最后更新: 2026-04-27 10:25 查看: 366 次纠错评论(0) 课件开VIP

实数多项式根的界定与斯图姆定理Sturm

我们已经知道, 根据中间值定理, 可以经过耐心细致的计算, 首先确定多项式实根的位置在哪些连续整数之间，其次再用逼近法去求每一个实根的近似值. 但是, 对某一些多项式, 如果我们一开始就用一个整数进行试算, 可能会

发生困难，一则难在应从哪一个整数试起呢？二则难在有些多项式用整数试算找不到实根存在的区间，中间值定理无能为力。

`例` 试判定下列多式项的实根在哪两个连续整数之间?
1. $f(x)=x^4-6 x^2+10$
2. $g(x)=8 x^2-8 x+1$

解:
1. 由于 $f(x)=\left(x^2-3\right)^2+1$, 因此, 无论用那一个整数 $a$ 去试算, 恒有 $f(a)>0$ ，中间值定理无法判断.
实际上， $f(x)$ 确实没有实根.
2. 一方面当我们用一个个整数 $a$ 试算 $g(a)$ 的值时, 会发现总有 $g(a)>0$,好像可以断言 $g(x)$ 没有实根了; 但另一方面, 用求根公式可以求得 $g(x)$的两个根： $x=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$, 显然都是实根. 只不过这两个实根都在 $(0,1)$ 中间，其图象如图 4.2 所示.

![图片](/uploads/2024-11/68c581.jpg){width=200px}
 
这样看来, 尽管 $g(0)>0, g(1)>0$ 是同号的, 但在 $(0,1)$ 中不是没有实根，而是有两个实根。

这就提醒我们注意, 中间值定理所述的内容中 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反只是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 中有实根的充分条件, 但不是必要条件.

依据中间值定理，运用逼近法求多项式的实根时，由于会遇到以上困难，因而我们就不得不进一步来探求新的更有效的方法. **斯图姆方法就是彻底解决实根个数及定位的有效方法**。

斯图姆方法只是对没有重根的多项式来说的, 因此可设多项式 $f(x)$ 没有重根。

又因为当多项式的首项系数 $a_n \neq 1$ 时，可用 $a_n$ 去除这个多项式的每一项，从而得到一个首项系数为 1 的实系数多项式，它的零点（实根）不发生变化. 因此，我们就可设 $f(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 是一个没有重根的实系数多项式.

## （一） $f(x)$ 的根界
可以证明, $f(x)$ 的每一个根的绝对值都不会大于 $f(x)$ 的各项系数绝对值的和.

证明：设首一多项式：
$$
f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0
$$
记系数绝对值之和：
$$
M=|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+\dots+|a_1|+|a_0|
$$
则 $f(x)$ 的**任意复根 $\boldsymbol{\xi}$** 满足：
$$
\boldsymbol{|\xi|\le M}
$$
 
  简要证明
设 $f(\xi)=0$，即
$$
\xi^n = -a_{n-1}\xi^{n-1}-\cdots-a_1\xi-a_0
$$
两边取模，用三角不等式：
$$
|\xi|^n 
\le |a_{n-1}|\,|\xi|^{n-1} + \cdots + |a_1|\,|\xi| + |a_0|
$$

反证：若 $|\xi|>M$
1. 当 $|\xi|>1$：
$$
\begin{aligned}
\text{右边}
&\le M\cdot |\xi|^{n-1}
<|\xi|\cdot |\xi|^{n-1}
=|\xi|^n
\end{aligned}
$$
与 $|\xi|^n\le\text{右边}$ 矛盾。

2. 若 $|\xi|\le 1$，天然有 $|\xi|\le M$。

故必有 $|\xi|\le M$。
证毕。

例子 $f(x)=x^2-3x+2$
系数绝对值和：$M=|-3|+|2|=5$
根：$x_1=1,\,x_2=2$，都满足 $|\xi|\le 5$。

因此, 我们可取

$$
M=1+\left|a_{n-1}\right|+\left|a_{n-2}\right|+\cdots+\left|a_1\right|+\left|a_0\right|
$$

