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概率论与数理统计
第一篇 概率学的随机事件与概率
古典模型7:容斥原理
最后
更新:
2025-12-29 15:27
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古典模型7:容斥原理
## 问题引入 > 容斥原理是一种计数方法,用于计算多个集合的并集的元素个数。它的核心思想是: **先把各个集合的大小加起来,然后减去两两交集的大小,再加上三三交集的大小,依此类推,交替加减,直到最后一项。** 在概率论中,我们把“元素个数”换成“概率”,就得到概率形式的容斥原理。 `例`假设班里有 10 个学生喜欢数学,15 个学生喜欢语文,21 个学生喜欢编程,班里至少喜欢一门学科的有多少个学生呢? 是 $10+15+21=46$ 个吗?不是的,因为有些学生可能同时喜欢数学和语文,或者语文和编程,甚至还有可能三者都喜欢。 解:为了叙述方便,我们把喜欢语文、数学、编程的学生集合分别用 $A,B,C$ 表示,则学生总数等于 $|A\cup B\cup C|$。刚才已经讲过,如果把这三个集合的元素个数 $|A|,|B|,|C|$ 直接加起来,会有一些元素重复统计了,因此需要扣掉 $|A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A|$,但这样一来,又有一小部分多扣了,需要加回来,即 $|A\cap B\cap C|$。即 $$ |A\cup B\cup C|=|
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