日期: 2024-04-24 11:56 查看: 243 次编辑导出本文

充分条件与必要条件

在逻辑学中使用充分必要条件表示命题的逻辑关系。

> 有人说，充分条件就是“有之即可，无之也行”的条件，必要条件就是“有之未必即可，无之则必不行”的条件，你觉得有道理吗？

## ①充分条件

有 $A$ 就一定有 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充分条件(A=>B)；
充分条件类似日常生活中的“**如果...就..**.”

例如，如果李华是北京人，那么他是中国人．这个命题显然是个真命题．这时，我们也说，“李华是北京人”是“李华是中国人”的充分条件，而“李华是中国人”是“李华是北京人”的必要条件，这就是说由“李华是北京人”就能充分说明“李华是中国人”，但“李华是中国人”只是“李华是北京人”必定有的条件．如果李华不是中国人，更谈不上他是北京人了．

**例1**
A: $x=y$,
B: $x^2=y^2$
如果$x=y$ ，则必有 $x^2=y^2$。

**例2**
A:下雨。
B:地湿。
如果下雨，那么地湿。 那么就说下雨是地湿的充分条件。

## ②必要条件

无 $A$ 就一定无 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的必要条件 （B=>A）；
必要条件类似日常生活中的“**只有...才..**.”

**例3**
A:$x^2=y^2$
B:$x=y$

只有 $x^2=y^2$，才可能会有 $x=y$ ， 或者说，如果   $x^2  \ne y^2$，一定不会有 $x \ne y$

所以 $x^2=y^2$ 是  $x=y$ 的必要条件。（$x$为负数，$y$为正数时，不能推出$x=y$）

**例4：**
A:下雨
B:地湿。
如果不下雨，地面一定不会湿。这个说法显然是错误的，因为泼水也可以让地湿。 所以由B推导不出A，我们就说说地湿不是下雨的必要条件。

## ③充要条件

有 $A$ 就一定有 $B$ ，无 $A$ 就一定无 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充要条件。换句话说，
由 $A$可以推出$B$，同时，由$B$也可以推出$A$。

**例如5**
A: $x=y$,
B: $x^3=y^3$

如果$x=y$ 则必有 $x^3=y^3$， 同样，如果 $x^3=y^3$ 则必有 $x=y$，此时称A是B的充分必要条件。

**例如6**

$P: x=1$

$ Q: x^2=1$

$P$ 是 $Q$ 的充分条件而不是必要条件 (没有 $x=1$, 当 $x=-1, x^{\wedge} 2=1$ )
$Q$ 是 $P$ 的必要条件,没有 $x^2=1$, 就一定没有 $x=1$

## ④既不充分又不必要条件

由A不可以推出B，由B不可以推出A，就称呼A是B的既非充分又分必要条件。

## 记忆技巧

由A可以推导B，就是充分条件。
由B可以推导A，就是必要条件。

**例1** ：设 $x \in \mathbf{R}$ ，则“ $|x-2|<1$ "是“ $3^x<27$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 $\mathrm{A}$
解析

$$
\begin{aligned}
& \because|x-2|<1, \\
& \therefore-1<x-2<1, \\
& \therefore 1<x<3, \\
& \because 3^x<27, \\
& \therefore x<3, \\
& \because\{x \mid 1<x<3\} \text { 是 }\{x \mid x<3\} \text { 的真子集, } \\
& \therefore|x-2|<1 \text { " 是“ } 3^x<27^{\prime \prime} \text { 的充分不必要条件. }
\end{aligned}
$$

故选A.

**例2** ：“ $x<1$ ”是 $3^x<1$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 B.
解析 由 $3^x<1=3^0$ ，解得 $x<0$ ，
$\therefore x<1$ "是 “ $3^x<1$ "的必要不充分条件，
故选: B.

### 自主招生中的充分条件与必要条件

某大学自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖（含）以上者都可以报名参加该校的自主招生考试．根据这一信息，回答下列问题：

（１）已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学的自主招生考试吗？
（２）已知乙同学已经成功申请到了参加该大学自主招生考试的资格，那么乙同学一定满足竞赛条件吗？
（３）已知丙同学不满足竞赛条件，那么丙同学一定不能申请参加该大学的自主招生考试吗？

第一个问题，相信大家都能得到正确答案：能 ．但第二个和第三个问题的答案都是：不一定．
你知道为什么吗？
这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学自主招生考试的充分条件，而不是必要条件，但是充分条件可以不止一个．
事实上，全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学自主招生考试．生活中还有很多类似的情况请自行查找

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