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均值不等式

## 均值不等式
给定两个正数 $a, b$, 数 $\frac{a+b}{2}$ 称为 $a, b$ 的算术平均值;
数 $\sqrt{a b}$ 称为 $a, b$的几何平均值

一般地, 我们有如下结论.
均值不等式 如果 $a, b$ 都是正数, 那么

$$
\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b},
$$

当且仅当 $a=b$ 时, 等号成立.

**证明**

因为 $a, b$ 都是正数, 所以

$$
\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \geqslant 0,
$$

即 $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b}$.
而且, 等号成立时, 当且仅当 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=0$, 即 $a=b$.
值得注意的是, 均值不等式中的 $a, b$ 可以是任意正实数,

## 均值不等式推广

多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义. 例如, $a, b, c$ 的算术平均值为 $\frac{a+b+c}{3}$, 几何平均值为 $\sqrt[3]{a b c}$

## 均值不等式的几何意义

已知 $A D=b, B D=a, C$ 为半圆上一点, 且 $CD \perp A B$, 
从中可以看出，$OC=\dfrac{a+b}{2}$为半径的长，根据射影定理
$h=\sqrt{ab}$ ，因为直角三角形斜边大于直角边，所以 $\frac{a+b}{2} \gt \sqrt{a b},$

在C点移动到和A或B重合时，取等号。

![图片](/uploads/2024-04/1359ce.jpg){width=300px}

## 基本不等式链
从上面的不等式，我们可以得到其他的不等式，如:

对正实数 $a, b$ ，有
$$
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
$$

其中，我们已经证明了 $\sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2}$.接下来完成剩下的证明:
证明:
我们先证明: $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.
要证 $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
只需证 $\frac{(a+b)^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2}$
即证 $(a+b)^2 \leq 2\left(a^2+b^2\right)$
显然成立，且等号成立当且仅当 $a=b$.
再证明: $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}$
要证 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}$
只需证 $\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}$
由 $\sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2}$ 知道 $\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}$ 成立
且等号成立当且仅当 $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}$ ，即 $a=b$.

注:
$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ 称作 $a, b$ 的**调和平均值**
$\sqrt{a b}$ 称作 $a, b$ 的**几何平均值**
$\frac{a+b}{2}$ 称作 $a, b$ 的**算术平均值**
$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 称作 $a, b$ 的 **平方平均值**

上面的不等式链可简记为 “调几算方”.

## 和式条件
这里指和为定值的条件，例如正实数 $x, y$ 满足 $x+y=1$ 或 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$ 或 $x+y=x y$.
事实上，这三个条件可以说是完全一致，因为：
对 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$ 做换元 $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}$
就得到 $a+b=1$.

#### 例1
已知正实数 $x, y$ 满足 $x+y=1$ ，则 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值为
解析：方法一：由基本不等式链得
$$
\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2}
$$

故
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}=4
$$
等号成立当且仅当 $x=y=\frac{1}{2}$.
故答案为 4 .
方法二(化齐次): 将 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 乘以 $x+y$ ，
即
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \\
& =2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \\
& \geq 2+2 \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} \\
& =4
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$ ，即 $x=y=\frac{1}{2}$.

这时候其实有一些问题: 如果不能直接用基本不等式链或者 $x+y=2 \neq 1$ 怎么办?
这个例题我们解决这两个问题:

#### 例2
已知正实数 $x, y$ 满足 $x+y=2$ ，则 $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}$ 的最小值为 $\qquad$
解析: 这里就不能直接用不等式链了，考虑化齐次，为此，将 $x+y=2$ 右边改写为 1 ，即 $\frac{1}{2}(x+y)=1$ 于是
$$
\begin{aligned}
\frac{4}{x}+\frac{9}{y} & =\frac{1}{2}(x+y)\left(\frac{4}{x}+\frac{9}{y}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(13+\frac{4 y}{x}+\frac{9 x}{y}\right) \\
& \geq \frac{1}{2}\left(13+2 \sqrt{\frac{4 y}{x} \cdot \frac{9 x}{y}}\right) \\
& =\frac{25}{2}
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $\frac{4 y}{x}=\frac{9 x}{y}$
即 $3 x=2 y=\frac{12}{5}$.
另外，化齐次不只可以通过乘法，还可以通过直接代换1 . 比如下面这个例子

