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第三次数学危机

第三次数学危机是数学史上的一次重大事件，以下是对其的详细解析：

第一次数学危机被称为[无理数危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1460) 
第二次数学危机被称为[无穷小危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=280) 
第三次数学危机被称为[集合论危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1284)

## 集合概述
在数学中，集合是一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。它指的是具有某种共性的事物或对象的整体，这些对象称为集合的元素。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。集合中的元素可以是数字、字母、符号、其他集合，甚至可以是各种不同的非数学概念。通常用大写字母表示一个集合，集合中的元素用小写字母表示，用大括号{}括起来表示集合。

### 一、背景与起因

第三次数学危机产生于19世纪末和20世纪初，这一时期正是数学空前兴旺发达的时期。数学的发展不仅推动了科学技术的进步，也促进了哲学、逻辑学等其他学科的发展。然而，正是在这个背景下，数学家们发现了一些令人困惑的问题，这些问题最终导致了第三次数学危机的爆发。

危机的起因可以追溯到康托尔（Cantor）创立的一般集合理论。集合论是现代数学的基础之一，它揭示了数学对象的本质属性和相互关系。然而，随着研究的深入，数学家们在集合论的边缘发现了一些悖论，比如[康托尔集合集](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=807)，这些**悖论**对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

## 罗素悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。**我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸**。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？**如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。**

> 如果从集合论角度除法：对于任意一个集合$A$，$A$要么是自身的元素，即$A \in A$ ； $A$要么不是自身的元素，即

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