最后更新: 2025-05-23 08:03 查看: 533 次反馈同步训练

伯努利不等式

## 伯努利不等式
对实数 $x>-1$
①在 $n \geq 1$ 时，有 $(1+x)^n \geq 1+n x$ 成立；
②在 $0 \leq n \leq 1$ 时，有 $(1+x)^n \leq 1+n x$ 成立。
可以看到等号成立当且仅当 $n=0,1$ ，或 $x=0$ 时。

### 证明

设实数 $x>-1 ， a \geq 1$ ，则 $(1+x)^a \geq 1+a x$
**证明1** 当 $a \in N$ 时，用数学归纳法证明:
(1) 当 $a=1$ 时显然成立
(2)假设 $a=k$ 时成立，那么当 $a=k+1$ 时，由假设:

$$
(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x) \geq(1+k x)(1+x)
$$

展开得到:

$$
(1+x)^{k+1} \geq k x^2+1+(k+1) x \geq 1+(k+1) x
$$

所以原命题对 $a \in N$ 成立

**证明2** 构造函数 $f(x)=(1+x)^a-a x-1(x>-1, a \geq 1)$ ，注意到 $f(0)=0$
即证: $f(x) \geq f(0)$ 在定义域 $+(-1,+\infty)$ 上恒成立

$$
\begin{aligned}
& \text { 令 } f^{\prime}(x)=a(1+x)^{a-1}-a=a\left[(1+x)^{a-1}-1\right]=0 \\
& (1+x)^{a-1}=1, x=0
\end{aligned}
$$

即 $x=0$ 是 $f(x)$ 的一个极值点

在这里用一个小技巧：通过判断二阶导数的符号来确定所得到的是极大值点还是极小值点。
如果二阶导大于 0 ，那么一阶导+递增并经过 $x$ 轴，原函数先减再增。
因此，如果二阶导大于 $0 ，$ 那么该点取到极小值;
相反，如果二阶导小于 0 ，那么该点取到极大值。
$f^{\prime \prime}(x)=a(a-1)(1+x)^{a-2}>0$ ，所以在 $x=0$ 处取到极小值，容易得到:

$$
f(x)_{\text {min }}=f(0)=0, \quad f(x) \geq f(0)=0
$$

所以 $(1+x)^a-a x-1 \geq 0,(1+x)^a \geq 1+a x$

> **伯努利不等式的最大作用是把指数型的式子放缩为线性**

`例` 比较 $1.01^{100} $ 和 $2$ 的大小？
解：在伯努利不等式，有 $n \geq

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