作为 $f(x)$ 的根界. 即 $f(x)$ 的所有实根都在区间 $[-M, M]$ 中. 这里我们不加证明而引用这一结论。

`例` 写出多项式 $\varphi(x)=x^3-10 x+2$ 的根界.
解: $\because \quad M=1+|-10|+2=13$
$\therefore \varphi(x)$ 的所有根都在区间 $[-13,13]$ 之内.
## 斯图姆Sturm函数序列
设没有重根的多项式 $f(x)$ 和它的导数 $f^{\prime}(x)$, 则有 $\operatorname{deg} f(x)=\operatorname{deg} f^{\prime}(x)+1$,把 $f^{\prime}(x)$ 记为 $f_1(x)$ ，并作带余除法，得

$$
f(x)=q_1(x) \cdot f_1(x)+r_1(x)
$$

其中 $r_1(x)=0$ 或 $r_1(x) \neq 0, \operatorname{deg} r_1(x)<\operatorname{deg} f_1(x)$ 。在这里只有 $f(x)$ 是一次多项式, 从而 $f_1(x)$ 是零次多项式时, 才能有 $r_1(x)=0$, 否则 $r_1(x)$ 不会等于零. 记 $f_2(x)=-r_1(x)$, (**注意, 式中的一个负号十分重要**).

又以 $f_2(x)$ 除 $f_1(x)$, 得 $f_1(x)=q_2(x) f_2(x)+r_2(x)$, 同样, 只有 $f_2(x)$ 是零次多项式时, 才有 $r_2(x)=0$, 否则 $r_2(x) \neq 0$, 记 $f_3(x)=-r_2(x)$. 如此继续下来, 直到可以整除为止. 即得

$$
\begin{aligned}
f(x) & =q_1(x) f_1(x)-f_2(x) \\
f_1(x) & =q_2(x) f_2(x)-f_3(x) \\
f_2(x) & =q_3(x) f_3(x)-f_4(x) \\
\ldots & \cdots \cdots \cdots \\
f_{k-1}(x) & =q_k(x) f_k(x)-f_{k+1}(x) \\
\ldots & \cdots \cdots \cdots \\
f_{s-1}(x) & =q_s(x) f_s(x)
\end{aligned}
$$

容易看到, 这些计算实际上是对两个多项式 $f(x)$ 及 $f^{\prime}(x)$ 进行辗转相除,只不过每一次的余式改变一个符号而已。由于非零数因子不影响辗转相除的结果，所以最后能整除的除式 $f_s(x)$ 就是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的最高公因式。但是我们己给出 $f(x)$ 没有重根这样一个条件, 所以 $f_s(x)$ 只能是零次多项式, 因而可记为 $f_s$ 。

$$
f(x), f_1(x), f_2(x), \ldots, f_k(x), \ldots, f_s
$$

叫做多项式 $f(x)$ 的**斯图姆**.

`例` 试求 $f(x)=x^3-10 x+2$ 的斯图姆函数序列.
解:

$$
f_1(x)=f^{\prime}(x)=3 x^2-10
$$

用 $f_1(x)$ 除 $f(x)$, 得:

$$
\begin{array}{r}
r_1(x)=-\frac{20}{3} x+2 \\
\therefore \quad f_2(x)=-r_1(x)=\frac{20}{3} x-2=\frac{20}{3}\left(x-\frac{3}{10}\right)
\end{array}
$$

用 $f_2(x)$ 除 $f_1(x)$, 得: $r_2(x)=-\frac{973}{100}$

$$
\therefore \quad f_3=\frac{973}{100}
$$

因此，所求的斯图姆函数序列为：

$$
x^3-10 x-2, \quad 3 x^2-10, \quad \frac{20}{3}\left(x-\frac{3}{10}\right), \quad \frac{973}{100}
$$

