最后更新: 2025-02-27 21:26 查看: 447 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

几何概率模型

## 几何概率模型
几何概率模型是古典概型的推广，保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间 $\Omega$ 是某个区域（直线、平面或空间）.
则事件 $A$ 的概率为

$$
P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}
$$

这里 $m(\bullet)$ 分别表示长度、面积或体积.

下面子章节将介绍常见的几何概率模型。

`例`把一根长为 $a$ 的木棒任意地折成三段，求这三段能构成一个三角形的概率。

解 记折成三段后的长度分别为 $x, y, a-x-y$ ，则它们的可能取值为

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 0 < x < a } \\
{ 0 < y < a } \\
{ 0 < a - x - y < a }
\end{array} \quad \text { 即 } \left\{\begin{array}{l}
0 < x < a \\
0 < y < a \\
0 < x + y < a
\end{array}\right.\right.
$$

这样的 $x, y$ 构成区域 $\triangle A O B$（见图 $1-2$ ）．而折成的三段要构成三角形，根据三角形任两边之和大于第三边的原理，$x, y$ 必须满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
0 < x < \frac{a}{2} \\
0< y < \frac{a}{2} \\
\frac{a}{2} < x+y < a
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2025-02/a84a48.jpg)

即构成 $\triangle C D E$ ．因此折成的三段能构成三角形的概率为

$$
p=\frac{\triangle C D E \text { 的面积 }}{\triangle A O B \text { 的面积 }}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2}\right)^2}{\frac{1}{2} a^2}=\frac{1}{4} .
$$

`例`任取两个正的真分式，其和不大于 1 ，且其积不大于 $\frac{2}{9}$ 的概率是多少？

解 记 $x, y$ 为所取的真分式，可能的取值为

$$
0<x<1,0<y<1
$$

它们构成面积为 $S=1$ 的正方形（见图 $1-3$ ）。
 
 
 ![图片](/uploads/2025-02/6225a7.jpg)

满足 $x, y$ 之和不大于 1 ，积不大于 $\frac{2}{9}$ 的可能取值构成图 $1-3$ 中的阴影部分，其中两个交点的坐标可通过解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x y=\frac{2}{9}
\end{array}\right.
$$

获得，分别为 $x_1=\frac{1}{3}$ 和 $x_2=\frac{2}{3}$ ．阴影部分的面积为

$$
\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2}{3}+1\right) \cdot \frac{1}{3}+\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{9} \ln 2
$$

从而所求概率为 $\frac{1}{3}+\frac{2}{9} \ln 2 \approx 0.487$ ．

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