最后更新: 2025-04-14 18:50 查看: 711 次反馈刷题

命题与量词

## 命题
凡可决定其真假的语句就叫做命题。
 ①雪是白的．（真）
 ②对顶角相等．（真）
 ③$2+2=5$． （假）
 ④若$x>y$, 则$\frac{x+2y}{3}>\frac{x+y}{2}$．（假）

这些语句都是命题．从上面这些命题中我们可以看到，命题不一定为数学所独有，如1就不是数学命题，另外我们还看到一个命题是可以判断真假的，有的容易判断如1、2、3．有的就较难判断一些，如4是个假命题，但一眼不容易看出来，实际上如果设$x=1$, $y=0,\;(x>y)$那么
$\frac{1+2 \times 0}{3}\not>\frac{1+0}{2}$．这就说明4是个假命题了．所谓“判断真假”是对事物的本质说的，并不要求现在就要，“决定”，也不要求最近的将来便可决定．例如：
  别的星球上有生物．
  凡大于4的偶数都是两个奇质数之和（这就是著名的哥德巴赫猜想）．
  
这些语句的真假不但现在不能决定，在最近的将来也未必“可决定”，但是我们认为从事物的本质来说，它们本身是有真假可言的，所以应该承认它们都是命题．

数学命题，经常使用“如果……，那么……”，“若……，则……．”的叙述形式，如前面提到的4便是这一类形式的
命题．这类命题写成一般形式就是：
 
 > 若$\alpha$, 则$\beta$  或  如果$\alpha$, 那么$\beta$.

下面我们仔细的分析它的结构和逻辑关系．

命题“若$\alpha$, 则$\beta$”是否正确，就要看$\alpha$、$\beta$之间是否具有推出关系$\alpha\Rightarrow\beta$了．也就是说，如果$\alpha$、$\beta$之间具有$\alpha\Rightarrow\beta$的关系，则“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题（即正确的命题），由此可见“$\alpha\Rightarrow\beta$”与“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题是同一关系的两种不同说法．

在命题“若$\alpha$, 则$\beta$”中，我们把$\alpha$叫做命题的**条件**，$\beta$叫做命题的**结论**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$作为条件，$\alpha$作为结论，就得到另一个命题：若$\beta$, 则$\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**逆命题**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\alpha$的反性质：非$\alpha$, $\beta$的反性质：非$\beta$, 分别作为条件和结论，又得到一个新命题：若$\bar\alpha$, 则$\bar\beta$, 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**否命题**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$的反性质：非$\beta$, $\alpha$的反性质：非$\alpha$, 分别作为条件和结论，又可得到一个新命题：若$\bar\beta$, 则$\bar\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**逆否命题**．

若“$\alpha$, 则$\beta$”则叫做上述逆命题，否命题、逆否命题的**原命题**．

这就是说，逆命题，否命题，逆否命题都是对原命题而说的，在四种命题中任何一个命题都可作为原命题．如：
 
  原命题  若$\bar\alpha$，则$\bar\beta$
 逆命题  若$\bar\beta$，则$\alpha$
 否命题  若$\alpha$，则$\beta$（$\bar\alpha$的非是$\alpha$，   $\bar\beta$的非是$\beta$）
 逆否命题  若$\beta$，则$\alpha$

我们把上述四种命题之间的关系，列成下图：
  ![图片](/uploads/2024-04/4ecf8a.jpg)

## 全称量词

“对任意的”单词在逻辑中被称为全称量词，记作 $\forall$ ，含有全称量词的命题叫做全称命题。

对于 $M$ 中的任意 $x$ ，都有 $p(x)$ 成立，记作 $\forall x \in M, p(x)$ 。
读作: 对于属于 $M$ 里的任意 $x$ ，都有使 $p(x)$ 成立。

## 存在量词

$M$ 中至少存在一个 $x$ ，使 $p(x)$ 成立，记作 $\exists x \in M, p(x)$ 。
读作: 存在一个 $x$ 属于 $M$ ，使 $p(x)$ 成立。

