最后更新: 2025-04-14 18:42 查看: 515 次反馈刷题

集合的子集与补集

## 属于关系

一个元素 $a$ 如果在集合 $S$ 中，记作 $a \in S$ ，如果不在集合 $S$ 中记作 $a \notin S$ 或 $a \bar{\in} S$.
包含关系

对两个集合 $S$ 和 $T$ ，如果 $\forall x \in S, x \in T$ ，我们就说集合 $S$ 含于 $T$ ，或 $T$ 包含 $S$ ，记作 $S \subseteq T$ 或 $T \supseteq S$ ，同时 我们称 $S$ 是 $T$ 的**子集**（subset）；

如果 $S \subseteq T, T \subseteq S$ ，我们就说这两个集合相等，记作 $S=T$ ，反之称作不相 等，记作 $S \neq T$ ，相等的集合具有相同的元素。
如果 $S \subseteq T$ 但 $S \neq T$ ，我们说 $T$ 真包含 $S$ ，记作 $S \subset T, T \supset S$ ，或 $S \varsubsetneqq T, T \supsetneqq S$ ，同时我们称 $S$ 是 $T$ 的**真子集** (proper subset)。
如果一个集合中没有任何元素，就是该集合是一个**空集**（empty set），记作 $\varnothing, \emptyset$. 空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集。

### 补集
如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合 $U$ 的元素和子集，就可以约定把集合 $U$ 叫作全集（或基本集）。

若 $A$ 是全集 $U$ 的子集，$U$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的子集叫作 $A$ 的补集，记作 $\complement_U A$ ，即

$$
\complement_U A=\{x \mid x \in U \text {, 且 } x \notin A\} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2025-02/8db614.jpg)
 
其韦恩图表示如图1．1－3所示。当 $U$ 可以从上下文确知时 $A$ 的补集也可以记作 $\bar{A}$ ．显然 $\complement_U\left(\complement_U A\right)=A$ 。一般地，不论 $A$ 是否是 $B$ 的子集，都可用 $B \backslash A$ 表示 $B$ 中不属于 $A$ 的元素组成的子集．

**幂关系**
由集合 $S$ 的所有子集 (含空集) 所构成的集合，叫作 $S$ 的幂集 (power set)，记作 $2^S$ ，如 $S=\{0,1,2\}$ 的幂集是
$ 2^S=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} $

一个元素个数 $n$ 有限的集合，它的幕集的元素也是有限的，且为 $2^n$ 个。无限集合的幕集元素个数也是无限。

## 集合的运算
以下设选定一个全集 $\Omega$ ，且考虑的所有元素都属于这个全集。

1. 并集: $A \cup B=\{x \in \Omega \mid x \in A$, or $x \in B\}$;
2. 交集: $A \cap B=\{x \in \Omega \mid x \in A$, and $x \in B\}$;
3. 差集: $A \backslash B=A-B=\{x \in \Omega \mid x \in A$, and $x \notin B\}$;
4. 补集 (余集) : $\complement_{\Omega} A=\Omega-A=\{x \mid x \in \Omega$, and $x \notin A\}$;
5. 对称差: $A \Delta B=(A-B) \cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)$.
   作差集运算时不必要求 $B$ 含于 $A$.
   运算律 $\theta$
6. 幕等律: $A \cap A=A \cup A=A$;
7. 交换律: $A \cap B=B \cap A, A \cup B=B \cup A$;
8. 结合律: $(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C),(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$;
9. 分配律: $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C), A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$;
10. 吸收律: $A \cap(A \cup B)=A \cup(A \cap B)=A$;
11. 模律: 若 $A \subseteq B$ ，则 $A \cup(B \cap C)=(A \cup C) \cap B$;
12. 得摩根律: $\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}, \quad \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$;
13. 双余性: $\overline{(\bar{A})}=A$.
   不难将它们推广到有限个集合的运算场合去。在格论中，满足上面这些性质的格在同构的意义下只有集合满足。

`例`设 $U=\{x \in Z \mid x \in(0,12)\}, A=\{2 x \mid 0<2 x<12, x \in N \}, B=\{3 x \mid 3 x \in$ $[1,11], x \in Z \}$ ，求 $\complement_U A$ 和 $\complement_U B$ ．