#### 例3 
已知正实数 $x, y$ 满足 $x+y=1$ ，则 $\frac{3}{x}+\frac{4+x}{y}$ 的最小值为 $\qquad$直接乘 $x+y$ 在这里不是很行了，因为
$$
\begin{aligned}
(x+y)\left(\frac{3}{x}+\frac{4+x}{y}\right) & =3+\frac{x(4+x)}{y}+\frac{3 y}{x}+4+x \\
& =7+x \frac{x(4+x)}{y}+\frac{3 y}{x}
\end{aligned}
$$

这时候需要处理的是 $x \frac{x(4+x)}{y}+\frac{3 y}{x}$ ，而这个式子不齐次，并不好直接处理.那为什么会产生这个不齐次的部分? 容易想到，是因为 $\frac{3}{x}+\frac{4+x}{y}$ 中的 $\frac{4+x}{y}$ 导致产生了一些问题，再准确点，就是 $\frac{x}{y}$ 导致的.因为 $\frac{x}{y}$ 是齐次的，不需要再进行齐次化的处理.

所以，我们这次避开这个部分，只对剩下的部分化齐次.
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{3}{x}+\frac{4+x}{y}\right) & =\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{x}{y} \\
& =(x+y)\left(\frac{3}{x}+\frac{4}{y}\right)+\frac{x}{y} \\
& =7+\frac{3 y}{x}+\frac{4 x}{y}+\frac{x}{y} \\
& =7+\frac{3 y}{x}+\frac{5 x}{y} \\
& \geq 7+2 \sqrt{\frac{3 y}{x} \cdot \frac{5 x}{y}} \\
& =7+2 \sqrt{15}
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $\frac{3 y}{x}=\frac{5 x}{y}$ ，
即 $\sqrt{5} x=\sqrt{3} y=\frac{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}}{2}$.

## 积式条件
这里指积为定值的条件，例如正实数 $x, y$ 满足 $x y=1$ 或 $x y+p x+q y=1$ ，其中 $p, q>0$.

#### 例4
已知正实数 $x, y$ 满足 $x y=4$ ，则 $x+2 y$ 的最小值解析:
$$
x+2 y \geq 2 \sqrt{x \cdot 2 y}=2 \sqrt{8}=4 \sqrt{2}
$$

等号成立当且仅当 $x=2 y=2 \sqrt{2}$.

#### 例5
已知正实数 $x, y$ 满足 $x y+2 x+3 y=4$ ，则 $x+y$ 的最小值
解析：这个题目第一次见的话看起来会比较怪异，当然，我们可以把 $y$ 用 $x$ 表达，即
$$
\begin{aligned}
y(x+3) & =4-2 x \\
y & =\frac{4-2 x}{x+3}=\frac{10}{x+3}-2
\end{aligned}
$$

于是
$$
\begin{aligned}
x+y & =x+\frac{10}{x+3}-2 \\
& =x+3+\frac{10}{x+3}-3-2 \\
& \geq 2 \sqrt{(x+3) \cdot \frac{10}{x+3}}-5 \\
& =2 \sqrt{10}-5
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $x+3=\frac{10}{x+3}$ ，即 $x=\sqrt{10}-3, y=\sqrt{10}-2$故答案为 $2 \sqrt{10}-5$.

另解: 实际上，求 $x+y$ 最小值，一般是 $x y$ 为定值的情况，但这里显然 $x y$ 不是定值，其实这里是 $(x+3)(y+2)=10$ 为定值.这时候就体现了熟悉因式分解的优势.

简单说一下这个因式分解:
$$
\begin{gathered}
x y+p x+q y=1 \Longleftrightarrow x y+p x+q y+p q=1+p q \Longleftrightarrow(x+q)(y+p)=1 \\
+p q
\end{gathered}
$$

#### 例6
已知正实数 $x, y$ 满足 $x y+2 x+3 y=4$ ，则 $x+2 y$ 的最小值
解析: $(x+3)(y+2)=10$
于是
$$
20=(x+3)(2 y+4) \leq \frac{(x+3+2 y+4)^2}{4}
$$

故
$$
x+2 y+7 \geq 4 \sqrt{5}
$$

即
$$
x+2 y \geq 4 \sqrt{5}-7
$$

等号成立当且仅当 $x+3=2 y+4=2 \sqrt{5}$,
即 $x=2 \sqrt{5}-3, y=\sqrt{5}-2$.

