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初中数学
第十二章 *多项式理论
实系数多项式的实数根
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更新:
2024-11-03 15:57
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实系数多项式的实数根
对于实系数多项式 $$ f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, \quad\left(a_n \neq 0\right) $$ 的根的讨论, 要困难和复杂得多, 因为多项式的根除了有理根之外, 更多的是存在无理数根,而且五次以上的多项式,求根公式根本没有. 因此,如何求出这些多项式的实根(如果存在的话)?特别是如何求出这些多项式的无理根的近似值?就成为我们急需讨论的内容了。 一、计算实根近似值的基本思想 求实系数多项式的实根的近似值, 主要采用逼近法, 其理论根据就是今后要详细学习的中间值定理,我们现在叙述和解释如下: 定理1(中间值定理) $f(x)$ 是一个实系数的多项式, $a<b$. 若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反, 则一定存在一实数 $c, a<c<b$ 使 $f(c)=0$ 。 我们从图象上来解释中间值定理. 如图 4.1, 由于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反,所以点 $(a, f(a))$ 及点 $(b, f(b))$ 分别在 $x$ 轴的两侧, 而曲线 $y=f(x)$ 是连续的. 因此它从 $x$ 轴的一侧运动到 $x$ 轴的另一侧, 至少要 "穿过" $x$ 轴一次. 若在 $(c, 0)$ 点穿过, 就有 $f(c)=0$.  这样的解释尽管是直观形象的, 但还不能算是严格证明. 因为:什么叫连续?为什么多项式函数在 $(-\infty,+\infty)$
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