由于以下讨论斯图姆函数序列时, 只考虑 $x$ 取某一数值时, $f_k(x)$ 为零, 为正还是为负，所以在任一个斯图姆函数列中，乘以一个正常数（注意必须是正的）不影响讨论结果. 因此对于上述例题所得的斯图姆函数序列, 可以写成:

$$
\begin{aligned}
f(x) & =x^3-10 x+2 \\
f_1(x) & =3 x^2-10 \\
f_2(x) & =10 x-3 \\
f_3 & =1
\end{aligned}
$$

对讨论结果不会有影响.

## 实数列的变号数
在斯图姆函数序列中, 以实数 $a$ 代 $x$, 得到一系列实常数:

$$
f(a), f_1(a), f_2(a), \ldots, f_k(a), \ldots, f_s
$$

这些数有正、有负，也可能有零. 丢开那些具体数字，只考查各项的符号，就成为一系列符号的排列，

如果在这个排列中，两个相邻的符号相反，我们就说这一排列有**一个变号**.整个排列中变号的总数，就叫做它的**变号数**.

例如

$$
+ + + − − + − − + − + − − +   ...(4.13)
$$

先把序列逐位列出来：
1: (+)
2: (+)
3: (+)
4: (-)
5: (-)
6: (+)
7: (-)
8: (-)
9: (+)
10: (-)
11: (+)
12: (-)
13: (-)
14: (+)

相邻两两对比，**符号不同即为一次变号**：

1→2：同号 ❌
2→3：同号 ❌
3→4：变号 ✅（1）
4→5：同号 ❌
5→6：变号 ✅（2）
6→7：变号 ✅（3）
7→8：同号 ❌
8→9：变号 ✅（4）
9→10：变号 ✅（5）
10→11：变号 ✅（6）
11→12：变号 ✅（7）
12→13：同号 ❌
13→14：变号 ✅（8）

---
✅ 总变号数：**8 次**

如果在实数列中含有零，那么，它的变号数就指去掉零以后，剩下的各数组成的数列的变号数. 例如

$$
+ + − 0 + + 0 + − + − − ...(4.14)
$$

的变号数，就是指

$$
+ + − + + + − + − − ...(4.15)
$$

的变号数，显然它们的变号数是 5 .
给出一个多项式的斯图姆函数序列以后，用实数 $a$ 代人，得实数列

$$
f(a), f_1(a), f_2(a), \ldots, f_k(a), \ldots, f_s
$$

我们把这一数列的变号的个数记为 $W(a)$.

##  斯图姆定理及其证明

> **定理 2 (斯图姆定理)如果用 $-M, M$ 代人没有重根的多项式 $f(x)$ 的斯图姆函数序列，所得实数列的变号数分别为 $W(-M)$ 与 $W(M)$, 那么, 多项式 $f(x)$ 在 $[-M, M]$内就有 $W(-M) \;- \; W(M)$ 个实根**。

`例`求多项式 $f(x)=x^3-10 x+2$ 的实根个数及各个根所在的位置.
解: 由例2 知 $f(a)$ 的根都在 $[-13,13]$ 之内, 又由例3 知 $f(x)$ 的斯图姆函数序列为

$$
f(x)=x^3-10 x+2, \quad f_1(x)=3 x^2-10, \quad f_2(x)=10 x-8, \quad f_3=1
$$

在根界 $[-13,+13]$ 内, 取点计算变号数, 变号的情况列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/efb621.jpg)
 
 从中根据斯图姆定理就可以断定, 多项式 $f(x)=x^3-10 x+2$ 共有 $W(-13)-$ $W(13)=8$ 个实根；同时还可以进一步得出，这三个实根分别在 $(-4,-3),(0,1)$ ， $(3,4)$ 三个区间之中.

