最后更新: 2025-12-29 15:29 查看: 137 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

古典模型6：帽子模型★★★★★

## 古典模型6:带帽子模型

帽子模型（也叫“匹配问题”）是一个经典的随机排列问题。先看一下问题

`例`$n$ 个人参加聚会，每人有一顶自己的帽子（帽子与人一一对应）。聚餐后帽子混在一起，每个人随机取一顶帽子离开。问：  
  没有人拿到自己帽子的概率是多少？  
  恰好有 $k$ 个人拿到自己帽子的概率是多少？  
 至少一个人拿到自己帽子的概率是多少？

解：设 $n$ 个帽子分别标记为 $1, 2, \dots, n$，人也标记为 $1, 2, \dots, n$，人 $i$ 的帽子是帽子 $i$。  
随机分配相当于对 $\{1, 2, \dots, n\}$ 做一个**随机排列** $\pi$，其中 $\pi(i)$ 表示人 $i$ 拿到的帽子编号。

如果 $\pi(i) = i$，则称人 $i$ **匹配**（拿到自己的帽子）。  
 如果 $\pi(i) \neq i$ 对所有 $i$ 成立，则称这是一个**错位排列**（derangement）。

###  核心概率问题

#### (1) 全不匹配的概率（错位排列概率）

错位排列数 $D_n$ 满足：
$$
D_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}
$$
所以：
$$
P(\text{无人匹配}) = \frac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}
$$
当 $n \to \infty$：
$$
P \to e^{-1} \approx 0.367879
$$
即无论多少人，完全错配的概率大约 **36.79%**。

#### (2) 恰好 $k$ 个人匹配的概率

设 $F_n(k)$ 表示恰好 $k$ 个人拿到自己帽子的排列数。

- 先从 $n$ 个人中选出 $k$ 个匹配的人：$\binom{n}{k}$ 种方法。  
- 剩下的 $n-k$ 个人必须**全不匹配**（错位排列）：$D_{n-k}$ 种方法。

所以：
$$
F_n(k) = \binom{n}{k} D_{n-k}
$$
概率：
$$
P(\text{恰好 } k \text{ 个匹配}) = \frac{\binom{n}{k} D_{n-k}}{n!}
= \frac{D_{n-k}}{k! \, (n-k)!} \cdot \frac{n!}{n!}?
$$
更直接：
$$
P = \frac{\binom{n}{k} D_{n-k}}{n!}
= \frac{D_{n-k}}{k! \, (n-k)!} \cdot ?
$$
我们化简：
$$
\binom{n}{k} D_{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} D_{n-k}
$$
所以：
$$
P = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{D_{n-k}}{n!}
= \frac{D_{n-k}}{k! \, (n-k)!}
$$
利用 $D_{n-k} = (n-k)! \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(-1)^j}{j!}$：
$$
P = \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(-1)^j}{j!}
$$

#### (3) 至少一个人匹配的概率

用容斥原理：
$$
P(\text{至少 1 个匹配}) = 1 - P(\text{无人匹配})
= 1 - \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}
$$
当 $n$ 很大时，$\approx 1 - e^{-1} \approx 0.63212$。

##  泊松近似（概率论重点）

当 $n$ 很大时，匹配数 $X_n$（拿到自己帽子的人数）近似服从 **Poisson(1)** 分布：

$$
P(X_n = k) \approx \frac{e^{-1}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots
$$
这是因为：
- 指示变量 $I_i = 1$ 表示人 $i$ 匹配，$E[I_i] = \frac{1}{n}$，$\mathrm{Cov}(I_i, I_j) = \frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n^2}$ 很小。  
- 用 Poisson 极限定理（稀有事件独立近似）→ 匹配数 $\to \text{Poisson}(1)$。

所以：
$$
P(X_n = 0) \to e^{-1}, \quad P(X_n = 1) \to e^{-1}, \quad P(X_n = 2) \to \frac{e^{-1}}{2}, \dots
$$
 
>  帽子模型是概率论中研究**随机排列中固定点（匹配）**问题的通俗比喻，它引出了错位排列、容斥原理、泊松近似等重要概念，并且极限概率 $1/e$ 是一个非常著名且反直觉的结果**。

**例**：$n = 5$  
- $D_5 = 44$，$5! = 120$  
- $P(\text{无人匹配})

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