最后更新: 2025-02-25 11:00 查看: 176 次反馈刷题

绝对值不等式

## 绝对值不等式
我们回想到 $|x|$ 的定义是这样的：
### 绝对值不等式
$x$ 是一个实数, 当 $x$ 是一个非负数时, $x$ 的绝对值 $|x|$ 是它本身; 当 $x$是一个负数时， $x$ 的绝对值 $|x|$ 是 $x$ 的相反数.

$$
|x|= \begin{cases}x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0\end{cases}  
...(6.1)
$$

我们也可以说, 当 $x$ 不为零时, $|x|$ 是 $x$ 和 $-x$ 两数之中的较大者; 当 $x$为零时， $|x|$ 则等于二者之中任何一个. 即

$$
\begin{aligned}
& |x|=\max \{x,-x\}, \quad(x \neq 0) \\
& |x|=x=-x, \quad(x=0)
\end{aligned}  ...(6.2)
$$

例 6.1

$$
|5|=\max \{5,-5\}=5, \quad|-5|=\max \{5,-5\}=5, \quad|0|=0
$$
#### （一） $|x|$ 的几何意义
在 $O x y$ 平面内, $P(x, 0)$ 和原点 $O(0,0)$ 之间的距离是

$$
d=\sqrt{(x-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{x^2}=|x|
$$

![图片](/uploads/2024-11/c00932.jpg)
 
 如果我们要在 $x$ 轴上描述距离原点不超过 2 个单位的点集, 我们把这个条件可以直接写成

$$
|x| \leq 2  ...(6.3)
$$

这个不等式的解集是位于以原点 $O$ 为中心，长度等于 4 的线段上的一切点. 下图说明这些点的位置.
 ![图片](/uploads/2024-11/09a999.jpg)
 
 从上面看出这些点的坐标满足不等式

$$
-2 \leq x \leq 2   ...(6.4)
$$

这就是说（6.3）和（6.4）是等价的不等式. 今后我们将经常遇到的不等式具有下面的形式

$$
|x-a|<3 ...(6.5)
$$

$|x-a|=\sqrt{(x-a)^2}$ 的几何意义是 $x$ 轴上的 $P(x, 0)$ 点离开 $A(a, 0)$ 点的距离. 因此已给的不等式是描述在 $x$ 轴上距离 $A(a, 0)$ 点小于 3 个单位的点集,根据上面的例题的结论, (6.5) 等价于 $-3<x-a<3$.

不等式的各端加 $a$ ，得到

$$
a-3<x<a+3  ...(6.6)
$$

因此满足不等式 (6.5) 的点的坐标是在 $a-3$ 与 $a+3$ 之间（不包括 $a-3$和 $a+3)$.

`例`在 $x$ 轴上哪些点满足不等式 $|x-3| \leq 5$.

解: $|x-3| \leq 5$, 即 $-5 \leq x-3 \leq 5$, 也即

$$
\begin{array}{ll} 
& -5+3 \leq x \leq 5+3 \\
\therefore & -2 \leq x \leq 8
\end{array}
$$

这些点位于以 3 为中心, 长度等于 10 个单位的线段上, 见下图（图6.12）.
 ![图片](/uploads/2024-11/3cc3eb.jpg)
 
 同样地, 我们也可以解释 $x>3$ 的几何意义, 不等式 $|x|>3$ 是描述在 $x$轴上距离原点大于 3 个单位的点集，图6.13说明了这些点的位置，图中的圆圈表示去掉 $\pm 3$, 因此这些点的坐标小于 -3 或大于 3 , 即

$$
x<-3, \text { 或 } x>3
$$

这就是说，不等式 $|x|>a(a>0)$ 等价于不等式 $x<-a$ 或 $x>a(a>0)$.

`例`求满足不等式 $(x+2)^2-16>0$ 的点集.
解：移项

$$
(x+2)^2>16
$$

两边开平方，等价于

$$
|x+2|>4
$$

即

$$
\begin{array}{rll}
x+2<-4 & \text { 或 } & x+2>4 \\
x<-6 & \text { 或 } & x>2
\end{array}
$$

因此，满足不等式的解集是 $\{x \mid x<-6\} \cup\{x \mid x>2\}$.
利用二次函数 $y=(x+2)^2-16$ 的草图, 如图 6.14 , 就更直接地得到 $x<-6$或 $x>2$ 。
 ![图片](/uploads/2024-11/4daea1.jpg)