以下我们分几个步骤来证明斯图姆定理。(以下供选学)
第一个问题：会不会出现类似以下的排列

$$
+ + + 0 + + −
$$

即中间有一个零, 而其左右同号, 如果有这种情况, 这个零就不能随便算作正的或负的了. 我们来证明这种情况不会产生, 即:

**斯图姆函数序列中以一个实常数代入，居中间出现一个零，则其左右必为一正一负，既不会出现相邻的两个零，也不会在零的左右出现两个同是正号或两个同是负号**。

证明: 若以 $a$ 代人 $f_k(x)$, 得 $f_k(a)$ 为零, 则 $(x-a) \mid f_k(x)$.
此时如果又有 $f_{k+1}(x)=0$, 即 $(x-a) \mid f_{k+1}(x)$, 则 $x-a$ 为 $f_k(x)$ 与 $f_{k+1}(x)$的公因式, 由此可知 $x-a$ 也是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的公因式, 因而 $a$ 是 $f(x)$ 的重根，这与假设矛盾. 所以 $f_{k+1}(a) \neq 0$ 。同理 $f_{k-1}(a) \neq 0$ 。

又因为

$$
f_{k-1}(x)=q_k(x) f_k(x)-f_{k+1}(x)
$$

所以

$$
f_{k-1}(a)=q_k(a) f_k(a)-f_{k+1}(a)
$$

现在 $f_k(a)=0$, 所以必然有

$$
f_{k-1}(a)=-f_{k+1}(x)
$$

如果在运算过程中, $f_{k-1}(x), f_{k+1}(x)$ 乘过不同的正常数, 可能使 $f_{k+1}(x)$ 与 $f_{k-1}(a)$ 的绝对值不等，但符号总是相反的。可见一个零的左右的两个符号必相反.

第二个问题：怎么会产生变号个数的变化？当 $x$ 经过某一个 $f_k(x)$ 的根而不是 $f(x)$ 的根时，变号的个数会不会有变化？

变号数的变化来源于各个符号的变化. 若 $x$ 由 $a$ 渐增到 $b$, 完全没有经过 $f(x)$ 及 $f_k(x)$ 的任一个根（如上例中 $x$ 由 -3 增加到 -2 ，或由 -1 增加到 0 ，或由 2 增加到 3），则所有的符号都没有变，因而变号个数也不会变.

关于 $x$ 通过 $f_k(x)$ 的某一个根, 但不是 $f(x)$ 的根的情况, 我们来证明:
**若 $x$ 通过 $f_k(x)$ 的某一个根, 但不是 $f(x)$ 的根时, 斯图姆函数序列的值只改变变号的位置，不改变变号的个数**。

如在上例 中: $x$ 从 -2 到 -1 通过 $f_1(x)$ 的根, 斯图姆函数序列的值的符号，就从

$$
+\quad+\quad-\quad+
$$

改变为 
$+--+$

变号的位置从第 2 到第 3 改变为从第 1 到第 2 ; 但变号的个数仍是 2 .证明: $f_k(x)$ 与 $f_{k+1}(x)$ 没有公共的根, 设 $\alpha$ 是 $f_k(x)$ 的一个根, 则 $f_{k-1}(\alpha) \neq 0$, $f_{k+1}(\alpha) \neq 0$ 。我们考虑 $x$ 从 $\alpha-\varepsilon$ 经过 $\alpha$ 变到 $\alpha+\varepsilon$ 的过程, $\varepsilon$ 取得如此之小, 以至 $f_{k-1}(x), f_{k+1}(x)$ 都没有一个根在 $(\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon)$ 内, 由中间值定理这总是可行的。
$f_k(\alpha)=0$, 已证明 $f_{k-1}(\alpha)$ 与 $f_{k-2}(\alpha)$ 异号, 因此可能有下列四种情况:
 ![图片](/uploads/2024-11/8f8cee.jpg)
 可以看到, 在任何一种情况下, 斯图姆函数序列只改变变号的位置, 不改变变号的个数。

