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概率论与数理统计
第一篇 概率学的随机事件与概率
几何模型2:碰面问题
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2025-12-30 09:14
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几何模型2:碰面问题
## 几何模型2:碰面问题 几何概率模型常见的问题是:会面问题。 `例`甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面,并约定先到者等候另一 人10分钟,过时即可离去. 求两人能碰面的概率. **解**:**步骤1:建立模型** 设甲到达的时间为 $x$,乙到达的时间为 $y$。则样本空间 $\Omega$ 为正方形区域: $$ 0 \leq x \leq 60, \quad 0 \leq y \leq 60 $$ 其面积为 $m(\Omega) = 60 \times 60 = 3600$。 **步骤2:定义事件** 两人能会面的条件是他们到达的时间差不超过 $10$ 分钟,即: $$ |x - y| \leq 10 $$ **步骤3:计算事件区域的面积** 在坐标系中,$|x - y| \leq 10$ 表示两条直线 $y = x +10$ 和 $y = x -10$ 之间的带状区域。 我们计算正方形中不满足条件的区域(两个三角形)的面积,然后用总面积减去它。 当 $y > x + 10$ 或 $y < x - 10$ 时,不能会面。这两个区域是两个全等的直角三角形。 {width=400px} 以 $y > x + 10$ 为例,它与正方形
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