**逆否命题**
1、对于含有一个量词的全称命题 $q: \forall x \in M, p(x)$ 的否定记做 $\neg q$ 是: $\exists x \in M, \neg p(x)$ 。

`例`写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有苹果都是红色；
（2）$\forall x>5, x>3$ ；
（3）$\forall P : OP =r(r>0), P$ 在半径为 $r$ 的圆 O 上。
解析：（1）该句作出判断的命题是＂都是＂，先将＂所有苹果＂改为＂存在苹果＂，再将＂（是）红色＂改为＂不是红色＂。该命题的否定为：存在苹果不是红色，调整语句令其更加通畅：存在不是红色的苹果。
（2）先将＂$\forall x>5$＂改为＂$\exists x>5$＂，再将＂$x>3$＂否定为＂$x \leq 3$＂。该命题的否定为：$\exists x>5, x \leq 3$ 。
（3）先将＂$\forall P : OP =r(r>0) "$ 改为＂$\exists P : OP =r(r>0) "$ ，再将 ＂ P 在半径为 $r$ 的圆 O 上＂否定为＂ P 不在半径为 $r$ 的圆 O 上＂。该命题的否定为： $\exists P : OP =r(r>0), P$ 不在半径为 $r$ 的圆 O 上。

2、对于含有一个量词的特称命题 $q: \exists x \in M, p(x)$ 的否定记做 $\neg q$ 是: $\forall x \in M, \neg p(x)$ 。

`例`（1）有的鸟类不会飞；
（2）$\exists x \in R , x^2+6 x+8=0$ ；
（3）$\exists \triangle ABC , AB + AC < BC$ 。
解析：（1）该句作出判断的命题是＂有的．．．．．不．．．．．＂，先将＂有的鸟类＂改为＂所有鸟类＂，再将＂不会飞＂否定为＂都会飞＂。该命题的否定为：所有鸟类都会飞。
（2）先将＂$\exists x \in R$＂改为＂$\forall x \in R$＂，再将＂$x^2+6 x+8=0$＂否定为 ＂$x^2+6 x+8 \neq 0$＂。该命题的否定为：$\forall x \in R , x^2+6 x+8 \neq 0$ 。原命题的含义为：方程 $x^2+6 x+8=0$ 有实数解。该命题的否定的含义为：所有实数都使得 $x^2+6 x+8$的值不为 0 ，即方程 $x^2+6 x+8=0$ 没有实数解。

（3）先将＂$\exists \triangle ABC "$ 改为＂$\forall \triangle ABC$＂，再将＂ $AB + AC < BC$＂否定为 ＂$A B+A C \geq B C$＂。该命题的否定为：$\forall \triangle A B C, A B+A C \geq B C$ 。原命题的含义为：存在三角形，它的两边之和小于第三边。该命题的否定的含义为：所有三角形的两边之和都大于或等于第三边。

需注意区分命题的否定（非命题）与否命题。对于命题＂若 $p$ ，则 $q$＂，它的否定（非命题）只否定结论，条件保持不变，即＂若 $p$ ，则 $\neg q$＂。否命题将条件和结论都分别否定，即＂若 $\neg p$ ，则 $\neg q$＂。

## 逻辑联结词

逻辑联结词有：或、且、非；

**①且的定义：**

一般地，用连接词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q；

**②或的定义：**

一般地，用连接词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q；

**③非的定义：**

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”；

## 例题

已知命题p: $\forall x \in {R} ， x^2 \geq-1$; 命题 $\mathrm{q}: ~ \exists x \in {R} ， \cos x=-\sqrt{2}$ ，则（）
A. $p \vee q$ 是假命题
B. $p \wedge q$ 是真命题
C. $(\neg p) \vee q$ 是真命题
D. $p \wedge(\neg q)$ 是真命题

答案：D.

【分析】
先分别判断命题 $p 、 q$ 的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.
【详解】
由题意，判断得命题 $p$ 为真命题，命题 $q$ 为假命题，所以 $\neg p$ 是假命题， $\neg q$ 为真命题，所以 $p \vee q$ 是真命题， $p \wedge q$ 是假命题， $(\neg p) \vee q$ 是假命 题, $p \wedge(\neg q)$ 是真命题.
故选: D

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