第三个问题：至此产生变号个数起变化的其他可能都已排除，那就只有一个可能会改变变号个数： $x$ 经过 $f(x)$ 的根. 因此我们就问： $x$ 从小到大渐增地变化, 每经过 $f(x)$ 的一个根时, 变号的个数如何变化呢? 以下就解决并证明这一问题。

**$x$ 从小到大渐地增变化, 每通过 $f(x)$ 的一个根时, 斯图姆函数序列的值的变号就减少一个**.

证明：我们只在 $f(x)$ 的根 $\alpha$ 邻近的一个区域 $(\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon)$ 内考虑 $f(x)$ 及 $f_1(x)$ (即 $\left.f^{\prime}(x)\right)$ 的局部性质. 因为 $f(x)=0$, 则 $f^{\prime}(x) \neq 0$. 我们取足够小的 $\varepsilon$,使 $f^{\prime}(x)$ 在 $(\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon)$ 内符号不变: $f^{\prime}(x)>0$ 时, $f(x)$ 递增, 这说明 $f(x)$由负变正; 反之, $f^{\prime}(x)<0$ 时, $f(x)$ 递减, 说明 $f(x)$ 由正变负. 情况列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/16e33f.jpg)
 可见在任何情况下, x 从小做大每经过 $f(x)$ 的一个根, 斯图姆函数序列的值总是减少一个变号.

综合以上三条，斯图姆定理即获证。
我们在叙述求实多项式实根位置的斯图姆方法及证明斯图姆定理时都强调这样一个假设：实多项式 $f(x)$ 没有重根。对于这个条件的限制在应用上和理论上都会使我们感到不满足. 从应用上说，是否在使用斯图姆方法以前要验证 $f(x)$ 有没有重根? 从理论上说, 如果 $f(x)$ 有重根, 斯图姆定理会受到些什么损害？

我们来回答这两个问题.
第一, 从应用上说, 这个条件完全不会增加我们的计算量. 因为求斯图姆函数序列的过程实际是用辗转相除法求 $f(x)$ 及 $f^{\prime}(x)$ 的最高公因式过程. 如果 $f(x)$ 有重根, 在上述运算中必然会看出. 发现重根以后, 我们把有关因式除掉（这些因式为零时的值就是 $f(x)$ 的重根），再研究其没有重根部分的因式。这时, 多项式的次数至少降低二次, 对运算更有利.

第二，从理论上讲，如果有重根，斯图姆定理的结论同样正确，不过这时 $f_s(x)$ 是一个次数不小于 1 的多项式，不可以写成 $f_s^{\prime}$ 而计算根的个数的时候，重根 $\alpha$ 不论是多少重根，只作为 1 个根计数。即斯图姆函数序列的值在 $x$ 由小到大经过 $f(x)$ 的 $m$ 重根 $\alpha$ 时, 变号数不是减少 $m$ 个, 而是只减少 1 个.我们不另作详细证明, 只举以下一例说明.

`例`求多项式

$$
f(x)=x^5-x^4-2 x^3+2 x^2+x-1=(x-1)^3(x+1)^2
$$

的斯图姆函数序列中变号的变化情况.
解: 先求 $f(x)$ 的斯图姆序列及根界

$$
\begin{aligned}
& f_1(x)=5 x^4-4 x^3-6 x^2+4 x+1=(x-1)^2(x+1)(5 x+1) \\
& f_2(x)=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1) \\
& f_3(x)=0
\end{aligned}
$$

根界: $M=8, \quad \therefore \quad f(x)$ 的根在 $[-8,+8]$ 中. 变号情况列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/2de3cf.jpg)
 可知 $f(x)$ 在 $(-2,0)$ 有一个根. （实际是二重根 -1$)$; 在 $(0,2)$ 有一个根，（实际是三重根1）。

综上所述，我们可以看到斯图姆定理可以彻底地解决实系数多项式的实根的个数、定位等问题. 因而, 斯图姆定理也被称为实数范围内的代数基本定理.

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