最后更新: 2025-02-13 17:31 查看: 377 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

糖水不等式

## 糖水不等式
生活经验告诉我们：**一杯糖水，加糖后，糖水会更甜**。

如果上面用代数式表示：
$a$克糖水中有$b$克糖（$a＞b＞0$），则糖的质量和糖水的质量比为：$\frac{b}{a}$，若再添加$c$克糖（$c＞0$），则糖的质量和糖水的质量比为：$\frac{(b+c)}{(a+c)}$。
因为，添加糖后，糖水更甜，因此

$\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a} $

#### 数学证明

证明：（使用作差法）
$$
\begin{aligned}
& \quad \frac{b+c}{a+c}-\frac{b}{a}=\frac{a(b+c)-b(a+c)}{a(\Omega+c)}=\frac{c(a-b)}{a(a+c)} \\
& \because a>b>0, c>0 \\
& \therefore \\
& \quad \frac{c(a-b)}{a(a+c)}>0
\end{aligned}
$$

一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。
即：
$\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a} $

## 推论

若 $b>a>0, m>$ $n>0$, 则有
(1) $\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}, \frac{b}{a}>\frac{b+m}{a+m}$;
意义： $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖, 再添加 $m$ 克糖, 糖水变甜了;

(2) $\frac{a}{b}>\frac{a-m}{b-m}, \frac{b}{a}<\frac{b-m}{a-m}(a>m)$;
意义：$b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖，去掉 $m$ 克糖，糖水变淡了；

(3) $\frac{a+n}{b+n}<\frac{a+m}{b+m}, \frac{b+n}{a+n}>\frac{b+m}{a+m}$;
 意义：两杯一样的糖水，一杯加人 $m$ 克糖, 一杯加人 $n$ 克糖 $(m>n)$, 第一杯比第二杯更甜；

（4）若 $\frac{a}{b}<\frac{n}{m}$, 则 $\frac{a}{b}<\frac{a+n}{b+m}<\frac{n}{m}$.
意义：一杯 $m$ 克糖水，含有 $n$ 克糖，另一杯 $a$ 克糖水，含有 $b$ 克糖，若第一杯比第二杯甜，则两杯糖水混合到一起后比第一杯淡，比第二杯甜.

## 推广

对以上结论变式拓展, 可得
推论 （对数型糖水不等式）若 $b>a>$ $1, m>0$, 则有
(1) $\log _b a<\log _{b+m}(a+m)$;
(2) $\log _a b>\log _{a+m}(b+m)$.

特别地, 取 $a=n, b=n+1\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 有

$$
\begin{aligned}
& \log _{n+1} n<\log _{n+2}(n+1), \log _n(n+1)>\log _{n+1}(n  +2)
\end{aligned}
$$

证明 (1) 因为 $b>a>1, m>0$, 所以 $\lg b>\lg a>0$, 由糖水不等式, 得

$$
\begin{aligned}
& \log _b a=\frac{\lg a}{\lg b}<\frac{\lg a+\lg \frac{b+m}{b}}{\lg b+\lg \frac{b+m}{b}} \\
& =\frac{\lg \frac{a(b+m)}{b}}{\lg (b+m)}=\log _{b+m} \frac{a(b+m)}{b}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&=\log _{b+m}\left(a+\frac{a m}{b}\right)<\log _{b+m}(a+m)\\
&\text { 即 } \log _b a<\log _{b+m}(a+m) \text {. }
\end{aligned}
$$

## 糖水不等式的几何意义
如下坐标系中，直线 $O P$ 的斜率 $\left(\frac{b}{a}\right)$ 小于直线 $O Q$ 的斜率 $\left(\frac{b+m}{a+m}\right)$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/6363f2.jpg)

**例1**（2022 年全国 I 卷高考题）已知 $9^m=10, a=10^m-11, b=8^m-9$ ，则 $(\quad)$
(A) $a>0>b$
(B) $a>b>0$
(C) $b>a>0$
(D) $b>0>a$

解 (利用糖水不等式)
由已知条件 $9^m=10$, 可得 $m=\log _9 10$. 同推论（2）的证明过程，可以得到 $m=\frac{\lg 10}{\lg 9}>$ $\frac{\lg 10+\lg \frac{10}{9}}{\lg 9+\lg \frac{10}{9}}=\frac{\lg \frac{100}{9}}{\lg 10}=\lg \frac{100}{9}>\lg 11$, 即 $m >\lg 11 $

所以 $a>10^{\lg 11}-11=0$, 即 $a>0$.

$$
\text { 又 } m=\frac{\lg 10}{\lg 9}<\frac{\lg 10+\lg \frac{8}{9}}{\lg 9+\lg \frac{8}{9}}=\frac{\lg \frac{80}{9}}{\lg 8}=
$$

$\log _8 \frac{80}{9}<\log _8 9$, 即 $m<\log _8 9$, 所以 $b<8^{\log _9 9}-$ $9=0$, 即 $b<0$.

综上, $a>0>b$, 选 A.
评注 本解法的实质是利用糖水不等式，先通过指对互化表示出 $m$ ，再通过换底公式把 $m$ 转化为分式的形式，利用糖水不等式 (分子分母添项) 将 $m$ 转化为与底数为 10 和 8 ,进而换件a,b

例2 (2020 年全国 III 卷高考题) 已知 $5^5$ $<8^4, 13^4<8^5$, 设 $a=\log _5 3, b=\log _8 5, c=$ $\log _{13} 8$, 则 $(\quad)$
(A) $a<b<c$
(B) $b<a<c$
(C) $b<c<a$
(D) $c<a<b$

解 (利用糖水不等式)

$$
a=\log _5 3=\frac{\lg 3}{\lg 5}<\frac{\lg 3+\lg \frac{8}{5}}{\lg 5+\lg \frac{8}{5}}=\frac{\lg \frac{24}{5}}{\lg 8}=
$$

$\log _8 \frac{24}{5}<\log _8 5=b$, 即 $a<b$.

$$
\begin{aligned}
& a=\log _5 3=\frac{\lg 3}{\lg 5}<\frac{\lg 3+\lg \frac{13}{5}}{\lg 5+\lg \frac{13}{5}}=\frac{\lg \frac{39}{5}}{\lg 13}= \\
& \log _{13} \frac{39}{5}<\log _{13} 8=c, \text { 即 } a < c 
\end{aligned}
$$

根据选项应用排除法，选 A.

>提示：糖水不等式不能再大题里直接使用，

例如
$$
\left\{\frac{1}{a_n}\right\}=\frac{2}{3^n-1}
$$

由糖水不等式 知 $\frac{1}{a_n} <\frac{2+1}{3^n-1+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$
考试大题中不要出现"糖水不等式"的字样
 
直接证明由糖水不等式所得的结果比如此题直接证 $\frac{2}{3^n-1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

先证再用即可

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