最后更新: 2025-04-14 18:50 查看: 909 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

命题与量词

## 命题
凡可决定其真假的语句就叫做命题。
 ①雪是白的．（真）
 ②对顶角相等．（真）
 ③$2+2=5$． （假）
 ④若$x>y$, 则$\frac{x+2y}{3}>\frac{x+y}{2}$．（假）

这些语句都是命题．从上面这些命题中我们可以看到，命题不一定为数学所独有，如1就不是数学命题，另外我们还看到一个命题是可以判断真假的，有的容易判断如1、2、3．有的就较难判断一些，如4是个假命题，但一眼不容易看出来，实际上如果设$x=1$, $y=0,\;(x>y)$那么
$\frac{1+2 \times 0}{3}\not>\frac{1+0}{2}$．这就说明4是个假命题了．所谓“判断真假”是对事物的本质说的，并不要求现在就要，“决定”，也不要求最近的将来便可决定．例如：
  别的星球上有生物．
  凡大于4的偶数都是两个奇质数之和（这就是著名的哥德巴赫猜想）．
  
这些语句的真假不但现在不能决定，在最近的将来也未必“可决定”，但是我们认为从事物的本质来说，它们本身是有真假可言的，所以应该承认它们都是命题．

数学命题，经常使用“如果……，那么……”，“若……，则……．”的叙述形式，如前面提到的4便是这一类形式的
命题．这类命题写成一般形式就是：
 
 > 若$\alpha$, 则$\beta$  或  如果$\alpha$, 那么$\beta$.

下面我们仔细的分析它的结构和逻辑关系．

命题“若$\alpha$, 则$\beta$”是否正确，就要看$\alpha$、$\beta$之间是否具有推出关系$\alpha\Rightarrow\beta$了．也就是说，如果$\alpha$、$\beta$之间具有$\alpha\Rightarrow\beta$的关系，则“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题（即正确的命题），由此可见“$\alpha\Rightarrow\beta$”与“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题是同一关系的两种不同说法．

在命题“若$\alpha$, 则$\beta$”中，我们把$\alpha$叫做命题的**条件**，$\beta$叫做命题的**结论**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$作为条件，$\alpha$作为结论，就得到另一个命题：若$\beta$, 则$\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**逆命题**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\alpha$的反性质：非$\alpha$, $\beta$的反性质：非$\beta$, 分别作为条件和结论，又得到一个新命题：若$\bar\alpha$, 则$\bar\beta$, 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$

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