最后更新: 2025-02-13 17:47 查看: 483 次反馈刷题

集合的交集、并集和补集

## 交集

设 $A, B$ 是两个集合，由所有属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的交集 (intersection)，记作 $A \cap B$ $A \cap B=\{x \mid x \in A$   且  $x \in B\}$ ，如下图阴影部分。

![](/uploads/2022-10/b4635e.jpg)

(1) 若两个集合 $A$ 和 $B$ 的交集为空，则说他们没有公共元素，写作: $A \cap B=\emptyset$ 。例如集合 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$ 不相交，写作 $\{1,2\} \cap\{3,4\}=\emptyset$ 。
(2)任何集合与空集的交集都是空集，即 $A \cap \emptyset=\emptyset$ 。
(3)更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 $A 、 B 、 C、 D$ 和的交集为 $A \cap B \cap C \cap D=A \cap[B \cap(C \cap D)]$ 。交集运算满足结合律，即 $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$ 。
在不混淆歧义的情况下， $A \cap B$ 也常写成 $A B$
交集的性质:

$$
\begin{aligned}
& A \cap B \subseteq A \\
& A \cap B \subseteq B \\
& A \cap A=A \\
& A \cap \emptyset=\emptyset \\
& A \cap B=B \cap A
\end{aligned}
$$

## 并集

给定两个集合 $A ， B$ ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$ ，读作 $\mathrm{A}$ 并 $\mathrm{B}$ 。
$A \cup B=\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ 。如下图

![](/uploads/2022-10/df39ba.jpg)
(1)任何集合与空集的并集都是其本身，即 $A \cup \emptyset=A$ 。
在不混淆的语义的情况下，有时候也写成 $A+B$

并集的性质

$$
\begin{aligned}
& A \cup B \supseteq A \\
& A \cup B \supseteq B \\
& A \cup A=A \\
& A \cup \emptyset=A \\
& A \cup B=B \cup A
\end{aligned}
$$

若 $A \cap B=A$ ，则 $A \in B$ ，反之也成立；
若 $A \cup B=B$ ，则 $A \in B$ ，反之也成立
若 $x \in(A \cap B)$ 则 $x \in A$ 且 $x \in B$
若 $x \in(A \cup B)$ ，则 $x \in A$ ，或 $x \in B$ 。

## 补集

补集一般指绝对补集，即一般地，设 $S$ 是一个集合， $A$ 是 $S$ 的一个子集，由 $S$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合，叫做子集 $A$ 在 $S$ 中的绝对补集。在集合论和数学的其他 分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。
相对补集
若 $A$ 和 $B$ 是集合，则 $A$ 在 $B$ 中的相对补集是这样一个集合: 其元素属于 $B$ 但不属于 $A$ ，
$B-A=\{x \mid x \in B$ H $x \notin A\}$ 如下图
![](/uploads/2022-10/d42c2f.jpg)

在不引起歧义的情况下， $A, B$ 的补集也可以写成 $A-B$

绝对补集
若给定全集 $U$ ，有 $A \subseteq U$ ，则 $A$ 在 $U$ 中的相对补集称为 $A$ 的绝对补集（或简称补集），写 作 $C_U \mathrm{~A}$ 补集符号 $C_U A$ 有三层含义:
(1) $A$ 是 $U$ 的一个子集，即 $A \subseteq U$
(2) $C \cup A$ 表示一个集合，且 $C_u A \subseteq U$ ；
(3) $C_U A$ 是由 $U$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合， $C_U A$ 与 $A$ 没有公共元素， $U$ 中的元素分布在这两个集合中。
![](/uploads/2022-10/00ee6c.jpg)

$$
\begin{aligned}
& A \cap C_u A=\varnothing \\
& A \cup C_u A=U
\end{aligned}
$$

## 集合的逆

如果 $A \cup B=S$ 且 $A \cap B=\phi$, 则 $\bar{A}=S-A$
集合的性质
交换律: $A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$
结合律: $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C$
$A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$
分配率: $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$
$A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$
德摩根律 $\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$
$ \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B} $

`例`设全集 $U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{-3,0,2,3\}$, 则 $A \cap\left(C_V B\right)=$
A. $\{-3,3\}$
B. $\{0,2\}$
C. $\{-1,1\}$
D. $\{-3,-2,-1,1,3\}$
【答案】C
【解析】由题意结合补集的定义可知 $\complement_V B=\{-2,-1,1\}$, 则 $A \cap\left(\complement_U B\right)=\{-1,1\}$.故选 C.

`例`设集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 \leq 0\right\}, B=\{x \mid 2 x+a \leq 0\}$, 且 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 则 $a=$
A. $-4$
B. $-2$
C. 2
D. 4
【答案】B
求解二次不等式 $x^2-4 \leq 0$ 可得 $A=\{x \mid-2 \leq x \leq 2\}$,
求解一次不等式 $2 x+a \leq 0$ 可得
$B=\left\{x \mid x \leq-\frac{a}{2}\right\}$.
由于 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 故 $-\frac{a}{2}=1$,
解得 $a=-2$. 故选 B.

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