最后更新: 2025-01-10 07:43 查看: 80 次反馈刷题

古典模型7：抽奖与配对模型

`例` 口袋中有编号为 $1,2, \cdots, n$ 的 $n$ 个球, 从中有放回地任取 $m$ 次, 求取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$ 的概率.

解 记事件 $A_k$ 为 “取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$ ”. 如果直接考虑事件 $A_k$, 则比较复杂, 因为 “最大号码为 $k$ ”可以包括取到 1 次 $k$ 、取到 2 次 $k 、 \cdots \cdots$ 、取到 $m$ 次 $k$.

为此我们记事件 $B_i$ 为 “取出的 $m$ 个球的最大号码小于等于 $i, i=1,2, \cdots, n$, 则 $B_i$发生只需每次从 $1,2, \cdots, i$ 号球中取球即可, 所以由古典概率知

$$
P\left(B_i\right)=\frac{i^m}{n^m}, \quad i=1,2, \cdots, n .
$$

又因为 $A_k=B_k-B_{k-1}$, 且 $B_{k-1} \subset B_k$, 由性质 1.3.4 得

$$
\begin{aligned}
P\left(A_k\right) & =P\left(B_k-B_{k-1}\right)=P\left(B_k\right)-P\left(B_{k-1}\right) \\
& =\frac{k^m-(k-1)^m}{n^m}, \quad k=1,2, \cdots, n .
\end{aligned}
$$

辟如 $, n=6, m=3, k=4$, 可算得

$$
P\left(A_4\right)=\frac{4^3-3^3}{6^3}=\frac{37}{216}=0.1713 .

`例`(抽奖问题) 某公司年会抽奖，共有 $n$ 张奖券，其中只有一张有奖. 每位员工可抽取一张. 求第 $k$ 位员工中奖的概率 $(1 \leq k \leq n)$.
解 不放回情形中，第 $k$ 个员工抽到有奖券意味着前 $k-1$ 个员工均没有抽到， 相应的取法个数为 $(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1) * 1$, 而总取法数 (即样本点总数) 为

$$
n(n-1)(n-2) \mathrm{L} \quad(n-k+1)
$$

因此，所求概率为

$$
P=\frac{(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1) * 1}{n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)}=\frac{1}{n}
$$

这个结果和次序无关.

`例` (配对问题) 在一个有 $n$ 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的 $n$ 件礼物中随机抽取一件, 问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少?

解以 $A_i$ 记事件 “第 $i$ 个人自己抽到自己的礼物”, $i=1,2, \cdots, n$. 所求概率为 $P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)$. 因为

$$
P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=\cdots=P\left(A_n\right)=\frac{1}{n},
$$

$$
\begin{aligned}
& P\left(A_1 A_2\right)=P\left(A_1 A_3\right)=\cdots=P\left(A_{n-1} A_n\right)=\frac{1}{n(n-1)}, \\
& P\left(A_1 A_2 A_3\right)=P\left(A_1 A_2 A_4\right)=\cdots=P\left(A_{n-2} A_{n-1} A_n\right)=\frac{1}{n(n-1)(n-2)}, \\
& \cdots \\
& P\left(A_1 A_2 \cdots A_n\right)=\frac{1}{n !} .
\end{aligned}
$$

所以由概率的加法公式 得

$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=1-\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}-\frac{1}{4 !}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n !} .
$$

譬如, 当 $n=5$ 时, 此概率为 0.6333 ; 当 $n \rightarrow \infty$ 时, 此概率的极限为 $1-\mathrm{e}^{-1}=0.6321$.这表明: 即使参加晚会的人很多 (辟如 100 人以上), 事件“至少有一个人自己抽到自己礼物” 也不是必然事件.

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