最后更新: 2025-12-29 15:45 查看: 233 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

古典模型8：分装模型

## 分装模型

> 本节是“放”模型的再探讨。本节难度较大，通常不需要掌握，稍微了解即可

在组合数学和概率论的发展历史中，把球放入盒子或小缸里的问题起着非常重要的作用．这样的问题称为**分装问题**（occupancy problems）．分装问题有着广泛的应用．根据偶然事件在一周内发生的日期分类这些偶然事件时，球是偶然事件的类型而盒子是这一周的各天。在宇宙射线的实验中，球是到达盖格计数器的粒子，而盒子是计数器．在编码理论中，可以通过对以代码字为盒子，以误差为球的研究，得到 $k$ 个代码字上的传输误差的可能分布．在图书出版中，$k$ 页上误印的可能分布可以通过对以页码为盒子，以球作为误印的研究而得到．在生物学的照射研究中，撞击视网膜的光粒子对应于小球，视网膜的细胞对应于盒子．在礼券收集中，小球对应于特定的礼券，而盒子对应于礼券的类型．我们将在本书的不同地方回答这些应用．对于其他应用可以参见 Feller［1968，pp．10－11］．

在分装问题中，是否认为两个小球是可区分的，以及是否认为两个盒子是可区分的将会产生很大的不同．例如，假设我们有两个可区分的小球 $a$ 和 $b$ ，以及三个可区分的盒子 1,2 和 3 ．那么小球对盒子的可能分配如表2．6所示．有 9 种不同的分配．然而，假设有两个不可区分的球．我们可以把它们都标为 $a$ ．那么对 3 个可区分的盒子的可能分配如表 2.7 所示．正好存在
6 种分配．类似地，如果盒子是不可区分的，但是球是可区分的，表 2.6 的 $1 \sim 3$ 的分配可以认为是相同的：两个球在一个盒子内，其他盒子里没有球．类似地， $4 \sim 9$ 的分配可以认为是相同的：两个盒子各放一个球，另外一个盒子没有球．因此，只有两种不同的分配．最后，如果球和盒子都是不可区分的，那么表2．7中 $1 \sim 3$ 的分配可以认为是相同的，而 $4 \sim 6$ 的分配也是相同的，所以存在两种不同的分配。

根据是否允许盒子为空来区分分装问题也很常见．例如，如果我们有两个可区分的球和两个可区分的盒子，那么可能的分配如表2．8所示．存在 4 种不同的分配．然而，如果没有盒子是空的，那么只存在 2 种不同分配，即表 2.8 中的分配 3 和 4 ．

![图片](/uploads/2025-12/f408e2.jpg)
 
 表 2.9 概括了分装问题的可能情况．第四列中的某些记法和术语现在还没有定义，我们将在下面给出定义．下面将讨论各种情况．
 
  ![图片](/uploads/2025-12/cb07cc.jpg)
  
 
 **情况 1：可区分球和可区分盒子**
情况 la 适合乘法规则：每个球可以选择 $k$ 种盒子．如果 $k=3$ 且 $n=2$ ，我们得到 $k^n=9$ ，这就是表2． 6 所示的分配数量．我们在 2．10．4节讨论情况 1b。

**情况 2：不可区分球和可区分盒子** 
由于下面的结果，情况 2 a 遵循定理2．3．

定理 $2.4 n$ 个不可区分的球放到 $k$ 个可分区盒子的分配方法数量是 $C(k+n-1, n)$ ．
证明 假设盒子被标上标签 $C_1, C_2, \cdots, C_k$ ．可以通过列出每一个球到它所进人的盒子，来总结球放人到盒子的分配．这时，一个分配对应于允许重复的 $n$ 个盒子的集合（ $n$ 元多重集合）。例如，在表2．7中，分配 1 对应于集合 $\left\{C_1, C_1\right\}$ ，分配 5 对应于集合 $\left\{C_1, C_3\right\}$ 。如果有 4 个球，集合 $\left\{C_1, C_2, C_3

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