### （二）和、积、商的绝对值
若 $a$ 和 $b$ 是实数, 则 $a \leq|a|$ 和 $b \leq|b|$, 相加得到

$$
a+b \leq|a|+|b|
$$

同样

$$
-a \leq|a| \quad \text { 和 } \quad-b \leq|b|
$$

于是

$$
-a-b \leq|a|+|b|
$$

因为 $a+b$ 和 $-(a+b)$ 都不大于 $|a|+|b|$ ，所以这两个数中最大者也不大于 $|a|+|b|$, 于是

$$
|a+b|=\max \{a+b,-(a+b)\} \leq|a|+|b|
$$

这个结果

$$
|a+b| \leq|a|+|b|  ...(6.7)
$$

常叫做**三角不等式**, 因为它类似于三角形中任何一边小于其它两边之和这个定理.

有时, 我们需要 $|a+b|$ 的下限估值, 注意到

$$
|a|=|(a+b)-b \leq|a+b|+|-b|=|a+b|+|b|
$$

因此下面不等式成立

$$
|a+b| \geq|a|-|b|  ...(6.8)
$$

若 $a, b$ 是任何实数, 则

$$
|a b|=\sqrt{(a b)^2}=\sqrt{a^2 b^2}=\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2}=|a| \cdot|b|
$$

$$
\begin{gathered}
\left|\frac{a}{b}\right|=\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{|a|}{|b|} \\
\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}
\end{gathered}
$$

> 上面介绍的知识都会，但是一遇到高考题目，就不会了，此时，还是需要多联系。科数网题库为您题库海量试题进行训练。

## 高考实战
`例`对于任意 $a, b \in R$ ，下列不等式一定成立的是
A.$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$
B.$a+\frac{1}{a} \geqslant 2$
C.$\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2$
D. $\left|\frac{b}{a}\right|+\left|\frac{a}{b}\right| \geq 2$

答案：D
选项 A：当 $a<0, b<0$ 时，$\frac{a+b}{2}<0, \sqrt{a b}>0, \frac{a+b}{2}<\sqrt{a b}$ ，不成立，故 A 错误；
选项 B：当 $a<0$ 时，$a+\frac{1}{a}<0, a+\frac{1}{a}<2$ ，不成立，故 B 错误；
选项 C：当 $\frac{b}{a}<0$ 时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}<0, \frac{b}{a}+\frac{a}{b}<2$ ，不成立，故 C 错误；
选项 D：由 $\left|\frac{b}{a}\right|,\left|\frac{a}{b}\right|$ 有意义，故 $a \neq 0, b \neq 0$ ，因此 $\left|\frac{b}{a}\right|>0,\left|\frac{a}{b}\right|>0$
由均值不等式， $\left.\left|\frac{b}{a}\right|+\left|\frac{a}{b}\right| \geq 2 \sqrt{\left.\left|\frac{b}{a}\right| \right\rvert\, \frac{a}{b}} \right\rvert\,=2$ ，当且仅当 $\left|\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|$ ，即 $a^2=b^2$ 时等号成立
故 D 正确
故选：D

`例`若 $f(x)=\left|\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+t\right|(x, t \in R)$ 最大值记为 $g(t)$ ，则 $g(t)$ 的最小值为

解：设 $h(x)=\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+t=(\sin x+3)+\frac{2}{3+\sin x}+t-3$ ，因为 $-1 \leq \sin x \leq 1$ ，所以 $2 \leq \sin x+3 \leq 4$ ，设 $m=\sin x+3,2 \leq m \leq 4$ ，由对勾函数的性质可知 $\varphi(m)=m+\frac{2}{m}+t-3$ 在［2，4］上单调递增，
所以 $2+\frac{2}{2}+t-3 \leq \varphi(x) \leq 4+\frac{2}{4}+t-3$ ，即 $t \leq \varphi(x) \leq t+\frac{3}{2}$ ，因为 $f(x)=\left|\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+t\right|(x, t \in R)$ 最大值记为 $g(t)$ ，
所以当 $|t| \leq\left|t+\frac{3}{2}\right|$ ，即 $t \geq-\frac{3}{4}, g(t)=t+\frac{3}{2} \geq \frac{3}{4}$ ；当 $|t|>\left|t+\frac{3}{2}\right|$ ，即 $t<-\frac{3}{4}, g(t)=-t>\frac{3}{4}$ ，所以 $g(t)$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$故选：D

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