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课外阅读：希尔伯特旅馆

## 希尔伯特旅馆-无限集

银河系中数不清的星辰、浩瀚无垠的太空、永恒的时间 ……几千年来吸引无数青少年去幻想与探索。多少诗人为它写出了难忘的诗篇，又有多少哲学家倾最深刻智慧于它，它就是"无限"。到了 19 世纪末，"什么是无限"成为数学发展必须解决的问题。在探索这一问题的过程中，德国数学家康托尔创立了集合论，开辟了进入现代数学的道路。

怎样理解无限集合? 20 世纪前半期世界数学的领袖人物、德国数学家希尔伯特 "创作"了一个有趣的故事，可以帮助我们理解它. 希尔伯特的故事如下:

有一家旅馆，客人已经住满了所有的房间，但是深夜又来了一位客人，怎么办呢？旅馆主人想了一个办法，居然把这位新客人安排好了, 而且仍然是 1 人一间房, 既没有 2 人挤到—间房，也没有 1 人住了几间房，房间也没有空着的。这样相安无事了几天。 有一天晚上，在没有其他新客人来住的前提下，这位新客人突然又没有房间了，这是怎么一回事？

原来旅馆主人出了这样一个主意：让 1 号房的客人搬到 2 号房去， 2 号房的客人搬到 3 号房去 ……这样每位原来的客人都被搬到下一间房去了。 于是1号房就空出来了，让给了新来的客人. 可过了几天, 这些老客人忘记了这件事, 又都搬回到自己住过的房间：2号房的客人搬回了 1 号房，3号房的客人搬回了 2 号房……这样, 那位新来的客人就没有房间了。

同学们当然会看出希尔伯特的故事的问题在哪里。第一次搬房间的时候，最后一间房的客人搬到哪里去了呢？第二次大家往回搬的时候，最后一间房的房客，搬到前一间房去了，那么最后一间房岂不是空出来了？那位新来的客人怎么会没有房间呢?

原来希尔伯特旅馆的房间的数目是无限的，所以没有 "最后一间房"。因此, 上面的推理是完全正确的, 只不过它有一个前提你必须承认：可以造一家房间数目为无限的旅馆. 这看起来有些"荒唐"，但康托尔正是从类似的思考出发，凭借超凡的智慧，看出了无限与有限是如此不同，创立了极为深刻的集合论，特别是关于无限集合的理论。当时的数学界有人拥护他，有人反对他，由此引起了一场论战。

我们现在用集合语言来分析这个故事。假设旅馆的房间是一个集合 $\Lambda$ ，它的元素是各个房间。如果我们用正整数 $k$ 来表示第 $k$ 号房，则

$$
\Lambda=\{1,2, \cdots, k, \cdots\},
$$

现在它们都住满了客人，在深夜来客时，每一位客人都搬到下一间房去了。于是住了客人的房间组成了一个新的集合 $B$, 即

$$
B=\{2,3, \cdots, k+1, \cdots\} .
$$

现在1号房空出来了，可以给深夜的来客住。很明显 $B$是 $\Lambda$ 的一个子集，而且 $\Lambda$ 中至少有一个元素（现在的 1 号房）不在 $B$ 中, 所以 $B$ 是 $\Lambda$ 的真子集.

对上面客人搬家的情况，我们画成
 ![图片](/uploads/2024-11/0857f9.jpg)
 
 我们说这是由 $\Lambda$ 到 $B$ 的一个对应. 上文中说 "既没有 2人挤到—间房，也没有 1 人住了几间房"，这包话很重要，表示集合 $A$ 中每一个元素与集合 $B$ 中的唯一一个元素对应，记作

$$
\Lambda \rightarrow B .
$$

后来，老客人们搬回来了，这就又有了一个新对应，记作

$$
B \rightarrow \Lambda,
$$

仍然是集合 $B$ 中一个元素对应集合 $\Lambda$ 中唯一一个元素。
同时有这两个对应存在，我们就说集合 $\Lambda$ 与集合 $B$ 建立了一一对应。

所以希尔伯特旅馆的房间所组成的集合 $\Lambda$ 有一个奇特的性质：

集合 $\Lambda$ 与它自己的一个真子集 $B$ 一一对应。
所有的无限集都有这样的性质。你能想象有限集合有这种性质吗？

我们可以把（*）这句话作为无限集的定义。希尔伯特旅馆的房间组成的集合就是一个无限集。

同学们可能会吃惊，集合论难道就是这种不合情理的"分析" 吗？可是历史证明了，由此开始的集合论确实是现代数学的基础.

## 偶数和自然数一样多？

先思考一个问题，在数学甚至数字没有被发明之前，原始人是怎么计数的？

例如今天抓到10只兔子，要平均分给2个人。但对于原始人来讲，10是一个不存在的概念，他们只知道今天打了一堆兔子，没办法给每个人数出来5只。这时能够平均分配的唯一办法就是，你一只我一只，你一只我一只，直到所有的兔子都分完了，这时我知道，咱们两个每个人有一小堆兔子，但其实还是不知道到底有几只。这个问题就类似于现在我们要数清楚偶数和自然数。

这两种数对于我们来说都是无穷多个，没办法说出来到底有多少个，也没办法用数量来比较多少，只能采取类似原始人的比较方法。也就是，拿出一个偶数，再拿出一个自然数和他做对应。一直到有一种数字拿完，如果这时候两种数同时拿完就说明一样多，如果两种数中一种数字有剩余，说明剩余的数比较多。

现在开始拿数字。偶数拿2，自然数拿1；偶数拿4，自然数拿2；……如果这样一直下去，你会发现，无论你拿出偶数多少，都有自然数与它对应，也就是它的一半。最后就会发现，即使偶数全部拿出来，自然数也不会枯竭。
如果反过来操作，自然数拿1，偶数拿2；自然数拿2，偶数拿4；……如果这样一直下去，你会发现，无论你拿出自然数多少，都有偶数与它对应，也就是它的二倍。最后就会发现，即使自然数全部拿出来，偶数也不会枯竭。这样就知道，偶数和自然数谁也不会比谁更多，那结果就是一样多。
当然， 数学上并不会真的说“偶数和自然数一样多”，而是说他们的“等势”

> 定义：设 $A、 B$ 是两个任意的集合，如果存在 $A$ 到 $B$ 的对应关系 $f$ ，使得对任意的 $a \in A$ ，存在唯一的 $b \in B$ ，则称 $A$ 的势不大于 $B$ 的势。如果也有 $B$ 的势不大于 $A$ 的势，称 $A$ 与 $B$ 有相同的势，简称为对等。

如果 $A$ 与$ B$ 的子集 $ B_b$ 对等，但不与 B 对等，称 A 的势小于 B 的势。

但是并不是所有的无穷多都是一样多的。已经证明，所有实数的数量，就要比整数的数量要多；而所有线条形状的数量，就要比实数的数量要多。整数的数量叫做零级无穷大；实数的数量叫做一级无穷大；线条形状的数量叫做二级无穷大。

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