科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
数学分析
复变函数
离散数学
实变函数
数论
群论
高中物理
词条搜索
科数
试题
高中数学
高数
线代
more
你好
游客，
登录
注册
在线学习
概率论与数理统计
第一篇 随机事件与概率
古典模型8：容斥原理
最后
更新:
2025-01-10 07:43
查看:
40
次
高考专区
考研专区
公式专区
刷题专区
词条搜索
古典模型8：容斥原理
## 问题引入 假设班里有 10 个学生喜欢数学，15 个学生喜欢语文，21 个学生喜欢编程，班里至少喜欢一门学科的有多少个学生呢？ 是 $10+15+21=46$ 个吗？不是的，因为有些学生可能同时喜欢数学和语文，或者语文和编程，甚至还有可能三者都喜欢。 为了叙述方便，我们把喜欢语文、数学、编程的学生集合分别用 $A,B,C$ 表示，则学生总数等于 $|A\cup B\cup C|$。刚才已经讲过，如果把这三个集合的元素个数 $|A|,|B|,|C|$ 直接加起来，会有一些元素重复统计了，因此需要扣掉 $|A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A|$，但这样一来，又有一小部分多扣了，需要加回来，即 $|A\cap B\cap C|$。即 $$ |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C| $$  把上述问题推广到一般情况，就是我们熟知的容斥原理。 #### 典型例题 分母是1001的最简分数一共有多少个? 分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于 $1001=7 \times 11 \times 13$ ，所以就是找不能被 $7,11,13$ 整除的数。 解答: $1 \sim 1001$ 中，有7的倍数 $1001 / 7=143$ (个); 有 11 的倍数 $1001 / 11=91$ (个)，有 13 的倍数 $1001 / 13=77$ (个)；有 $7 * 11=77 ; 77$ 是 11 的倍数 $1001 / 77=13$ (个)，有 $7 * 13=91 ; 91$ 是 13 的倍数； $1001 / 91=11$ (个)，有 $11 * 13=143 ; 143$ 是 13 的倍数 $1001 / 143=7$ (个) . 有1001的倍数1个。 由容原原理知：在1 1001中，能被7或11或13整除的数有 $(143+91+77)-(13+11+7)+1=281$ (个)，从而不能被7、11或 13 整除的数有 $1001-281=720$ (个) . 也就是说，分母为 1001 的最简分数有 720 个。
上一篇：
古典模型7：抽奖与配对模型
下一篇：
古典模型9:带帽子模型
在线学习仅为您提供最基础的数学知识，
开通会员
可以挑战海量
超难试题
， 分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
评论
更多
初中数学
高中数学
高中物理
高等数学
线性代数
概率论与数理统计
复变函数
离散数学
实变函数
数学分析
数论
群论
纠错
高考
考研
关于
赞助
留言
科数网是专业专业的数学网站。