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几何模型1:蒲丰投针问题

## 蒲丰投针问题
1777年的某一天，法国科学家蒲丰(Buffon 1707—1788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

![图片](/uploads/2025-09/385b57.jpg)

试验开始，只见蒲丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

不知道蒲丰先生要玩什么把戏，客人们只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而蒲丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，蒲丰先生高声宣布:“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212  次，

其中与平行线相交的有704次，总数2212  与相交数704 的比值为  3.142 ”说到这里，蒲丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说:“**先生们，这就是圆周率 $\pi$  的近似值!**"

听蒲丰这么一说，大家吃惊不小，一时异议纷纷，大家全部感到莫名其妙：“圆周率 $\pi$ ？这可是与圆半点也不沾边的呀。"

蒲丰先生好像猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到 $\pi$ 的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”蒲丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

$\pi$ 在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是干真万确的事实。由于投针试验的问题，是蒲丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为**蒲丰问题**，蒲丰得出的一般结果是:

**若一根长度为 $l$ 的短针，抛在横线间间距为 $d \geq l$ 的均匀横纹纸上，则针落在一个与某条横线相交的位置的概率恰为 $p=\frac{2 l}{\pi d}$**.

这个结果意味着可以通过实验得到 $\pi$ 的近似值：投针 $N$ 次,得到正面的结果(相交) $P$ 次，则 $\frac{P}{N}$应大约是 $\frac{2 l}{\pi d}$ 可以由 $\frac{2 l N}{d P}$ 逼近。

最大规模(和最彻底的)实验也许是1901年由拉扎里尼( Lazzarini)完成的,他甚至造了一个机器来把一根木棍抛掷 3408 次(其 $\frac{l}{d}=\frac{5}{6}$ )。和横线相交的次数是 1

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