最后更新: 2026-04-27 08:40 查看: 543 次纠错评论(0) 课件开VIP

实系数多项式的实数根-中间值定理与二分法

对于实系数多项式

$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, \quad\left(a_n \neq 0\right)
$$

的根的讨论, 要困难和复杂得多, 因为多项式的根除了有理根之外, 更多的是存在无理数根，而且五次以上的多项式，求根公式根本没有. 因此，如何求出这些多项式的实根（如果存在的话）？特别是如何求出这些多项式的无理根的近似值？就成为我们急需讨论的内容了。

## 计算实根近似值的基本思想
求实系数多项式的实根的近似值, 主要采用逼近法, 其理论根据就是今后要详细学习的中间值定理，我们现在叙述和解释如下：

> **定理1（中间值定理）$f(x)$ 是一个实系数的多项式, $a<b$. 若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反, 则一定存在一实数 $c, a<c<b$ 使 $f(c)=0$** 。

我们从图象上来解释中间值定理. 如图 4.1, 由于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反,所以点 $(a, f(a))$ 及点 $(b, f(b))$ 分别在 $x$ 轴的两侧, 而曲线 $y=f(x)$ 是连续的. 因此它从 $x$ 轴的一侧运动到 $x$ 轴的另一侧, 至少要 "穿过" $x$ 轴一次. 若在 $(c, 0)$ 点穿过, 就有 $f(c)=0$.
 ![图片](/uploads/2024-11/c05cc5.jpg)
 这样的解释尽管是直观形象的, 但还不能算是严格证明. 因为：什么叫连续？为什么多项式函数在 $(-\infty,+\infty)$ 是连续的？这些问题还没有确切的交待过. 而且对于一般连续函数的这一中间值定理，我们也不满足于仅仅是几何解释. 不过我们目前只是直观承认这一条定理的内容并初步应用它. 以后在微积分学习中再详细证明。

`例` 判断多项式 $f(x)=x^3-3 x+1$ 的实根介于哪些连续整数之间?
解: 显然, 当 $x \leq-3$ 时, $f(x)<0$, 且有:

$$
f(-2)=-1, \quad f(-1)=+8, \quad f(0)=+1, \quad f(1)-1, \quad f(2)=+3
$$

$x>3$ 时, $f(x)>0$.
所以 $f(x)$ 在 $(-2,-1),(0,1)$ 及 $(1,2)$ 各有一实根.

上例说明了中间定理的作用，但并没有告诉我们多项式实根如何定位的基本方法. 因为尽管在这一题中, $f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)$ 求出后, 实根的位置是显然的，但是怎样想到用 $-2,-1,0,1,2$ 的函数值作为试探的目标呢? 万一 $f(x)$ 的根是一个很大的数, 例如 $10^6$ 左右的数时, 岂不要试上 $10^6$ 个函数值？万一 $f(x)$ 只有一个实数根，再找另两个根时不仅徒劳，而且不知到什么时候才能明确另两个不是实根. 何况还可能有一些多项式根本没有实根.

这样看来, 要寻求求多项式实根近似值的更完善的途径, 必须解决以下三个问题:
**1. 确定根的界限——求出一个区间, 使多项式的实根在这一范围内;
2. 根的分离定位——判定多项式的实根的个数, 并使每个实根只包含在一个小区间内；
3. 根的计算一一求出每一实根的近似值**

本节将系统解决这些问题, 在着手解决这些问题之前, 我们首先要明确逼近法的基本思想, 即如何计算出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 中的一个实根的近似值? 使它能达到指定的精确度？

`例`求 $f(2)=x^3-3 x+1$ 在 $(1,2)$ 中的实根的近似值. (要求误差不超过 0.001 ）

解：由中间值定理可知，在 $(1,2)$ 中 $f(x)$ 有一个实根，设为 $\alpha$ ，为了求出要求精度范围内的近似值，可以把区间 $(1,2)$ 十等分，将分点 $1.1,1.2, \ldots, 1.8,1.9$分别代入 $f(x)$, 由于 $f(1.5)=-0.125, f(1.6)=+0.296$, 所以这个根 $\alpha$ 在 $(1.5,1.6)$ 中, 即 $\alpha$ 精确到 0.1 的不足近似值为 1.5 .

