最后更新: 2025-01-20 08:19 查看: 687 次反馈同步训练

第三次数学危机

第三次数学危机是数学史上的一次重大事件，以下是对其的详细解析：

第一次数学危机被称为[无理数危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1460) 
第二次数学危机被称为[无穷小危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=280) 
第三次数学危机被称为[集合论危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1284)

## 集合概述
在数学中，集合是一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。它指的是具有某种共性的事物或对象的整体，这些对象称为集合的元素。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。集合中的元素可以是数字、字母、符号、其他集合，甚至可以是各种不同的非数学概念。通常用大写字母表示一个集合，集合中的元素用小写字母表示，用大括号{}括起来表示集合。

### 一、背景与起因

第三次数学危机产生于19世纪末和20世纪初，这一时期正是数学空前兴旺发达的时期。数学的发展不仅推动了科学技术的进步，也促进了哲学、逻辑学等其他学科的发展。然而，正是在这个背景下，数学家们发现了一些令人困惑的问题，这些问题最终导致了第三次数学危机的爆发。

危机的起因可以追溯到康托尔（Cantor）创立的一般集合理论。集合论是现代数学的基础之一，它揭示了数学对象的本质属性和相互关系。然而，随着研究的深入，数学家们在集合论的边缘发现了一些悖论，比如[康托尔集合集](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=807)，这些**悖论**对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

## 罗素悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。**我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸**。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？**如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。**

> 如果从集合论角度除法：对于任意一个集合$A$，$A$要么是自身的元素，即$A \in A$ ； $A$要么不是自身的元素，即 $A \notin A$ 。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合 $S_1$ ，即 $S_1=\{x: x \notin x\}$ 。

### 集合的产生与第三次数学危机

某村的理发师宣布了这样一个原则：**他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子. 那么, 这个理发师是否应该为自己刮胡子呢?** 如果理发师不为自己刮胡子, 那么他是不给自己刮胡子的人, 所以按照他的原则, 他必须为自己刮胡子; 反之, 如果他为自己刮胡子, 因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子，所以他不应该为自己刮胡子。

看完上面这段话后是不是觉得有些困惑? 这是数学上有名的 “理发师困境”, 是著名数学家罗素于 20 世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本.
罗素悖论与集合论知识有关.

事实上, 我们所学习的集合, 也能以集合作为元素. 例如, 若记集合 $A=\{1,2\}$的所有子集组成的新集合为 $B$, 则
$$
B=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\},
$$
$B$ 中的元素都是集合 ( $B$ 一般称为类).
以集合作为元素在直观上是容易理解的: 如果把一个集合理解为一个袋子, 元素理解为袋子里的东西, 则以集合为元素的集合, 就相当于袋子里的东西还是袋子. 这也可以用电脑中的文件夹来理解, 文件夹中可以是文件, 也可以是文件夹, 如图所示.
 ![图片](/uploads/2024-04/8d3b80.jpg)
 罗素认为, 任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题, 有些集合属于它自身, 有些集合不属于它自身. 随后, 罗素构造了集合 $S$ : 由所有不是自身元素的集合组成的集合.

问题是: $S$ 是否属于 $S$ ? 继续往下分析就会出现类似上述 “理发师困境” 的两难局面.

罗素悖论提出时, 集合论的知识已经成为数学的基础. 这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑, 从而导致了“第三次数学危机”. 但是数学家们通过对集合论进行公

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