最后更新: 2025-02-12 20:15 查看: 30 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

古典模型9:带帽子模型

## 古典模型9:带帽子模型
参加集会的 $n$ 个人将他们的帽子放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上．求恰有 $k$ 个人戴对自己的帽子的概率。

解：为叙述方便，我们把＂一个人戴对自己的帽子＂简称为＂ 1 个配对＂，并记 $A_k=\{$ 恰有 $k$ 个配对\}。

先看 $k=0$ 的情形，即求 $A_0=\{n$ 个人中无配对 $\}$ 的概率。令 $B_i=\{$ 第 $i$ 个人配对 $\}, i=1, \cdots, n$ ．则 $\bar{A}_0=\sum_{i=1}^n B_i$ 。从而

$$
P\left(\bar{A}_0\right)=\sum_{i=1}^n P\left(B_i\right)-\sum_{1 \leq i<j \leq n} P\left(B_i B_j\right)+\cdots+(-1)^{n-1} P\left(B_1 \cdots B_n\right)
$$

不妨设 $n$ 顶帽子已排放完毕，样本点就是 $n$ 个人的全排，即 $|\Omega|=n!$ ，易见

代入可得

$$
P\left(\bar{A}_0\right)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}-\sum_{1 \leq i<j \leq n} \frac{1}{n(n-1)}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n!}
$$

整理得到

$$
P\left(A_0\right)=1-P\left(\bar{A}_0\right)=1-\left[\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n!}\right]=\sum_{i=0}^n(-1)^i \frac{1}{i!}
$$

下面对一般的 $k \geq 1$ 求 $P\left(A_k\right)$ ．为此记 $C_k=\{$ 恰好某指定 $k$ 个人配对 $\}$ 。由乘法原理可得 $\left|A_k\right|=$ $C_n^k \cdot\left|C_k\right|$ ，注意到恰好某 $k$ 个人配对相当于其余 $n-k$ 个人无配对，由上述 $A_0$ 所得结果知

$$
P\left(C_k\right)=\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i \frac{1}{i}
$$

注意到此时共有 $n-k$ 个人，故上述概率等于 $\left|C_k\right| /(n-k)$ ！，由此可得

$$
\left|C_k\right|=(n-k)!\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i \frac{1}{i}
$$

我们最终得到

$$
P\left(A_k\right)=\frac{C_n^k\left|C_k\right|}{n!}=\frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i \frac{1}{i}
$$

此结果对于 $k=0,1, \cdots, n$ 全成立。令 $n \rightarrow \infty$ 的极限概率为 $e^{-1} / k!$ 。

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