最后更新: 2026-01-07 20:47 查看: 151 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

古典概率例题★★★★★

## 古典概率题目

> 在《概率论与数理统计》课里，只要掌握基本的几个题型即可，事实上，《概率论与数理统计》的概率题并没有高考里的概率题难，高考里，会往死里出概率的难题，但是《概率论与数理统计》这门课不会，因为那会脱离了本教程的宗旨，没事了谁会整天拿小球、放小球。本教程常见的模型是:一批产品，抽查合格/不合格的概率是多少？导弹击中目标的概率是多少等几个简单模型。

`例`设一个袋中装有 $a$ 个黑球，$b$ 个白球，现将球随机地一个个摸出，问第 $k$ 次摸出黑球的概率是多少？$(1 \leqslant k \leqslant a+b)$

解法一 令 $A$ 表示事件＂第 $k$ 次摸到黑球＂。
将这 $a+b$ 个球编号，并将球依摸出的先后次序排队，易知基本事件总数为 $(a+b)!$ 。事件 $A$等价于在第 $k$ 个位置上放一个黑球，在其余 $a+b-1$ 个位置上放余下的 $(a+b-1)$ 个球，则 $A$ 包含的基本事件数为 $a(a+b-1)$ ！那么所求概率为

$$
P(A)=\frac{a(a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b} .
$$

解法二 本题也可以只考虑前 $k$ 个位置，则 $P(A)=\frac{C_a^1 \cdot P_{a+b-1}^{k-1}}{P_{a+b}^k}=\frac{a}{a+b}$

`例`一袋中装有 10 个号码球，分别标有 $1 \sim 10$ 号，现从袋中任取 3 个球，记录其号码，求：
（1）最小号码为 5 的概率；
（2）最大号码为 5 的概率；
（3）中间号码为 5 的概率。
解（1），（2），（3）有同一样本空间且所含元素个数为 $C_{10}^3$
（1）记 $A=$＂最小号码为 5 ＂，$A$ 的有利事件数为 $C_5^2$ ，故 $P(A)=\frac{C_5^2}{C_{10}^3}=\frac{1}{12}$ ．
（2）记 $B=$＂最大号码为 5 ＂，则 $B$ 的有利事件数为 $C_4^2$ ，故 $P(B)=\frac{C_4^2}{C_{10}^3}=\frac{1}{20}$ ．
（3）记 $C=$＂中间号码为 5 ＂，则利用乘法原理，$C$ 的有利事件数为为 $C_4^1 \cdot C_5^1$ ，故

$$
P(C)=\frac{C_4^1 \cdot C_5^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{6} .
$$

`例` 有 $n$ 个人，每人都有同等的机会被分配到 $N(n \leqslant N)$ 间房中的任一间去，试求下列各事件的概率．
（1）$A=$＂某指定的 $n$ 间房中各有一人＂；
（2）$B=$＂恰有 $n$ 间房各有一人＂；
（3）$C=$＂某指定的一间房中恰有 $m(m \leqslant n)$ 人＂．
解（1）基本事件总数为 $N^n$ ．将 $n$ 个人分到某指定的 $n$ 间房中，相当于 $n$ 个元素的全排列，所以事件 $A$ 包含的基本事件数为 $n!$ ，故

$$
P(A)=\frac{n!}{N^n}
$$

（2）$n$ 间房中各有 1 人是指任意的 $n$ 间房中各有 1 人，这共有 $C_{\mathrm{N}}^n$ 种情况，所以事件 $B$ 包含的基本事件数为 $C_N^n n!$ ，故
$$
P(B)=\frac{C_N^n n!}{N^n}=\frac{N!}{N^n(N-n)!}
$$

（3）从 $n$ 个人中选 $m$ 个分配到指定的一间房中，有 $C_n^m$ 种选法；而其余的 $n-m$ 个人分到其余 $N-1$ 间房，有 $(N-1)^{n-m}$ 种方法，所以事件 $C$ 包含的基本事件数为 $C_n^m(N-1)^{n-m}$ ，故

$$
P(C)=\frac{C_n^m(N-1)

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