## 其它
这里给出一些没有直接给出定值条件的问题.
#### 例7
已知 $x>\frac{1}{2}$ ，则 $x+\frac{1}{2 x-1}$ 的最小值为 $\qquad$
解析：求最小值，考虑凑积定值:

注意到
$$
x=\frac{1}{2}(2 x-1)+\frac{1}{2}
$$

于是
$$
\begin{aligned}
x+\frac{1}{2 x-1} & =\frac{1}{2}(2 x-1)+\frac{1}{2 x-1}+\frac{1}{2} \\
& \geq 2 \sqrt{\frac{1}{2}(2 x-1) \cdot \frac{1}{2 x-1}}+\frac{1}{2} \\
& =\sqrt{2}+\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
等号成立当且仅当 $2 x-1=\sqrt{2}$ 即 $x=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
当然，换元 $t=\frac{1}{2 x-1}$ ，则 $t>0$ ，
即求 $\frac{1}{2} t+\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$ 的最小值.
例8. 已知 $x>0$ ，则 $x^2+\frac{2}{x}$ 的最小值为 $\qquad$
解析：求最小值，考虑凑积定值；这里有一个二次一个负一次，为了凑定值，将一个负一次对半拆分成两个负一次，即
$$
\begin{aligned}
x^2+\frac{2}{x} & =x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x} \\
& \geq 3 \sqrt{x^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} \\
& =3
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当
$$
x^2=\frac{1}{x}=\frac{1}{x}
$$

即 $x=1$.

#### 例9
已知 $x>0$ ，则 $x\left(1-x^2\right)$ 的最大值为

解析:

考虑将 $x$ 化为 $x^2$ : 显然最大值在 $(0,1)$ 上，于是
$$
x\left(1-x^2\right)=\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)^2}
$$

令 $t=x^2$ 则
$$
\begin{aligned}
x^2\left(1-x^2\right)^2 & =t(1-t)^2 \\
& =\frac{1}{2} \cdot 2 t(1-t)(1-t) \\
& \leq \frac{1}{2}\left(\frac{2 t+1-t+1-t}{3}\right)^3 \\
& =\frac{4}{27}
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $2 t=1-t=1-t$ ，即 $t=\frac{1}{3}$ 即 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，故答案为 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$.

#### 例10
设正实数 $x, y$ 满足 $x+y+\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=10 ， x+y$ 的最小值为 $\qquad$
解析：容易发现
$$
\begin{aligned}
(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right) & =5+\frac{y}{x}+\frac{4 x}{y} \\
& \geq 5+2 \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{4 x}{y}} \\
& =9
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $2 x=y=\cdots$
于是
$$
(x+y)(10-(x+y))=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right) \geq 9
$$

令 $t=x+y$ ，得 $t^2-10 t+9 \leq 0$ ，故 $1 \leq t \leq 9$.
故答案为 1 .
推广: 设正实数 $x, y$ 满足
$$
x+y+\frac{p^2}{x}+\frac{q^2}{y}=r(r>2(p+q), q>0, q>0)
$$

则 $x+y$ 的最小值与最大值之和为 $\qquad$
解析：同上，我们有
$$
\begin{aligned}
(x+y)(r-(x+y)) & =(x+y)\left(\frac{p^2}{x}+\frac{q^2}{y}\right) \\
& =p^2+q^2+\frac{p^2 y}{x}+\frac{q^2 x}{y} \\
& \geq p^2+q^2+2 \sqrt{\frac{p^2 y}{x} \cdot \frac{q^2 x}{y}} \\
& =(p+q)^2
\end{aligned}
$$

于是 $(x+y)^2-r(x+y)+(p+q)^2 \leq 0$ ， 得 $m_1 \leq x+y \leq m_2$ ，其中 $m_1, m_2$ 为方程 $m^2-r m+(p+q)^2=0$ 的两实根，根的存在性由 $\Delta=r^2-4(p+q)^2>0$ 保证.由韦达定理得 $m_1, m_2$ 满足 $m_1+m_2=r$.

