最后更新: 2025-02-13 17:28 查看: 403 次反馈刷题

伯努利不等式

## 伯努利不等式
对实数 $x>-1$
①在 $n \geq 1$ 时，有 $(1+x)^n \geq 1+n x$ 成立；
②在 $0 \leq n \leq 1$ 时，有 $(1+x)^n \leq 1+n x$ 成立。
可以看到等号成立当且仅当 $n=0,1$ ，或 $x=0$ 时。

### 证明

设实数 $x>-1 ， a \geq 1$ ，则 $(1+x)^a \geq 1+a x$
**证明1** 当 $a \in N$ 时，用数学归纳法证明:
(1) 当 $a=1$ 时显然成立
(2)假设 $a=k$ 时成立，那么当 $a=k+1$ 时，由假设:

$$
(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x) \geq(1+k x)(1+x)
$$

展开得到:

$$
(1+x)^{k+1} \geq k x^2+1+(k+1) x \geq 1+(k+1) x
$$

所以原命题对 $a \in N$ 成立

**证明2** 构造函数 $f(x)=(1+x)^a-a x-1(x>-1, a \geq 1)$ ，注意到 $f(0)=0$
即证: $f(x) \geq f(0)$ 在定义域 $+(-1,+\infty)$ 上恒成立

$$
\begin{aligned}
& \text { 令 } f^{\prime}(x)=a(1+x)^{a-1}-a=a\left[(1+x)^{a-1}-1\right]=0 \\
& (1+x)^{a-1}=1, x=0
\end{aligned}
$$

即 $x=0$ 是 $f(x)$ 的一个极值点

在这里用一个小技巧：通过判断二阶导数 ${ }^{+}$的符号来确定所得到的是极大值点还是极小值点。
如果二阶导大于 0 ，那么一阶导+递增并经过 $x$ 轴，原函数先减再增。
因此，如果二阶导大于 $0 ，$ 那么该点取到极小值;
相反，如果二阶导小于 0 ，那么该点取到极大值。
$f^{\prime \prime}(x)=a(a-1)(1+x)^{a-2}>0$ ，所以在 $x=0$ 处取到极小值，容易得到:

$$
f(x)_{\text {min }}=f(0)=0, \quad f(x) \geq f(0)=0
$$

所以 $(1+x)^a-a x-1 \geq 0,(1+x)^a \geq 1+a x$

`例`  在伯努利不等式，有 $n \geq 1$ 时，有 $(1+x)^n \geq 1+n x$ 成立， 现在令 $x=0.01$， n=100，带入的
$(1+0.01)^{100} \ge 1+100 \times 0.01=2$ ,  很显然这里不能取等号，所以
 $1.01^{100} > 2$

### 推广

如果 令 $x=e$ 则 $(1+e)^n \ge 1+ne$

### 例题

`例`已知 $p \geq 2, x>0$ ，证明: $x^{2 p-2}-1 \geq\left(x^2-1\right)(p-1)$
分析 注意到右边有 $x^2-1$ ，因此左边将 $x^2-1$ 凑出来后再用伯努利不等式 + 放缩证明 $x^{2 p-2}=\left(x^c\right)^{p-1}=\left(1+x^2-1\right)^{p-1}$ ，由伯努利不等式：

$$
x^{2 p-2}=\left(1+x^2-1\right)^{p-1} \geq 1+(p-1)\left(x^2-1\right)
$$

整理后得到: $x^{2 p-2}-1 \geq\left(x^2-1\right)(p-1)$

## 伯努利不等式的几何意义
形式：$(1+x)^a \geqslant 1+a x$ ，其中 $x>-1, a \geqslant 1$ ．等号成立当且仅当 $x=0$ 或 $a=0,1$ ．
几何解释：该不等式由下图易得，其中 $y=1+a x$ 显然是 $y=(1+x)^a$ 在 $x=0$ 处的切线．
 ![图片](/uploads/2025-02/e48cc7.jpg)
类似地，也可以解释 $e^x \geqslant x+1, x-1 \geqslant \ln x$ 等我们比较熟悉的不等式，这里就不展开了．

刷题

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