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高中数学
第一章:集合与逻辑
课外阅读:希尔伯特旅馆
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2025-02-13 17:50
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课外阅读:希尔伯特旅馆
## 希尔伯特旅馆-无限集 银河系中数不清的星辰、浩瀚无垠的太空、永恒的时间 ……几千年来吸引无数青少年去幻想与探索。多少诗人为它写出了难忘的诗篇,又有多少哲学家倾最深刻智慧于它,它就是"无限"。到了 19 世纪末,"什么是无限"成为数学发展必须解决的问题。在探索这一问题的过程中,德国数学家康托尔创立了集合论,开辟了进入现代数学的道路。 怎样理解无限集合? 20 世纪前半期世界数学的领袖人物、德国数学家希尔伯特 "创作"了一个有趣的故事,可以帮助我们理解它. 希尔伯特的故事如下: 有一家旅馆,客人已经住满了所有的房间,但是深夜又来了一位客人,怎么办呢?旅馆主人想了一个办法,居然把这位新客人安排好了, 而且仍然是 1 人一间房, 既没有 2 人挤到—间房,也没有 1 人住了几间房,房间也没有空着的。这样相安无事了几天。 有一天晚上,在没有其他新客人来住的前提下,这位新客人突然又没有房间了,这是怎么一回事? 原来旅馆主人出了这样一个主意:让 1 号房的客人搬到 2 号房去, 2 号房的客人搬到 3 号房去 ……这样每位原来的客人都被搬到下一间房去了。 于是1号房就空出来了,让给了新来的客人. 可过了几天, 这些老客人忘记了这件事, 又都搬回到自己住过的房间:2号房的客人搬回了 1 号房,3号房的客人搬回了 2 号房……这样, 那位新来的客人就没有房间了。 同学们当然会看出希尔伯特的故事的问题在哪里。第一次搬房间的时候,最后一间房的客人搬到哪里去了呢?第二次大家往回搬的时候,最后一间房的房客,搬到前一间房去了,那么最后一间房岂不是空出来了?那位新来的客人怎么会没有房间呢? 原来希尔伯特旅馆的房间的数目是无限的,所以没有 "最后一间房"。因此, 上面的推理是完全正确的, 只不过它有一个前提你必须承认:可以造一家房间数目为无限的旅馆. 这看起来有些"荒唐",但康托尔正是从类似的思考出发,凭借超
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