最后更新: 2025-05-23 07:10 查看: 462 次反馈同步训练

一元二次不等式

## 一元二次不等式
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，也有因式分解法和配方法两种，并且这两种解法的特点也与一元二次方程类似：因式分解法更简便，配方法更普遍适用且能反映不等式的特点。
现在使用配方法分析一元二次不等式的一般特点，对于一元二次不等式：

$$
a x^2+b x+c<0 \text { 和 } a x^2+b x+c>0(a \neq 0)
$$

首先，只需考虑 $a>0$ 的情况，这是因为如果 $a<0$ ，那么令 $a x^2+b x+c<0$ 的两边同时乘以 -1 ，得到 $-a x^2-b x-c>0$ ，这等同于 $a x^2+b x+c>0(a>0)$ 的情况。另一种不等号的情况同理。

对于 $a x^2+b x+c<0(a>0)$ ，通过配方将不等式的左边凑成完全平方项：

$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2<\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}
$$

不等式的左边是完全平方项，恒为正数或 0 ；不等式的右边：
当 $b^2-4 a c<0$ 时，不等式的右边是负数，不等式不可能成立，解集为 $\varnothing$ ；当 $b^2-4 a c=0$ 时，不等式的右边等于 0 ，不等式不可能成立，解集为 $\varnothing$ ；当 $b^2-4 a c>0$ 时，不等式的右边是正数，对不等式的两边取平方根，解集为：

$$
\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

对于 $a x^2+b x+c>0(a>0)$ ，通过配方将不等式的左边凑成完全平方项：

$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2>\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}
$$

不等式的左边是完全平方项，恒为正数或 0 ；不等式的右边：

当 $b^2-4 a c<0$ 时，不等式的右边是负数，不等式恒成立，解集为全体实数 $R$ ；当 $b^2-4 a c=0$ 时，不等式的右边等于 0 ，只需左边不为 0 ，解集为 $x \neq-\frac{b}{2 a}$ ；当 $b^2-4 a c>0$ 时，不等式的右边是正数，对不等式的两边取平方根，解集为：

$$
x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \text { 或 } x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

### 总结
二次函数和不等式关系如下图

![图片](/uploads/2025-05/6cdd11.jpg)
  
   ![图片](/uploads/2025-05/dd4a0d.jpg)
   
   
   
 ## 快速写出不等式的解集

一般地, 如果 $x_1<x_2$, 则不等式 $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)<

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