最后更新: 2026-04-27 08:10 查看: 585 次纠错评论(0) 课件开VIP

两个多项式的公根与多项式的重根

公根和重根的问题, 也是多项式理论中的基本问题, 特别是多项式的重根问题，在下一节实根的讨论与计算中将起重要作用。

##  两多项式的公根
设多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 都有一个根 $\alpha$, 即 $f(\alpha)=0, g(\alpha)=0$, 则 $\alpha$ 就叫做多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公根。

由因式定理可以知道, 多项式 $f(x)$ 有一个根 $\alpha$ 的充要条件是 $f(x)$ 含有一次因式 $x-\alpha$ 。

因此，对于两个多项式 $f(x), g(x)$ 的公根 $\alpha$ ，就有以下定理：

> **定理1 两多项式 $f(x), g(x)$ 有一个公根的必要充分条件是这两个多项式必有一个一次公因式**.

证明：必要性．设 $f(x), g(x)$ 有一个公根 $\alpha$ ，则由因式定理得

$$
f(x)=(x-\alpha) \cdot f_1(x), \quad g(x)=(x-\alpha) \cdot g(x)
$$

显然，$f(x), g(x)$ 有一次公因式 $x-\alpha$ ．
充分性．设 $f(x), g(x)$ 有一公因式 $x-\alpha$ ，则有

$$
f(x)=(x-\alpha) \cdot f_1(x), \quad g(x)=(x-\alpha) \cdot g_1(x)
$$

显然就有 $f(\alpha)=0, g(\alpha)=0$ ．所以，$\alpha$ 就是 $f(x), g(x)$ 的一个公根．
又由于两个多项式的公因式都是它们的最高公因式的因式，因此，两多项式的公根必定都是它们的最高公因式的根．反之，两多项式的最高公因式的根也必定是这两个多项式的公根。

这样一来，要求两个多项式的公根，只要先求出它们的最高公因式，再求这一公因式的根就可以了．

`例`求 $f(x)=2 x^3+x^2-5 x-3$ 与 $g(x)=2 x^3-5 x^2 x+3$ 的公根.
解: 先用辗转相除法求得 $(f(x), g(x))=x^2-x-1$ 这一多项式的根为 $a=$ $1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. 所以 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公根为

$$
x_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}, \quad x_2=1-\frac{\sqrt{5}}{2}
$$

如果能通过确定每个多项式有理根的范围首先将多项式进行因式分解，那么也一样可以求得两多项式的公根, 这样也就省去辗转相除求最高公因式的繁杂计算了。

还可以先求出一个多项式的根, 再去逐个代人另一多项式进行检验, 凡能使第二个多项式的值为 0 的，就是公根；否则就不是。

`例`试求 $f(x)=a x^2+b x+c$ 与 $g(x)=x^2-1$ 有一个公根的必要条件.
解: 因为 $g(x)=x^2-1=(x+1)(x-1)$, 所以 $g(x)$ 有两个根 $1,-1$, 因此, $f(x)$与 $g(x)$ 有一个公根只可能是 1 或 -1 .

若公根为 1 , 则 $a+b+c=0$; 若公根为 -1 , 则 $a-b+c=0$. 所以 $f(x)$与 $g(x)$ 有一个公根的必要条件是

$$
a+b+c=0 \quad \text { 或 } a-b+c=0
$$

##  多项式的重根
对于多项式 $f(x)$, 如果有 $f(x)=(x-\alpha)^m \cdot q(x)$, 且 $q(\alpha) \neq 0,(m>1 \in Z )$.那么, 我们就说 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重根.

