最后更新: 2025-04-14 18:50 查看: 832 次反馈同步训练

命题与量词

## 命题
凡可决定其真假的语句就叫做命题。
 ①雪是白的．（真）
 ②对顶角相等．（真）
 ③$2+2=5$． （假）
 ④若$x>y$, 则$\frac{x+2y}{3}>\frac{x+y}{2}$．（假）

这些语句都是命题．从上面这些命题中我们可以看到，命题不一定为数学所独有，如1就不是数学命题，另外我们还看到一个命题是可以判断真假的，有的容易判断如1、2、3．有的就较难判断一些，如4是个假命题，但一眼不容易看出来，实际上如果设$x=1$, $y=0,\;(x>y)$那么
$\frac{1+2 \times 0}{3}\not>\frac{1+0}{2}$．这就说明4是个假命题了．所谓“判断真假”是对事物的本质说的，并不要求现在就要，“决定”，也不要求最近的将来便可决定．例如：
  别的星球上有生物．
  凡大于4的偶数都是两个奇质数之和（这就是著名的哥德巴赫猜想）．
  
这些语句的真假不但现在不能决定，在最近的将来也未必“可决定”，但是我们认为从事物的本质来说，它们本身是有真假可言的，所以应该承认它们都是命题．

数学命题，经常使用“如果……，那么……”，“若……，则……．”的叙述形式，如前面提到的4便是这一类形式的
命题．这类命题写成一般形式就是：
 
 > 若$\alpha$, 则$\beta$  或  如果$\alpha$, 那么$\beta$.

下面我们仔细的分析它的结构和逻辑关系．

命题“若$\alpha$, 则$\beta$”是否正确，就要看$\alpha$、$\beta$之间是否具有推出关系$\alpha\Rightarrow\beta$了．也就是说，如果$\alpha$、$\beta$之间具有$\alpha\Rightarrow\beta$的关系，则“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题（即正确的命题），由此可见“$\alpha\Rightarrow\beta$”与“若$\alpha$, 则$\beta$”是真命题是同一关系的两种不同说法．

在命题“若$\alpha$, 则$\beta$”中，我们把$\alpha$叫做命题的**条件**，$\beta$叫做命题的**结论**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$作为条件，$\alpha$作为结论，就得到另一个命题：若$\beta$, 则$\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**逆命题**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\alpha$的反性质：非$\alpha$, $\beta$的反性质：非$\beta$, 分别作为条件和结论，又得到一个新命题：若$\bar\alpha$, 则$\bar\beta$, 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**否命题**．

把“若$\alpha$, 则$\beta$”中的$\beta$的反性质：非$\beta$, $\alpha$的反性质：非$\alpha$, 分别作为条件和结论，又可得到一个新命题：若$\bar\beta$, 则$\bar\alpha$. 这个命题叫做“若$\alpha$, 则$\beta$”的**逆否命题**．

若“$\alpha$, 则$\beta$”则叫做上述逆命题，否命题、逆否命题的**原命题**．

这就是说，逆命题，否命题，逆否命题都是对原命题而说的，在四种命题中任何一个命题都可作为原命题．如：
 
  原命题  若$\bar\alpha$，则$\bar\beta$
 逆命题  若$\bar\beta$，则$\alpha$
 否命题  若$\alpha$，则$\beta$（$\bar\alpha$的非是$\alpha$，   $\bar\beta$的非是$\beta$）
 逆否命题  若$\beta$，则$\alpha$

我们把上述四种命题之间的关系，列成下图：
  ![图片](/uploads/2024-04/4ecf8a.jpg)

## 全称量词

“对任意的”单词在逻辑中被称为全称量词，记作 $\forall$ ，含有全称量词的命题叫做全称命题。

对于 $M$ 中的任意 $x$ ，都有 $p(x)$ 成立，记作 $\forall x \in M, p(x)$ 。
读作: 对于属于 $M$ 里的任意 $x$ ，都有使 $p(x)$ 成立。

## 存在量词

$M$ 中至少存在一个 $x$ ，使 $p(x)$ 成立，记作 $\exists x \in M, p(x)$ 。
读作: 存在一个 $x$ 属于 $M$ ，使 $p(x)$ 成立。

**逆否命题**
1、对于含有一个量词的全称命题 $q: \forall x \in M, p(x)$ 的否定记做 $\neg q$ 是: $\exists x \in M, \neg p(x)$ 。

`例`写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有苹果都是红色；
（2）$\forall x>5, x>3$ ；
（3）$\forall P : OP =r(r>0), P$ 在半径为 $r$ 的圆 O 上。
解析：（1）该句作出判断的命题是＂都是＂，先将＂所有苹果＂改为＂

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