故答案为 $r$.

## 三元不等式
由二元不等式可以很容易推出三元不等式，即
$$
\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{a b c} \leq \frac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}
$$

其中 $a, b, c$ 为正数.
等号成立当且仅当 $a=b=c$.

## 待定系数法的应用
#### 例11
 已知正实数 $a, b, c$ ，则 $\frac{a b+4 b c}{a^2+b^2+c^2}$ 的最大值为 $\qquad$
解析: 这个题目难的地方就是分子，如果是 $\frac{a b+b c+c a}{a^2+b^2+c^2}$ ，容易知道最大值就是 1 ，因为我们有
$$
\begin{aligned}
& a^2+b^2 \geq 2 a b \\
& b^2+c^2 \geq 2 b c \\
& c^2+a^2 \geq 2 c a
\end{aligned}
$$

相加即得
$$
\begin{aligned}
& \qquad 2\left(a^2+b^2+c^2\right) \geq 2(a b+b c+c a) \\
& \text { 故 } \frac{a b+b c+c a}{a^2+b^2+c^2} \leq 1 .
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $a=b=c$.所以，我们采取类似的思路，仍然使用基本不等式，但考虑一个参数 $0<m<1$ ，注意到分子中有两项出现了 $b$ ，我们猜测这是两次基本不等式的结果，所以将 $b^2$ 划分为两份: $m b^2$ 和 $(1-m) b^2$.

于是
$$
\begin{aligned}
a^2+m b^2 & \geq 2 \sqrt{m} a b \\
(1-m) b^2+c^2 & \geq 2 \sqrt{1-m} b c
\end{aligned}
$$

相加得到
$$
a^2+b^2+c^2 \geq 2(\sqrt{m} a b+\sqrt{1-m} b c)
$$

即
$$
\frac{\sqrt{m} a b+\sqrt{1-m} b c}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{1}{2}
$$

为得到 $\frac{a b+4 b c}{a^2+b^2+c^2}$ ，令 $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{1-m}}=\frac{1}{4}$

解得 $m=\frac{1}{17}$

故
$$
\frac{\frac{1}{\sqrt{17}} a b+\frac{4}{\sqrt{17}} b c}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{1}{2}
$$

即得
$$
\frac{a b+4 b c}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{\sqrt{17}}{2}
$$

等号成立当且仅当 $\sqrt{1-m} a=\sqrt{m(1-m)} b=\sqrt{m} c$.
这便是待定系数法的基本应用。

#### 例题
已知正实数 $x, y$ 满足 $\frac{1}{x+3 y}+\frac{1}{2 x+y}=1$ ，则 $x+y$ 的最小值是 $\qquad$
解析: 这里，为了尽可能简化条件，选择将 $\frac{1}{x+3 y}+\frac{1}{2 x+y}=1$ 左侧分母换元: $\left\{\begin{array}{l}m=x+3 y \\ n=2 x+y\end{array}\right.$ ，将 $x, y$ 由 $m, n$ 表示: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-m+3 n}{5} \\ y=\frac{2 m-n}{5}\end{array}\right.$ ，

这里注意 $x, y>0 \Longleftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{m}{n}<3$. 所求即
$x+y=\frac{-m+3 n}{5}+\frac{2 m-n}{5}=\frac{m+2 n}{5}$ 的最小值，这与我们的例1没有本质的区别，过程如下:

$$
\begin{aligned}
\frac{m+2 n}{5} & =\left(\frac{m+2 n}{5}\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \\
& =\frac{1}{5}\left(3+\frac{2 n}{m}+\frac{m}{n}\right) \\
& \geq \frac{3+2 \sqrt{2}}{5}
\end{aligned}
$$

等号成立当且仅当 $\frac{2 n}{m}=\frac{m}{n}$ ，也就是 $\frac{m}{n}=\sqrt{2}$ ，可以取得.
正文到这里结束.

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