重根的判定和排除, 是计算多项式的实数根时很注重的问题. 在此, 我们给出以下定理。

> **定理2 如果 $\alpha$ 是多项式 $f(x)$ 的 $m$ 重根 $(m>1)$ ，那么 $\alpha$ 必定是 $f^{\prime}(x)$ 的 $m-1$ 重根**。

证明：由定理条件知 $f(x)=(x-\alpha)^m \cdot q(x)$ 且 $q(\alpha) \neq 0$, 又由多项式乘积的求导数公式，得

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =m(x-\alpha)^{m-1} \cdot q(x)+(x-\alpha)^m \cdot q^{\prime}(x) \\
& =(x-\alpha)^{m-1} \cdot\left[m q(x)+(x-\alpha) q^{\prime}(x)\right]
\end{aligned}
$$

其中由于 $q(\alpha) \neq 0, m>1$, 因而 $m \cdot q(\alpha) \neq 0$, 所以 $\alpha$ 就是 $f^{\prime}(x)$ 的 $m-1$ 重根。

> **定理3 $\alpha$ 是多项式 $f(x)$ 的二重根的必要充分条件是 $\alpha$ 为 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的公根，且 $f^{\prime \prime}(\alpha) \neq 0$** 。

证明：必要性：由泰勒公式，得

$$
f(x)=f(\alpha)+\frac{f^{\prime}(\alpha)}{1!}(x-\alpha)+\frac{f^{\prime \prime}(\alpha)}{2!}(x-\alpha)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(x-\alpha)^n
$$

由于 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的二重根，根据因式定理，得

$$
(x-\alpha)^2 \mid f(x)
$$

因而有: $f(\alpha)+\frac{f^{\prime}(\alpha)}{1!}(x-\alpha)=0$.
所以, $f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)=0$, 且 $f^{\prime \prime}(\alpha) \neq 0, \alpha$ 是 $f(x), f^{\prime}(x)$ 的公根, 对任意 $x$ 都成立。

充分性：由 $f(x), f^{\prime}(x)$ 有公根 $\alpha$, 且 $f^{\prime \prime}(\alpha) \neq 0$, 则 $f(\alpha)=0, f^{\prime}(\alpha)=0$.再从泰勒公式 (4.12) 不难得出

$$
(x-\alpha)^2 \mid f(x)
$$

所以, $\alpha$ 是 $f(x)$ 的二重根.
定理 3 完全可以类似地推广到 m 重根的情形，得到下述定理：

> **定理4 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重根的必要充分条件是 $\alpha$ 是 $f(x), f^{\prime}(x), \ldots, f^{(m-1)}(x)$的公根，且 $f^{(m)}(\alpha) \neq 0$** 。

如果再结合定理1、2的内容，我们就可以得出：要判定 $f(x)$ 有没有重根，只要看 $f^{\prime}(x), f(x)$ 的最高公因式就可以了, 若最高公因式含有因式 $(x-\alpha)^{m-1}$,则可以断定 $f(x)$ 有 $m$ 重根 $\alpha$, 同时还可以断定 $f^{\prime}(x)$ 有 $m-1$ 重根 $\alpha, f^{\prime \prime}(x)$有 $m-2$ 重根 $\alpha, \ldots$

`例`试求 $f(x)=x^5-3 x^4+2 x^3+2 x^2-3 x+1$ 的重根.
解: 先求出导数 $f^{\prime}(x)=5 x^4-12 x^3+6 x^2+4 x-3$, 再用辗转相除法求出

$$
\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=x^3-3 x^2+3 x-1=(x-1)^3
$$

所以,

$$
(x-1)^3|f(x), \quad(x-1)| f^{\prime}(x)
$$

即 $x=1$ 是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的公根. 因此, $f(x)$ 有重根 1 (而且是 $f(x)$ 的 4 重根， $f^{\prime}(x)$ 的 3 重根）。

`例` 求证方程 $x^4+2 x^3-15 x^2+4 x+20=0$ 有二重根, 并求出这个方程的根。

解: 设 $f(x)=x^4+2 x^3-15 x^2+4 x+20, f^{\prime}(x)=4 x^3+6 x^2-30 x+4$, 由辗转相除法可求出 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=x-2$, 这是一次式. 所以, $f(x)$ 有二重根 2 ,也就是原方程有二重根 2 , 再用因式定理, 得:

$$
f(x)=(x-2)^2\left(x^2+6 x+5\right)=(x-2)^2(x+1)(x+5)
$$

因此, 原方程可变形为

$$
(x-2)^2(x+1)(x+5)=0
$$

所以原方程的各根为: $2,2,-1,-5$.

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：多项式根的研究★★★★★

下一篇：实系数多项式的实数根-中间值定理与二分法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)