最后更新: 2025-05-23 07:50 查看: 719 次反馈同步训练

糖水不等式

## 糖水不等式
生活经验告诉我们：**一杯糖水，加糖后，糖水会更甜**。

如果上面用代数式表示：
$a$克糖水中有$b$克糖（$a＞b＞0$），则糖的质量和糖水的质量比为：$\frac{b}{a}$，若再添加$c$克糖（$c＞0$），则糖的质量和糖水的质量比为：$\frac{(b+c)}{(a+c)}$。
因为，添加糖后，糖水更甜，因此

$\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a} $

#### 数学证明

证明：（使用作差法）
$$
\begin{aligned}
& \quad \frac{b+c}{a+c}-\frac{b}{a}=\frac{a(b+c)-b(a+c)}{a(\Omega+c)}=\frac{c(a-b)}{a(a+c)} \\
& \because a>b>0, c>0 \\
& \therefore \\
& \quad \frac{c(a-b)}{a(a+c)}>0
\end{aligned}
$$

一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。
即：
$\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a} $

## 推论

若 $b>a>0, m>$ $n>0$, 则有
(1) $\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}, \frac{b}{a}>\frac{b+m}{a+m}$;
意义： $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖, 再添加 $m$ 克糖, 糖水变甜了;

(2) $\frac{a}{b}>\frac{a-m}{b-m}, \frac{b}{a}<\frac{b-m}{a-m}(a>m)$;
意义：$b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖，去掉 $m$ 克糖，糖水变淡了；

(3) $\frac{a+n}{b+n}<\frac{a+m}{b+m}, \frac{b+n}{a+n}>\frac{b+m}{a+m}$;
 意义：两杯一样的糖水，一杯加人 $m$ 克糖, 一杯加人 $n$ 克糖 $(m>n)$, 第一杯比第二杯更甜；

（4）若 $\frac{a}{b}<\frac{n}{m}$, 则 $\frac{a}{b}<\frac{a+n}{b+m}<\frac{n}{m}$.
意义：一杯 $m$ 克糖水，含有 $n$ 克糖，另一杯 $a$ 克糖水，含有 $b$ 克糖，若第一杯比第二杯甜，则两杯糖水混合到一起后比第一杯淡，比第二杯甜.

`例`已知 $\triangle A B C$ 的三边分别为 $a, b, c$ ，且 $m$ 为正实数，求证：$\frac{a}{a+m}+\frac{b}{b+m}>\frac{c}{c+m}$ ．

证明： 因为 $a+b>c$ ，则必存在正实数 $\lambda$ ，使得 $a+b=c+\lambda$ ．
由糖水不等式知 $\frac{c}{c+m}<\frac{c+\lambda}{c+m+\lambda}=\frac{a+b}{a+b+m}=\frac{a}{a+b+m}+\frac{b}{a+b+m}<\frac{a}{a+m}+\frac{b}{b+m}$ ，即为所证．

> 说明：糖水不等式在教材里并不当做一个“真正的不等式”使用，因此，在高考里，不能直接使用糖水不等式公式。**在解答题里，考生需要手动推出糖水不等式，然后使用**。因此，这个结论主要用在填空题和选择题里。

## 推广

对以上结论变式拓展, 可得
推论 （对数型糖水不等式）若 $b>a>$ $1, m>0$, 则有
(1) $\log _b a<\log _{b+m}(a+m)$;
(2) $\log _a b>\log _{a+m}(b+m)$.

特别地, 取 $a=n, b=n+1\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 有

$$
\begin{aligned}
& \log _{n+1} n<\log _{n+2}(n+1), \log _n(n+1)>\log _{n+1}(n  +2)
\end{aligned}
$$

证明 (1) 因为 $b>a>1, m>0$, 所以 $\lg b>\lg a>0$, 由糖水不等式, 得

$$
\begin{aligned}
& \log _b a=\frac{\lg a}{\lg b}<\frac{\lg a+\lg \frac{b+m}{b}}{\lg b+\lg \frac{b+m}{b}} \\
& =\frac{\lg \frac{a(b+m)}{b}}{\lg (b+m)}=\log _{b+m} \frac{a(b+m)}{b}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&=\log _{b+m}\left(a+\frac{a m}{b}\right)<\log _{b+m}(a+m)\\
&\text { 即 } \log _b a<\log _{b+m}(a+m) \text {. }
\end{aligned}
$$

`例` 比较 $\log _2 3, \log _3 4$ ， $\log _4 5$

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