解 由条件可知 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ ，

$$
A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{3,6,9\},
$$

因此 $\complement_U A=\{1,3,5,7,9,11\}$ ，

$$
\complement_U B=\{1,2,4,5,7,8,10,11\} .
$$

## 集合中元素的个数
我们通常使用card表示元素的个数。

`例` 求下列集合中元素的个数：
（1） $A =\{1,2,3,4,5\}$ ；
（2） $B =\{x \in Z \mid-1<x<1\}$ ；
（3）$\varnothing$ 。
解析：（1）A 中有 5 个元素， $\operatorname{card}( A )=5$ ；
（2）$B$ 中的元素是介于 -1 和 1 之间的整数，可得 $B=\{0\}, \operatorname{card}(B)=1$ ；
（3）空集中没有元素， $\operatorname{card}(\varnothing)=0$ 。
两个集合以及它们的并集，交集中元素的个数满足下面的数量关系：

$$
\operatorname{card}(A \cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A \cap B)
$$

即：$A \cup B$ 中的元素个数，等于 $A$ 中的元素个数加上 $B$ 中的元素个数，再减去 $A \cap B$ 中的元素个数。
其原理为：将 A 与 B 中的元素分为三类：
（1）只属于 A ，不属于 B ，设数量为 $p$ ；
（2）只属于 B ，不属于 A ，设数量为 $q$ ；
（3）既属于 A ，又属于 B ，设数量为 $r$ 。
按照上述分类可得： $\operatorname{card}( A )=p+r, \quad \operatorname{card}(B)=q+r, \quad \operatorname{card}(A \cap B )=r$ ， $\operatorname{card}( A \cup B )=p+q+r$ ，由此可得：

$$
\operatorname{card}(A \cup B)=p+q+r=(p+r)+(q+r)-r=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A \cap B)
$$
按照相同的思路，可以推出三个集合 $A , B , C$ 中的元素个数满足关系：

$$
\begin{aligned}
\operatorname{card}(A \cup B \cup C)= & \operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)+\operatorname{card}(C) \\
& -\operatorname{card}(A \cap B)-\operatorname{card}(B \cap C)-\operatorname{card}(C \cap A) \\
& +\operatorname{card}(A \cap B \cap C)
\end{aligned}
$$

## 集合的子集的个数
如果集合 A 中有 $n$ 个元素，那么它的子集共有 $2^n$ 个（包括 $\varnothing$ 和 A 自身），推导如下：

当 A 中有一个元素时，设 $A =\left\{a_1\right\}$ ，有 $2^1$ 个子集：
 ![图片](/uploads/2025-04/87503a.jpg)
 
 当 A 中有两个元素时，设 $A =\left\{a_1, a_2\right\}$ ，有 $2^2$ 个子集：
  ![图片](/uploads/2025-04/d7e95e.jpg)
  
  当 A 中有三个元素时，设 $A =\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ ，有 $2^3$ 个子集，如下表所示：
   ![图片](/uploads/2025-04/1c0279.jpg)
  
  根据上述事实可以总结得到规律：对于有 $p$ 个元素的集合 $A _p$ ，可以用下面的方法构造出它的所有子集：对 $A _p$ 中的每个元素，逐个进行二选一的判定：含或不含，分别构成两个不同的子集，对所有 $n$ 个元素逐个判定，共构成 $2^n$ 个不同的子集。

集合的子集的个数也可以用另一种思路解释：设集合 $A _p$ 中有 $p$ 个元素，有 $n_p$ 个子集，如果给 $A _p$ 新增加一个元素 $a_{p+1}$ 构成新的集合 $A _{p+1}$ ，那么：
（1） $A _p$ 的每个子集都是 $A _{p+1}$ 的子集，共 $n_p$ 个；
（2） $A _p$ 的每个子集增加 $a_{p+1}$ 后形成的新集合也都是 $A _{p+1}$ 的子集，共 $n_p$ 个；
综上， $A _{p+1}$ 有 $2 n_p$ 个子集。即：集合中的元素每增加一个，子集的数量就增加一倍，而只有一个元素的集合有两个子集，由此出发可以计算得到：有 $n$ 个元素的集合共有 $2^n$ 个子集。

刷题

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