最后更新: 2025-04-14 18:57 查看: 228 次反馈刷题

一元二次不等式

## 一元二次不等式
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，也有因式分解法和配方法两种，并且这两种解法的特点也与一元二次方程类似：因式分解法更简便，配方法更普遍适用且能反映不等式的特点。
现在使用配方法分析一元二次不等式的一般特点，对于一元二次不等式：

$$
a x^2+b x+c<0 \text { 和 } a x^2+b x+c>0(a \neq 0)
$$

首先，只需考虑 $a>0$ 的情况，这是因为如果 $a<0$ ，那么令 $a x^2+b x+c<0$ 的两边同时乘以 -1 ，得到 $-a x^2-b x-c>0$ ，这等同于 $a x^2+b x+c>0(a>0)$ 的情况。另一种不等号的情况同理。

对于 $a x^2+b x+c<0(a>0)$ ，通过配方将不等式的左边凑成完全平方项：

$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2<\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}
$$

不等式的左边是完全平方项，恒为正数或 0 ；不等式的右边：
当 $b^2-4 a c<0$ 时，不等式的右边是负数，不等式不可能成立，解集为 $\varnothing$ ；当 $b^2-4 a c=0$ 时，不等式的右边等于 0 ，不等式不可能成立，解集为 $\varnothing$ ；当 $b^2-4 a c>0$ 时，不等式的右边是正数，对不等式的两边取平方根，解集为：

$$
\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

对于 $a x^2+b x+c>0(a>0)$ ，通过配方将不等式的左边凑成完全平方项：

$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2>\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}
$$

不等式的左边是完全平方项，恒为正数或 0 ；不等式的右边：

当 $b^2-4 a c<0$ 时，不等式的右边是负数，不等式恒成立，解集为全体实数 $R$ ；当 $b^2-4 a c=0$ 时，不等式的右边等于 0 ，只需左边不为 0 ，解集为 $x \neq-\frac{b}{2 a}$ ；当 $b^2-4 a c>0$ 时，不等式的右边是正数，对不等式的两边取平方根，解集为：

$$
x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \text { 或 } x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

## 一元二次不等式
一般地, 如果 $x_1<x_2$, 则不等式 $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)<0$ 的解集是

$$
\left(x_1, x_2\right),
$$

不等式 $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)>0$ 的解集是

$$
\left(-\infty, x_1\right) \cup\left(x_2,+\infty\right) \text {. }
$$

`例` 求不等式 $\frac{2 x+1}{x-2} \geqslant 1$ 的解集.
解 由题意知 $x-2 \neq 0$, 因此 $(x-2)^2>0$, 原不等式两边同时乘以 $(x-2)^2$ 可得

$$
(2 x+1)(x-2) \geqslant(x-2)^2 \text { 且 } x-2 \neq 0,
$$

即 $(x+3)(x-2) \geqslant 0$ 且 $x \neq 2$, 因此所求不等式的解集为

$$
(-\infty,-3] \cup(2,+\infty)
$$

## 快速写出不等式的解集
假设有方程
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)>0$
求其解怎么算？
我们在数轴上画点其主要坐标点，显然当x=7时，其值为正，
然后，我们从A开始，向波浪线一样，画出其图像，遇到零点就改变函数值的正负，一口气一直划到B，如下

可以看到 $(1,2) \cup (3,4) \cup (6,+\infty )$ 是其解集
请同学们务必掌握这种思路。
  ![图片](/uploads/2024-09/8f64c3.jpg)
  
  > 对于分式也可以采用这种方法，例如 
  $\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-6)}>0$
  
  
  由求解一元二次不等式的方法与过程可知#一元二次不等式与相二次函数有紧密的联系 具体地#我们可用如下一张表格予以说
   ![图片](/uploads/2024-11/1ec524.jpg)
    ![图片](/uploads/2024-11/8cbb8b.jpg)
    
    不难发现，一元二次方程和一元二次不等式分别是二次函数函数值等于零和不等于零时的 "局部"情形，而相应一元二次方程和一元二次不等式的解都可由二次函数的图象得出。

例如, 根据二次函数 $y=2 x^2-x-1$ 的图象, 可得一元二次方程 $2 x^2-x-1=0$的两实数根分别为 $x_1=-\frac{1}{2}, x_2=1$, 则一元二次不等式 $2 x^2-x-1>0$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\, x<-\frac{1}{2}\right.\right.$ 或 $\left.x>1\right\}$, 一元二次不等式 $2 x^2-x-1 \leqslant 0$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1\right.\right\}$.

`例` 解不等式 $\frac{-2 x+5}{x-2}>0$ 。
解 原不等式等价于 $(-2 x+5)(x-2)>0$, 即 $(2 x-5)(x-2)<0$,所以

$$
2<x<\frac{5}{2} .
$$

故原不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\, 2<x<\frac{5}{2}\right.\right\}$.

`例` 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离 $L(m)$ 与速度 $v(km / h )$ 之间有如下゙关系式：

$$
L=k \cdot M \cdot v^2 \text {, }
$$

其中 $k$ 是比例系数，且 $k>0, M$ 是汽车质量（ t ）。若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以 $36 km / h$ 的速度行驶时，从刹车到停车需要走 20 m 。当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面 20 m 处有障碍物时能在离障碍物 5 m 以外处停车，则最高速度应低于多少（设司机发现障碍物到踩刹车需经过 1 s ）

解 由关系式 $L=k \cdot M \cdot v^2$, 将 $v=36, L=20$ 代人得 $k \cdot M=\frac{20}{36^2}$.
又卡车司机从发现障碍物到踩刹车需经过 1 s ，这 1 s 内卡车已行驶的路程为 $v \cdot \frac{1000}{3600} m / s \cdot 1 s=\frac{5 v}{18} m$ 。因此,

$$
\frac{5 v}{18}+k \cdot 2 M \cdot v^2<20-5,
$$

整理得

$$
\frac{2}{18^2} v^2+\frac{1}{18} v-3<0 .
$$

方程 $\frac{2}{18^2} v^2+\frac{1}{18} v-3=0$ 有两个不相等的实数根

$$
v_1=-27, v_2=18 .
$$

由图象得不等式 $\frac{2}{18^2} v^2+\frac{1}{18} v-3<0$ 的解集为

$$
\{v \mid-27<v<18\} .
$$

在这个实际问题中, $v>0$, 所以最高速度应低于 $18 km / h$.

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：绝对值不等式

下一篇：均值不等式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)