最后更新: 2024-11-03 15:59 查看: 227 次反馈刷题

实系数多项式实根的界和定位

我们已经知道, 根据中间值定理, 可以经过耐心细致的计算, 首先确定多项式实根的位置在哪些连续整数之间，其次再用逼近法去求每一个实根的近似值. 但是, 对某一些多项式, 如果我们一开始就用一个整数进行试算, 可能会

发生困难，一则难在应从哪一个整数试起呢？二则难在有些多项式用整数试算找不到实根存在的区间，中间值定理无能为力。

例4.16 试判定下列多式项的实根在哪两个连续整数之间?
1. $f(x)=x^4-6 x^2+10$
2. $g(x)=8 x^2-8 x+1$

解:
1. 由于 $f(x)=\left(x^2-3\right)^2+1$, 因此, 无论用那一个整数 $a$ 去试算, 恒有 $f(a)>0$ ，中间值定理无法判断.
实际上， $f(x)$ 确实没有实根.
2. 一方面当我们用一个个整数 $a$ 试算 $g(a)$ 的值时, 会发现总有 $g(a)>0$,好像可以断言 $g(x)$ 没有实根了; 但另一方面, 用求根公式可以求得 $g(x)$的两个根： $x=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$, 显然都是实根. 只不过这两个实根都在 $(0,1)$ 中间，其图象如图 4.2 所示.

这样看来, 尽管 $g(0)>0, g(1)>0$ 是同号的, 但在 $(0,1)$ 中不是没有实根，而是有两个实根。
 ![图片](/uploads/2024-11/68c581.jpg)
 这就提醒我们注意, 中间值定理所述的内容中 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反只是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 中有实根的充分条件, 但不是必要条件.

依据中间值定理，运用逼近法求多项式的实根时，由于会遇到以上困难，因而我们就不得不进一步来探求新的更有效的方法. 史笃姆方法就是彻底解决实根个数及定位的有效方法。

史笃姆方法只是对没有重根的多项式来说的, 因此可设多项式 $f(x)$ 没有重根。

又因为当多项式的首项系数 $a_n \neq 1$ 时，可用 $a_n$ 去除这个多项式的每一项，从而得到一个首项系数为 1 的实系数多项式，它的零点（实根）不发生变化. 因此，我们就可设 $f(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 是一个没有重根的实系数多项式.

## （一） $f(x)$ 的根界
可以证明, $f(x)$ 的每一个根的绝对值都不会大于 $f(x)$ 的各项系数绝对值的和. 因此, 我们可取

$$
M=1+\left|a_{n-1}\right|+\left|a_{n-2}\right|+\cdots+\left|a_1\right|+\left|a_0\right|
$$

作为 $f(x)$ 的根界. 即 $f(x)$ 的所有实根都在区间 $[-M, M]$ 中. 这里我们不加证明而引用这一结论。

例4.17 写出多项式 $\varphi(x)=x^3-10 x+2$ 的根界.
解: $\because \quad M=1+|-10|+2=13$
$\therefore \varphi(x)$ 的所有根都在区间 $[-13,13]$ 之内.
## （二）史笃姆函数序列
设没有重根的多项式 $f(x)$ 和它的导数 $f^{\prime}(x)$, 则有 $\operatorname{deg} f(x)=\operatorname{deg} f^{\prime}(x)+1$,把 $f^{\prime}(x)$ 记为 $f_1(x)$ ，并作带余除法，得

$$
f(x)=q_1(x) \cdot f_1(x)+r_1(x)
$$

其中 $r_1(x)=0$ 或 $r_1(x) \neq 0, \operatorname{deg} r_1(x)<\operatorname{deg} f_1(x)$ 。在这里只有 $f(x)$ 是一次多项式, 从而 $f_1(x)$ 是零次多项式时, 才能有 $r_1(x)=0$, 否则 $r_1(x)$ 不会等于零. 记 $f_2(x)=-r_1(x)$, (注意, 式中的一个负号十分重要).

又以 $f_2(x)$ 除 $f_1(x)$, 得 $f_1(x)=q_2(x) f_2(x)+r_2(x)$, 同样, 只有 $f_2(x)$ 是零次多项式时, 才有 $r_2(x)=0$, 否则 $r_2(x) \neq 0$, 记 $f_3(x)=-r_2(x)$. 如此继续

下来, 直到可以整除为止. 即得

$$
\begin{aligned}
f(x) & =q_1(x) f_1(x)-f_2(x) \\
f_1(x) & =q_2(x) f_2(x)-f_3(x) \\
f_2(x) & =q_3(x) f_3(x)-f_4(x) \\
\ldots & \cdots \cdots \cdots \\
f_{k-1}(x) & =q_k(x) f_k(x)-f_{k+1}(x) \\
\ldots & \cdots \cdots \cdots \\
f_{s-1}(x) & =q_s(x) f_s(x)
\end{aligned}
$$

容易看到, 这些计算实际上是对两个多项式 $f(x)$ 及 $f^{\prime}(x)$ 进行辗转相除,只不过每一次的余式改变一个符号而已。由于非零数因子不影响辗转相除的结果，所以最后能整除的除式 $f_s(x)$ 就是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的最高公因式。但是我们己给出 $f(x)$ 没有重根这样一个条件, 所以 $f_s(x)$ 只能是零次多项式, 因而可记为 $f_s$ 。

$$
f(x), f_1(x), f_2(x), \ldots, f_k(x), \ldots, f_s
$$

叫做多项式 $f(x)$ 的史管姆函数序列.

例 4.18 试求 $f(x)=x^3-10 x+2$ 的史笃姆函数序列.
解:

$$
f_1(x)=f^{\prime}(x)=3 x^2-10
$$

用 $f_1(x)$ 除 $f(x)$, 得:

$$
\begin{array}{r}
r_1(x)=-\frac{20}{3} x+2 \\
\therefore \quad f_2(x)=-r_1(x)=\frac{20}{3} x-2=\frac{20}{3}\left(x-\frac{3}{10}\right)
\end{array}
$$

用 $f_2(x)$ 除 $f_1(x)$, 得: $r_2(x)=-\frac{973}{100}$

$$
\therefore \quad f_3=\frac{973}{100}
$$

因此，所求的史笃姆函数序列为：

$$
x^3-10 x-2, \quad 3 x^2-10, \quad \frac{20}{3}\left(x-\frac{3}{10}\right), \quad \frac{973}{100}
$$

由于以下讨论史笃姆函数序列时, 只考虑 $x$ 取某一数值时, $f_k(x)$ 为零, 为正还是为负，所以在任一个史笃姆函数列中，乘以一个正常数（注意必须是正的）不影响讨论结果. 因此对于上述例题所得的史笃姆函数序列, 可以写成:

$$
\begin{aligned}
f(x) & =x^3-10 x+2 \\
f_1(x) & =3 x^2-10 \\
f_2(x) & =10 x-3 \\
f_3 & =1
\end{aligned}
$$

对讨论结果不会有影响.

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