最后更新: 2025-05-23 07:30 查看: 1045 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

柯西不等式

## 柯西不等式
柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的＂流数＂问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy－Buniakowsky－Schwarz 不等式（柯西－布尼亚科夫斯基－施瓦茨不等式），因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。

对于任意实数 $a 、 b 、 c 、 d$ ，则
$$
\boxed{
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2
}
$$
被称为柯西不等式。他支持扩展到多维。

> 柯西不等式表述了在一定条件下，两组数的平方和之积大于或等于这两组数对应乘积的平方和。

证明:
$$
\begin{aligned}
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) & =a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 \\
& =a^2 c^2+2 a b c d+b^2 d^2+a^2 d^2-2 a b c d+b^2 c^2 \\
& =(a c+b d)^2+(a d-b c)^2 \\
& \geqslant(a c+b d)^2
\end{aligned}
$$

等号在且仅在 $a d-b c=0$ ，即 $a d=b c$ 时成立。

## 柯西不等式的几何意义
参考下图，这里设$a,b,c,d$都是正数
 ![图片](/uploads/2025-02/c2624b.jpg){width=500px}
显然，左右两个大矩形的面积相等，它们中的红色部分的面积也相等，所以剩下的绿色部分的面积自然也相等，所以有：
$S_{\text{左绿}}= a c+b d $
$S_{\text{右绿}}= \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} \cdot \sin \theta \leq \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} $

因为$S_{\text{左绿}}=S_{\text{右绿}}$ 所以
$$
a c+b d \leq \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} 
$$

平方整理后，即得

$$
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2
$$

### 从三角形面积理解
参考下图
 ![图片](/uploads/2025-02/5eaeb6.jpg)
$ S_{\triangle A C D}$ 面积= $ S_{BEDC}  -S_{\triangle ABC}-S_{\triangle A D E} $ , 即

$$
\begin{aligned}
& S_{\triangle A C D}=\frac{1}{2} A C \bullet A D \cdot \sin \angle C A D= \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{c^2+d^2} \sin \angle C A D \\
& =\frac{(a+d)(b+c)}{2}-\frac{a b}{2}-\frac{c d}{2} \\
& =\frac{a c+b d}{2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{c^2+d^2}
\end{aligned}
$$

化简即知不等式成立。

### 从三角函数理解
参考下图
 ![图片](/uploads/2025-02/39af4d.jpg)
直角三角形，则 
$\sin A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos A=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，
$\sin B=\frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}}, \cos B=\frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}$,

由 $\sin (A+B)=\sin A \cos B+$ $\cos A \sin B=\frac{a c+b d}{\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2}} \leq 1$ ，化简即知不等式成立

### 从向量角度理解
一个向量向另外一个向量的投影长一定不超过这个向量自身长，如下图中 $\left|\overrightarrow{O P_0}\right|=\frac{|\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}|}{|\overrightarrow{O Q}|}=\frac{|a c+b d|}{\sqrt{c^2+d^2}} \leqslant|\overrightarrow{O P}|=\sqrt{a^2+b^2}$ ，整理平方即得 $\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geqslant$ $(a c+b d)^2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/c8b4e2.jpg)

总之，目前数学界有上百种证明柯西不等式的方法。

## 例题

`例`在等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若 $a_1^2+a_{19}^2=10$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 10 项和 $S_{10}$ 的最大值是？

解析： 由 $\left(a_1+18 d\right)^2+a_1^2=10$ ，
$$
\begin{aligned}
& S_{10}=5\left(a_1+a_{10}\right)=5\left(2 a_1+9 d\right) \\
& \left(2 a_1+9 d\right)^2 \leq\left(a_1^2+\left(a_1+18 d\right)^2\right)\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \leq 25
\end{aligned}
$$

`例`非负实数 $x, y$ 满足 $x^2+4 y^2+4 x y+4 x^2 y^2=32$ ，则 $\sqr

其他版本
【概率论与数理统计】切比雪夫不等式【数学分析】平均值不等式【数学分析】柯西Cauchy 不等式【线性代数】向量的内积、长度【高中数学】调和平均值与算术平均值不等式

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：三角不等式

下一篇：权方和不等式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)