的用户兴趣分析，对角化都在背后默默简化问题。

## 实对称矩阵的对角化
在矩阵里，介绍了矩阵的转置，矩阵的转置最主要的作用就是判断一个矩阵是不是对称矩阵。
**如果矩阵$A$是对称矩阵，那么$A^T=A$，反之，如果$A^T=A$，那么这个矩阵是对称矩阵。** ，而二次型就是对称矩阵，所以，此时矩阵的转置就派上了用场。

**定理1** 不是每个矩阵都可以对角化，但是实对称矩阵一定可以对角化。这句话另外一个表述是：一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵.

证明略。

这个定理相当奇妙，我们很难推断一个矩阵可以对角化，但是每个对称矩阵却可以对角化。即每个对称矩阵D都可以相似对角形

$$
D \sim  \left[\begin{array}{cccc}
\lambda_{11} & & & 0 \\
& \lambda_{22} & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & \lambda_{n n}
\end{array}\right]
$$

我们为什么特别关心实对称矩阵？我们看一下相似与合同
合同是
$C^TAC=B$
相似是
$C^{-1}AC=B$
仔细看，如果$C^T=C^{-1}$ 多好啊，这样就又相似又合同，还真有，那就是正交相似，详见 [附录2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

## 例题

`例` 对角化矩阵 $A=\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{array}\right]$.
解：不难发现，这是一个对称矩阵。
$A$ 的特征方程是

$$
0=-\lambda^3+17 \lambda^2-90 \lambda+144=-(\lambda-8)(\lambda-6)(\lambda-3)
$$

通过标准计算可得到每个特征子空间的一个基
①当 $\lambda=8 $ ,特征向量为
$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

②当 $\lambda=6 $ ,特征向量为
$$
\alpha_2=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
-1 \\
2
\end{array}\right]
$$
③ 当 $\lambda=3 $ ,特征向量为

$$
\alpha_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]
$$

把$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$竖着排列起来，形成一个矩阵，
$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 容易看到这是一个正交集（**这就相当于我们在三维空间里找到了3个两两互相垂直的坐标轴**，但还不是单位坐标轴）。

如果他是单位矩阵，可以有更多性质,现在对$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$进行单位化，得到单位特征向量.

$$
\begin{gathered}
u _1=\left[\begin{array}{c}
-1 / \sqrt{2} \\
1 / \sqrt{2} \\
0
\end{array}\right], \quad u _2=\left[\begin{array}{c}
-1 / \sqrt{6} \\
-1 / \sqrt{6} \\
2 / \sqrt{6}
\end{array}\right], \quad u _3=\left[\begin{array}{l}
1 / \sqrt{3} \\
1 / \sqrt{3} \\
1 / \sqrt{3}
\end{array}\right] \\
P=\left[\begin{array}{ccc}
-1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\
1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\
0 & 2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3}
\end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{lll}
8 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]
\end{gathered}
$$

那么有 $A=P D P^{-1}$, 和平常一样. 由于 $P$ 是方阵且有正交列, 所以, $P$ 是一个正交矩阵, 而 $P^{-1}$ 就是 $P^{\top}$

### **定理2** 
如果 $A$ 是对称矩阵, 那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的.
证 设 $v_1$ 和 $v_2$ 是对应不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量. 为证明 $\nu_1 \cdot v_2=0$, 计算

$$
\begin{aligned}
\lambda_1 v _1 \cdot v _2 & =\left(\lambda_1 v _1\right)^{T} v _2=\left(A v _1\right)^{T} \cdot v _2 \\
& =\left( v _1^{\top} A^{\top}\right) v _2= v _1^{\top}\left(A v _2\right) \\
& = v _1^{T}\left(\lambda_2 v _2\right) \\
& =\lambda_2 v _1^{\top} v _2=\lambda_2 v _1 \cdot v _2
\end{aligned}
$$
因此 $\left(\lambda_1-\lambda_2\right) v _1 \cdot v _2=0$, 但是 $\lambda_1 \neq \lambda_2$, 所以 $v _1 \cdot v _2=0$.

通过定理1和定理2我们得到如下一个重要结论：

> **实对称矩阵的特征值都是实数，而且不同特征值对应的特征向量相互正交。这一点很重要，因为普通矩阵对角化不一定能找到正交矩阵，但实对称矩阵可以，这是一个关键点。**

`例` 将 $A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3\end{array}\right]$ 正交对角化, 其特征方程为

$$
0=-\lambda^3+12 \lambda^2-21 \lambda-98=-(\lambda-7)^2(\lambda+2)
$$

解 通过计算可得特征空间的基：

$$
\lambda=7: v_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], v_2=\left[\begin{array}{c}
-1 / 2 \\
1 \\
0
\end{array

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