最后更新: 2025-03-31 20:34 查看: 804 次反馈刷题

充分条件与必要条件

## 充分条件与必要条件
### 引例1
我们要培养的是德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．显然，对于这样＂全面发展＂的学生来说，其学习成绩一定是好的；反过来，学习成绩好的学生不一定是＂全面发展＂的，因为可能其他方面不是很好．也就是说，＂学习成绩好＂对于＂全面发展＂是不可缺少的，但只有＂学习成绩好＂还不够．

**定义1** 对于两个陈述句 $\alpha$ 与 $\beta$ ，如果 $\alpha \Rightarrow \beta$ ，就称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的充分条件（sufficient condition），亦称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的必要条件（necessary condition）．

在引例1中，转换为数学语言就是：
命题A:“甲是社会主义建设者和接班人”
命题B: “甲的学习成绩好”

如果甲是社会主义建设者和接班人，那么甲的成绩一定好，这是充分的， 即A可以推出B。这句话也可以说，要成为社会主义建设者和接班人，必须成绩好，所以,B是A的必要条件(必要，顾名思义就是必须的意思，没有不行)。

上面这个意思还可以说，只有甲的学习好，甲才可能成为社会主义建设者和接班人，所以。这句话还可以用逆否语句表示：如果甲的成绩不好，那么他一定不是社会主义建设者和接班人。

### 引例2
某大学自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得一等奖都可以报名参加该校的自主招生考试．根据这一信息，回答下列问题：

（１）已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学的自主招生考试吗？
（２）已知乙同学已经成功申请到了参加该大学自主招生考试的资格，那么乙同学一定满足竞赛条件吗？
（３）已知丙同学不满足竞赛条件，那么丙同学一定不能申请参加该大学的自主招生考试吗？

第一个问题，正确答案：能 ．但第二个和第三个问题的答案都是：不一定．你知道为什么吗？

这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学自主招生考试的充分条件，而不是必要条件，但是充分条件可以不止一个。

事实上，参加如果该生在高考里里是状元也能申请参加该大学自主招生考试。

**定义2** 对于两个陈述句 $\alpha$ 与 $\beta$ ，如果既有 $\alpha \Rightarrow \beta$ ，又有 $\beta \Rightarrow \alpha$ ，就称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的充分必要条件，简称充要条件，记作 $\alpha \Leftrightarrow \beta$ ，读作 ＂$\alpha$ 与 $\beta$ 等价＂或＂$\alpha$ 成立当且仅当 $\beta$ 成立＂．

> 充分条件就是日常生活中说的“如果...就”，必要条件就是“只有...才”

![图片](/uploads/2025-03/367725.jpg)

### ①充分条件
由 $A$可以推出$B$ 则称 $A$是$B$的充分条件。
充分条件类似日常生活中的“**如果...就..**”

### ②必要条件
不满足$A$，必然不满足$B$ ，则$A$是$B$的必要条件。
必要条件类似日常生活中的“**只有...才..**.”

### ③充要条件
 
由 $A$可以推出$B$，同时，由$B$也可以推出$A$，则称为$A$是$B$的充要条件。

### ④既不充分又不必要条件

由$A$推不出$B$，由$B$也推出$A$，就称呼A是B的既非充分又分必要条件。

## 几种组合
假设 $A$ 是条件， $B$ 是结论
（1）由 $A$ 可以推出 $B$ ，由 $B$ 可以推出 $A$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充要条件（ $A=B$ ）
（2）由 $A$ 可以推出 $B$ ，由 $B$ 不可以推出 $A$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件（ $A \subseteq B$ ）
（3）由 $A$ 不可以推出 $B$ ，由 $B$ 可以推出 $A$ ，则 $A$ 是 $B$ 的必要不充分条件 $(B \subseteq A)$
（4）由 $A$ 不可以推出 $B$ ，由 $B$ 不可以推出 $A$ ，则 $A$ 是 $B$ 的既不充分也不必要条件 $(A \not \subset B$ 且 $B \not \subset A)$

> 充分条件里，充分是充足、足够的的意思，而必要条件里必要是“必须、缺其不可”的意思（即有之未必成立，无之必不成立）。

`例` 命题A：$x=y$， 命题B:$x^3=y^3$
因为 A 可以推出 B，同时 B也可以推出A，所以，A是B的充分必要条件。

`例` 命题A：$x=y$， 命题B:$x^2=y^2$
因为 A 可以推出 B，但是 B推不出A，所以，A是B的充分不必要条件。

`例` 命题A：$x^2=y^2$， 命题B:$x=y$
因为 A 推不出 B，但是 B可以推出A，所以，A是B的必要不充分条件。

`例` 命题A：$x \ne y$， 命题B:$x^2 \ne y^2$
因为 A 推不出 B，同时 B也推不出A，所以，A是B的即不充分也不必要条件。

`例`设 $x \in \mathbf{R}$ ，则“ $|x-2|<1$ "是“ $3^x<27$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 $\mathrm{A}$
解析

$$
\begin{aligned}
& ①\because|x-2|<1, \\
& \therefore-1<x-2<1, \\
& \therefore 1<x<3, \\
&② \because 3^x<27, \\
& \therefore x<3, \\
& \because\{x \mid 1<x<3\} \text { 是 }\{x \mid x<3\} \text { 的真子集, } \\
& \therefore|x-2|<1 \text { " 是“ } 3^x<27^{\prime \prime} \text { 的充分不必要条件. }
\end{aligned}
$$

故选A.

`例`“ $x<1$ ”是 “$3^x<1$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 B.
解析：
①$x<1$
②由 $3^x<1=3^0$ ，解得 $x<0$ ，

$\therefore x<1$ "是 “ $3^x<1$ "的必要不充分条件，
故选: B.

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