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第一篇 随机事件与概率
古典模型6：错位排列
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2025-01-10 07:43
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古典模型6：错位排列
## 错位排列 错位排列（derangement）是没有任何元素出现在其有序位置的排列。即，对于 $1 \sim n$ 的排列 $P$ ，如果满足 $P_i \neq i$ ，则称 $P$ 是 $n$ 的错位排列。 $n$ 封不同的信，编号分别是 $1,2,3,4,5$ ，现在要把这五封信放在编号 $1,2,3,4,5$ 的信封中，要求信封的编号与信的编号不一样。问有多少种不同的放置方法? 假设考虑到第 $n$ 个信封，初始时暂时把第 $n$ 封信放在第 $n$ 个信封中，然后考虑两种情况的递推： - 前面 $n-1$ 个信封全部装错； - 前面 $n-1$ 个信封有一个没有装错其余全部装错。 对于第一种情况，前面 $n-1$ 个信封全部装错：因为前面 $n-1$ 个已经全部装错了，所以第 $n$ 封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有 $D_{n-1} \times(n-1)$ 种情况。 对于第二种情况，前面 $n-1$ 个信封有一个没有装错其余全部装错：考虑这种情况的目的在于，若 $n-1$ 个信封中如果有一个没装错，那么把那个没装错的与 $n$ 交换，即可得到一个全错位排列情况。 其他情况，不可能通过一次操作来把它变成一个长度为 $n$ 的错排。 于是可得，错位排列数满足递推关系： $$ D_n=(n-1)\left(D_{n-1}+D_{n-2}\right) $$ 这里也给出另一个递推关系： $$ D_n=n D_{n-1}+(-1)^n $$ ## 其他关系 错位排列数有一个简单的取整表达式，增长速度与阶乘仅相差常数： $$ D_n= \begin{cases}\left\lceil\frac{n!}{e}\right], & \text { if } n \text { is even, } \\ \left\lfloor\frac{n!}{e}\right\rfloor, & \text { if } n \text { is odd. }\end{cases} $$ 随着元素数量的增加，形成错位排列的概率 P 接近: $$ P=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{D_n}{n!}=\frac{1}{e} $$
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