再把区间 $(1.5,1.6)$ 十等分, 将分点 $1.51,1.52, \ldots, 1.58,1.59$ 分别代人 $f(x)$ ，因为 $f(1.53)=-0.008423, f(1.54)=+0.03226$ ，所以这个根 $\alpha$ 在 $(1.53,1.54)$ 中, 即 $\alpha$ 精确到 0.01 的不足近似值为 1.53 .

继续将 $(1.53,1.54)$ 十等分, 计算各分点的多项式的值, 因为 $f(1.532)=$ $-0.00010, f(1.533)=+0.00369$, 所以, 根 $\alpha$ 在 $(1.532,1.533)$ 中, 它的精确到 0.001 的不足近似值为 $\alpha \approx 1.532$.

如果继续这样做下去, 只要细心、不嫌繁, 就可以求出精确到任意水平的根的近似值。

例2 说明是逼近法的基本思想, 也是求实根的基本方法, 它的主要依据就是中间值定理. 但方法繁, 计算量大, 现在已有不少更先进的算法, 我们将在后边介绍一种改进了的方法.

## 二分法

中间值定理和二分法的关系非常紧密，可以说是“理论”与“实践”的关系。简单来说：

> **中间值定理：告诉你“根一定存在”,但没说怎么找（定性结论）**。
> **二分法：告诉你“如何把根找出来”（定量算法）**。

要使用二分法，必须满足：
1. 函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上**连续**。
2. 端点函数值异号：$ f(a) \cdot f(b) < 0 $。
3. 由**介值定理**可知，区间内至少存在一个根。

假设我们要求方程 $ f(x) = 0 $ 在区间 $[a, b]$ 内的根，精度要求为 $ \varepsilon $（例如 $ 10^{-6} $）。

**循环迭代直到区间长度 $ b - a < 2\varepsilon $：**

1. 计算中点 $ m = \frac{a + b}{2} $。
2. 计算 $ f(m) $。
3. 判断：
   - 若 $ |f(m)| < \varepsilon $（可选）或 $ b-a < 2\varepsilon $：停止，$ m $ 为近似根。
   - 若 $ f(a) \cdot f(m) < 0 $：说明根在左半区间 $[a, m]$，更新 $ b = m $。
   - 若 $ f(m) \cdot f(b) < 0 $：说明根在右半区间 $[m, b]$，更新 $ a = m $。
   - 若 $ f(m) = 0 $（恰好找到精确根）：直接返回 $ m $。

最终近似根为 $ m $，误差小于 $ \frac{b-a}{2} $。

**一个直观例子**
`例`数 $ f(x) = x^3 - x - 2 $，区间 $[1, 2]$。

- **中间值定理**：  
  因为 $ f(1) = -2 < 0 $，$ f(2) = 4 > 0 $，所以 **一定存在** 某个 $ c \in (1,2) $ 使 $ f(c)=0 $。  
  我们不晓得 $ c $ 的具体值，但确定它存在。

- **二分法**（左右端点是$[1,2]$,容差 $ \epsilon = 0.001 $）：  
  第1步：中点 1.5 ⇒ $ f(1.5)= -0.125 $ ⇒ 新区间 [1.5, 2]  
  第2步：中点 1.75 ⇒ $ f(1.75) \approx 1.609 $ ⇒ 新区间 [1.5, 1.75]  
  …反复迭代，最终得到近似根 ≈ 1.521 左右。
  
  
  `例`求 $ f(x) = x^2 - 2 $ 在区间 $[1, 2]$ 内的根（即 $\sqrt{2}$）。

| 迭代 | a | b | m | f(m) | 新区间 |
|------|---|---|---|------|--------|
| 1 | 1 | 2 | 1.5 | 0.25 > 0 | [1, 1.5] |
| 2 | 1 | 1.5 | 1.25 | –0.4375 < 0 | [1.25, 1.5] |
| 3 | 1.25 | 1.5 | 1.375 | –0.1094 < 0 | [1.375, 1.5] |
| 4 | 1.375 | 1.5 | 1.4375 | 0.0664 > 0 | [1.375, 1.4375] |
| 5 | 1.375 | 1.4375 | 1.40625 | –0.0225 < 0 | [1.40625, 1.4375] |
| … | … | … | … | … | … |

经过约 20 次迭代，得到 $ m \approx 1.4142136 $。

二分法的缺点下一节也会说明。

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