最后更新: 2025-05-23 07:25 查看: 524 次反馈同步训练

基本不等式

### 引例
相比于等式，人们更热衷于研究不等式，因为不等式的本质是求最值，而最终代表着最优解，才是我们最关心的。

## 一、不等式的性质
$a$ 和 $b$ 是实数, 如果 $a-b>0$, 那么就称 $a$ 大于 $b$, 记作 $a>b$;

如果 $a-b<0$, 那么就称 $a$ 小于 $b$, 记作 $a<b$;

如果 $a-b=0$ 那么就称 $a$ 等于 $b$,记作 $a=b$.

注意若 $a<b$ 有时也说成 $b>a$, 因此 $a<b$ 和 $b>a$ 是等价的.

应用两个正实数之和或积仍然是正数这个基本事实，即如果 $a>0$ 和 $b>0$则有 $a+b>0$ 和 $a b>0$ ，而且依据不等式 $a>b$ 等价于 $a-b>0$ ，我们容易推导出下面的性质。

### 性质 1
若 $a>b$ 和 $c>d$, 则 $a+c>b+d$. 换言之, 同向的两个不等式可以相加。

### 性质 2
若 $a>b$ 且 $c>0$, 则 $a c>b c$.

### 性质 3
若 $a>b$ 且 $c<0$, 则 $a c<b c$.

上面的性质 2 和性质 3 也可以表达为不等式若乘以正数得到同向不等式;若乘以负数则得到异向的不等式. 更一般地可以得到：
若 $a>b>0$ 和 $c>d>0$ 则 $a c>b d$. 也就是两个同向的正数不等式可以相乘。

### 性质 4
- 若 $a>b>0$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;
- 若 $a>0>b$, 则 $\frac{1}{a}>0>\frac{1}{b}$;
- 若 $a<b<0$, 则 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

### 性质 5
若 $a>b$ 而 $b>c$, 则 $a>c$.

这就是说不等式具有传递性, 在几何上这是显然的, 也可由 $(a-b)+(b-c)=$ $a-c$ 为正直接推出，在上述推演中，如果我们处处都用符号 $\geq$ 代替 $>$ ，则各项法则仍然成立.

### 性质 6
若 $a>b>0$, 则 $a^2>b^2$.

我们注意到 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, 因为 $a+b$ 是正数, 由 $a>b$ 可以推出， $a^2>b^2$ 。这样正数之间不等式可以进行平方运算.

### 性质 7
若 $a>b>0$, 则 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$, 即在正实数之间的不等式两端能取平方根.

事实上， $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, 因为 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 是正数, 从而由 $a>b$ 就可推出 $\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$, 即 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$.

更一般地,
### 性质 8
若 $a>b>0$ 且 $n$ 是自然数, 那么 $a^n>b^n$.

这个结论可以用数学归纳法来证明. 这个证明留给同学作为练习.

反过来, 若 $a>b>0$, 且 $n$ 是一个正整数, 则 $a^{\frac{1}{n}}>b^{\frac{1}{n}}$.

证明: 假设 $a^{\frac{1}{n}}=b^{\frac{1}{n}}$, 那么 $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n>\left(b^{\frac{1}{n}}\right)^n$, 因而, $a=b$, 这就与已知 $a>b$矛盾。

假设 $a^{\frac{1}{n}}<b^{\frac{1}{n}}$, 于是 $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n<\left(b^{\frac{1}{n}}\right)^n$, 即 $a<b$, 这又与已知条件 $a>$ $b>0$ 矛盾，故我们得出结论 $a^{\frac{1}{n}}>b^{\frac{1}{n}}$ 。

`例` 下列不等式证明过程正确的是（ ）
A.若 $a, b \in R$ ，则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}=2$

B.若 $x>0, y>0$ ，则 $\lg x+\lg y \geq 2 \sqrt{\lg x \cdot \lg y}$

C.若 $x<0$ ，则 $x+\frac{4}{x} \geq-2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}=-4$

D.若 $x<0$ ，则 $2^x+2^{-x}>2 \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2$

答案：C
$\beca

其他版本
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