最后更新: 2025-01-10 07:42 查看: 95 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

几何模型3:线段长度问题

**3.1 线段上投1个点**

投 1 个点，有无数种可能，但 1 个点无法构成一个区域范围所以是无法计算出概率的，同样的，在面积上投 1 个点同理所以，在几何概型中，事件A发生的前提是存在一个定义好的区域范围于是，可以发现:概率为 0 ，不代表事件不可能发生，是成立的！
这条适用于：古典和几何概型概率为 1 的事件，一定是必然事件，是成立的！
这条适用于：古典概型概率为 1 的事件，一定是必然事件，是不成立的！
这条适用于：几何概型

**3.2 求线段长度问题**

类似的有：等公交，等红绿灯，等闹钟叫，等电话呼，等水烧开...

例: 有一公交站台，平均每10分钟开出一班车，问小明到达站台后 2 分钟内能坐上车的概率

分析：时间的度量值，是可以无限细分的，也就是无限个数的

所以：是一个几何概型问题

设：事件A为小明到达站台后2分钟内能坐上车

第1步: 求样本空间构成的区域度量为：10分钟

第2步: 求事件A构成的区域度量为: 2分钟

通过画图分析得到，如下图
![图片](/uploads/2023-12/image_202312247877076.png){width=300px}
所以: $P(A)=2 / 10=1 / 5=20 \%$

**3.3三角形概率**
在长度为 $a$ 的线段内任取两点将其分为三段, 求它们可以构成一个三角形的概率。

解 由于是将线段任意分成三段，所以由等可能性知这是一个几何概率问题. 分别用 $x, y$ 和 $a-x-y$ 表示线段被分成的三段长度 (见图 1.2.6), 则显然应该有

$$
0<x<a, 0<y<a, 0<a-(x+y)<a .
$$

第三个式子等价于 $0 < x+y < a $. 所以样本空间为 (见图 1.2.7)

$$
\Omega=\{(x, y): 0<x<a, 0<y<a, \quad 0<x+y<a\} .
$$

$\Omega$ 的面积为

$$
S_n=\frac{a^2}{2} .
$$
 ![图片](/uploads/2024-10/63567f.jpg)
 
 又根据构成三角形的条件: 三角形中任意两边之和大于第三边, 得事件 $A$ 所含样本点 $(x, y)$ 必须同时满足

$$
\begin{aligned}
& 0<a-(x+y)<x+y, \\
& 0<x<y+(a-x-y), \\
& 0<y<x+(a-x-y) .
\end{aligned}
$$

整理得

$$
\frac{a}{2}<x+y<a, \quad 0<x<\frac{a}{2}, \quad 0<y<\frac{a}{2} .
$$

所以事件 $A$ 可用图 1.2 .8 中的阴影部分表示.
事件 $A$ 的面积为

$$
S_A=\frac{a^2}{8} .
$$

由此得

$$
P(A)=\frac{1}{4} .
$$
 ![图片](/uploads/2024-10/b13c04.jpg)

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