最后更新: 2025-02-13 17:47 查看: 699 次反馈同步训练

集合的交集、并集和补集

## 交集

设 $A, B$ 是两个集合，由所有属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的交集 (intersection)，记作 $A \cap B$ $A \cap B=\{x \mid x \in A$   且  $x \in B\}$ ，如下图阴影部分。

![](/uploads/2022-10/b4635e.jpg)

(1) 若两个集合 $A$ 和 $B$ 的交集为空，则说他们没有公共元素，写作: $A \cap B=\emptyset$ 。例如集合 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$ 不相交，写作 $\{1,2\} \cap\{3,4\}=\emptyset$ 。
(2)任何集合与空集的交集都是空集，即 $A \cap \emptyset=\emptyset$ 。
(3)更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 $A 、 B 、 C、 D$ 和的交集为 $A \cap B \cap C \cap D=A \cap[B \cap(C \cap D)]$ 。交集运算满足结合律，即 $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$ 。
在不混淆歧义的情况下， $A \cap B$ 也常写成 $A B$
交集的性质:

$$
\begin{aligned}
& A \cap B \subseteq A \\
& A \cap B \subseteq B \\
& A \cap A=A \\
& A \cap \emptyset=\emptyset \\
& A \cap B=B \cap A
\end{aligned}
$$

## 并集

给定两个集合 $A ， B$ ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$ ，读作 $\mathrm{A}$ 并 $\mathrm{B}$ 。
$A \cup B=\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ 。如下图

![](/uploads/2022-10/df39ba.jpg)
(1)任何集合与空集的并集都是其本身，即 $A \cup \emptyset=A$ 。
在不混淆的语义的情况下，有时候也写成 $A+B$

并集的性质

$$
\begin{aligned}
& A \cup B \supseteq A \\
& A \cup B \supseteq B \\
& A \cup A=A \\
& A \cup \emptyset=A \\
& A \cup B=B \cup A
\end{aligned}
$$

若 $A \cap B=A$ ，则 $A \in B$ ，反之也成立；
若 $A \cup B=B$ ，则 $A \in B$ ，反之也成立
若 $x \in(A \cap B)$ 则 $x \in A$ 且 $x \in B$
若 $x \in(A \cup B)$ ，则 $x \in A$ ，或 $x \in B$ 。

## 补集

补集一般指绝对补集，即一般地，设 $S$ 是一个集合， $A$ 是 $S$ 的一个子集，由 $S$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合，叫做子集 $A$ 在 $S$ 中的绝对补集。在集合论和数学的其他 分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。
相对补集
若 $A$ 和 $B$ 是集合，则 $A$ 在 $B$ 中的相对补集是这样一个集合: 其元素属于 $B$ 但不属于 $A$ ，
$B-A=\{x \mid x \in B$ H $x \notin A\}$ 如下图
![](/uploads/2022-10/d42c2f.jpg)

在不引起歧义的情况下， $A, B$ 的补集也可以写成 $A-B$

绝对补集
若给定全集 $U$ ，有 $A \subseteq U$ ，则 $A$ 在 $

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