最后更新: 2025-02-13 16:55 查看: 112 次反馈刷题

课外阅读：噪音、PH试纸与地震级数

环境问题日益引起人们关注．我们常听说，马路上的噪声达到 80 分欠，这是什么意思？原来人耳对声音十分敏感，能感受到的声音强度可以相差几百万倍。声音强度可以用声音的功率 $P$ 或压强 $p$ 来表示，$P$ 与 $p$ 满足关系 $P=k p^2$（ $k$ 为常数）。如果有两个声源，其强度为 $P_1, P_2$ 或 $p_1, p_2$ ，则 $\frac{P_1}{P_2}$ 或 $\frac{p_1^2}{p_2^2}$ 的值可以达到数百万，这样大的数使用起来很不方便．

利用幂函数，指数函数，对数函数的增长差异，当 $y$ 的变化很急剧时，把 $y$ 写成 $y=10^x$ ，即 $x=\lg y$ ，则 $x$ 的变化就慢多了．将这一特点用于噪声的度量问题，我们就不必用 $\frac{P_1}{P_2}$或 $\frac{p_1^2}{p_2^2}$ ，而是用

$$
10 \lg \left(\frac{P_1}{P_2}\right) \text { 或 } 20 \lg \left(\frac{p_1}{p_2}\right)
$$

（单位为分贝，记作 dB ）表示这两个声音强度之差．这里之所以在 $\lg \frac{P_1}{P_2}$ 前面乘以 10 ，是因为大多数时候 $\lg \frac{P_1}{P_2}$ 为小数，这样使用起来不方便．例如，设有两个扩音器，其中一个的功率是另一个的 2 倍，即 $\frac{P_1}{P_2}=2$ ，而用分贝计算就是

$$
10 \lg 2 \approx 3 dB
$$

即相差 3 分贝．如果说相差 80 分贝，用声压计算，有

$$
20 \lg \left(\frac{p_1}{p_2}\right)=80 dB
$$

即 $\lg \left(\frac{p_1}{p_2}\right)=4$ ，即 $p_1=10^4 p_2$ ，即声压压强相差 1 万倍．我们说马路上噪声达到 80 分贝，是以什么声源作为标准呢？声压的标准（即计算分贝的起点）是 0.02 毫帕（ 0.02 mPa ），即一个大气压的一亿分之二。

再举一个 pH 的例子，即我们时常讨论的酸雨问题。酸雨的酸度就是其中所含氢离子 $\left( H ^{+}\right)$的摩尔浓度，记作 $\left[ H ^{+}\right]$．

氢离子多了，酸度就高了．氢离子的浓度是一个极小的数，但是变化范围极大，所以我们又要令 $y=10^x$ ，即用 $x=\lg y$ 作为其尺度，不过这里的 $x$ 一般是负数．所以某种溶液的 pH 的定义是

$$
pH=-\lg \left[H^{+}\right]
$$

纯水是中性的，但其中也有 $H ^{+}$，其浓度是 $10^{-7} M ( M$ 称为摩尔浓度）。所以纯水的 pH 是 7．酸雨中 $H ^{+}$浓度高，所以其 pH 小于 7 （请注意上式中的负号）。再举一些例子，正常情况下，茷萄酒的 pH 在 $3 \sim 4$ 之间，胃液的 pH 在 $0.9 \sim 1.8$ 之间，胆汁的 pH 约为 7.4 ．总之， pH 越小就表示酸性越强；反之，则碱性越强，如有些厨房清洁剂的 pH 为 13 ，有较强的碱性，如使用不当，会损伤人的皮肤。

上面讲到的函数增长速度的尺度表明，我们生活在一个需要用不同尺度来度量的世界上， pH 和 dB 就都是用的对数尺度．指数函数和对数函数就在我们身边．

`例`地震的强烈程度通常用里氏震级 $M=\lg A-\lg A_0$ 表示，这里 $A$ 是距离震中 100 km 处所测量地震的最大振幅，$A_0$ 是该处的标准地震振幅。
（1）若一次地震测得 $A=25 mm, ~ A_0=0.001 mm$ ，该地震的震级是多少（计算结果精确到 0．1）？
（2）计算里氏 8 级地震的最大振幅是里氏 5 级地震最大振幅的多少倍．

解

$$
\text { (1) } \begin{aligned}
M & =\lg 25-\lg 0.001 \\
& =\lg \frac{25}{0.001} \\
& =\lg 25000 \\
& =\lg 2.5+\lg 10^4 \\
& \approx 4.4 .
\end{aligned}
$$

因此该地震的震级约为里氏 4.4 级．
（2）设里氏 8 级和 5 级地震的最大振幅分别为 $A_1, ~ A_2$ ．由题意，得

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ \operatorname { l g } \frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 } } = 8 , } \\
{ \operatorname { l g } \frac { A _ { 2 } } { A _ { 0 } } = 5 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
\frac{A_1}{A_0}=10^8, \\
\frac{A_2}{A_0}=10^5
\end{array}\right.\right.
$$

由上可得，

$$
\frac{A_1}{A_2}=\frac{A_0 \cdot 10^8}{A_0 \cdot 10^5}=10^3=1000
$$

因此里氏 8 级地震的最大振幅是里氏 5 级地震最大振幅的 1000 倍．
 ![图片](/uploads/2025-02/a7b1fa.jpg)

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：课外阅读：素数个数与对数

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)