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高中数学
第三章：等式与不等式
三角不等式
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2025-05-23 07:27
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三角不等式
## 三角不等式 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 $a, ~ b$ ，有 $$ |a+b| \leqslant|a|+|b| $$ 且等号当且仅当 $a b \geqslant 0$ 时成立． 证明 因为 $|a+b| \leqslant|a|+|b|$ 等价于 $$ |a+b|^2 \leqslant(|a|+|b|)^2 $$ 即 $a^2+2 a b+b^2 \leqslant a^2+2|a b|+b^2$ ，也即 $2 a b \leqslant 2|a b|$ ，所以三角不等式成立，且等号当且仅当 $a b \geqslant 0$ 时成立． > 这个不等式与三角之和大于第三边相似，故称为三角式 ## 向量三角形的几何意义 形式：$\| a |-| b \| \leqslant| a + b | \leqslant| a |+| b |$ ，其中 $a$ ， $b$ 为任意向量． 几何解释：当两向量 $a , b$ 不共线时，可作如下 $\triangle A B C$ ，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得 $\| a |-| b \|<| a + b |<| a |+| b |$ ． {width=300px} 当两向量 $a , b$ 共线时，若至少一个为 $0$ ，则两个等号均可取得；若均不为 $0$ ，则同向共线有 $| a |+| b |=| a + b |$ ，反向共线有 $| a + b |=\| a |-| b \|$ ． 综合以上两方面，可
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