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集合与逻辑
命题与量词
日期:
2024-04-24 11:54
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命题与量词
## 命题 凡可决定其真假的语句就叫做命题。 雪是白的.(真) 对顶角相等.(真) $2+2=5$. (假) 若$x>y$, 则$\frac{x+2y}{3}>\frac{x+y}{2}$.(假) 这些语句都是命题.从上面这些命题中我们可以看到,命题不一定为数学所独有,如1就不是数学命题,另外我们还看到一个命题是可以判断真假的,有的容易判断如1、2、3.有的就较难判断一些,如4是个假命题,但一眼不容易看出来,实际上如果设$x=1$, $y=0,\;(x>y)$那么 $\frac{1+2\x 0}{3}\not>\frac{1+0}{2}$.这就说明4是个假命题了.所谓“判断真假”是对事物的本质说的,并不要求现在就要,“决定”,也不要求最近的将来便可决定.例如: 别的星球上有生物. 凡大于4的偶数都是两个奇质数之和(这就是著名的哥德巴赫猜想). 这些语句的真假不但现在不能决定,在最近的将来也未必“可决定”,但是我们认为从事物的本质来说,它们本身是有真假可言的,所以应该承认它们都是命题. 数学命题,经常使用“如果……,那么……”,“若……,则…….”的叙述形式,如前面提到的4便是这一类形式的 命题.这类命题写成一般形式就是: > 若$\alpha$, 则$\beta$ 或 如果$\alpha$, 那么$\beta$. 下面我们仔细的分析它的结构和逻辑关系. 命题“若$\alpha$, 则$\beta$”是否正确,就要看$\alpha$、$\beta$之间是否具有推出关系$\alpha\Rightarrow\beta$了.也就是说,如果$\alpha$、$\beta$之间具有$\alpha\Rightarrow\beta$的关系,则“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题(即正确的命题),由此可见“$\alpha\Rightarrow\beta$”与“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题是同一关系的两种不同说法. 在命题“若$\alpha$, 则$\beta$”中,我们把$\alpha$叫做命题的\textbf{条件},$\beta$叫做命题的结论. 把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$作为条件,$\alpha$作为结论,就得到另一个命题:若$\beta$, 则$\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的逆命题. 把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\alpha$的反性质:非$\alpha$, $\beta$的反性质:非$\beta$, 分别作为条件和结论,又得到一个新命题:若$\bar\alpha$, 则$\bar\beta$, 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的否命题. 把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$的反性质:非$\beta$, $\alpha$的反性质:非$\alpha$, 分别作为条件和结论,又可得到一个新命题:若$\bar\beta$, 则$\bar\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的逆否命题. 若“$\alpha$, 则$\beta$”则叫做上述逆命题,否命题、逆否命题的\textbf{原命题}.这就是说,逆命题,否命题,逆否命题都是对原命题而说的,在四种命题中任何一个命题都可作为原命题.如: 原命题 若$\bar\alpha$,则$\bar\beta$ 逆命题 若$\bar\beta$,则$\alpha$ 否命题 若$\alpha$,则$\beta$($\bar\alpha$的非是$\alpha$, $\bar\beta$的非是$\beta$) 逆否命题 若$\beta$,则$\alpha$ 我们把上述四种命题之间的关系,列成下图: ![图片](/uploads/2024-04/4ecf8a.jpg) **全称量词** “对任意的”单词在逻辑中被称为全称量词,记作 $\forall$ ,含有全称量词的命题叫做全称命题。 对于 $M$ 中的任意 $x$ ,都有 $p(x)$ 成立,记作 $\forall x \in M, p(x)$ 。 读作: 对于属于 $M$ 里的任意 $x$ ,都有使 $p(x)$ 成立。 **存在量词** $M$ 中至少存在一个 $x$ ,使 $p(x)$ 成立,记作 $\exists x \in M, p(x)$ 。 读作: 存在一个 $x$ 属于 $M$ ,使 $p(x)$ 成立。 **逆否命题** 1、对于含有一个量词的全称命题 $q: \forall x \in M, p(x)$ 的否定记做 $\neg q$ 是: $\exists x \in M, \neg p(x)$ 。 2、对于含有一个量词的特称命题 $q: \exists x \in M, p(x)$ 的否定记做 $\neg q$ 是: $\forall x \in M, \neg p(x)$ 。 ## 逻辑联结词 逻辑联结词有:或、且、非; **①且的定义:** 一般地,用连接词“且”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p∧q,读作p且q; **②或的定义:** 一般地,用连接词“或”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p∨q,读作p或q; **③非的定义:** 一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p,读作“非p”或“p的否定”; **典型例题** 已知命题p: $\forall x \in {R} , x^2 \geq-1$; 命题 $\mathrm{q}: ~ \exists x \in {R} , \cos x=-\sqrt{2}$ ,则() A. $p \vee q$ 是假命题 B. $p \wedge q$ 是真命题 C. $(\neg p) \vee q$ 是真命题 D. $p \wedge(\neg q)$ 是真命题 答案:D. 【分析】 先分别判断命题 $p 、 q$ 的真假,再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假. 【详解】 由题意,判断得命题 $p$ 为真命题,命题 $q$ 为假命题,所以 $\neg p$ 是假命题, $\neg q$ 为真命题,所以 $p \vee q$ 是真命题, $p \wedge q$ 是假命题, $(\neg p) \vee q$ 是假命 题, $p \wedge(\neg q)$ 是真命题. 故选: D
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