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初中数学
第十二章 *多项式理论
实系数多项式实根的界和定位
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更新:
2024-11-03 15:59
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实系数多项式实根的界和定位
我们已经知道, 根据中间值定理, 可以经过耐心细致的计算, 首先确定多项式实根的位置在哪些连续整数之间,其次再用逼近法去求每一个实根的近似值. 但是, 对某一些多项式, 如果我们一开始就用一个整数进行试算, 可能会 发生困难,一则难在应从哪一个整数试起呢?二则难在有些多项式用整数试算找不到实根存在的区间,中间值定理无能为力。 例4.16 试判定下列多式项的实根在哪两个连续整数之间? 1. $f(x)=x^4-6 x^2+10$ 2. $g(x)=8 x^2-8 x+1$ 解: 1. 由于 $f(x)=\left(x^2-3\right)^2+1$, 因此, 无论用那一个整数 $a$ 去试算, 恒有 $f(a)>0$ ,中间值定理无法判断. 实际上, $f(x)$ 确实没有实根. 2. 一方面当我们用一个个整数 $a$ 试算 $g(a)$ 的值时, 会发现总有 $g(a)>0$,好像可以断言 $g(x)$ 没有实根了; 但另一方面, 用求根公式可以求得 $g(x)$的两个根: $x=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$, 显然都是实根. 只不过这两个实根都在 $(0,1)$ 中间,其图象如图 4.2 所示. 这样看来, 尽管 $g(0)>0, g(1)>0$ 是同号的, 但在 $(0,1)$ 中不是没有实根,而是有两个实根。  这就提醒我们注意, 中间值定理所述的内容中 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反只是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 中有实根的充分条件, 但不是必要条件. 依据中间值定理,运用逼近法求多项式的实根时,由于会遇到以上困难,因而我们就不得不进一步来探求新的更有效的方法. 史笃姆方法就是彻底解决实根个数及定位的有效方法。 史笃姆方法只是对没有重根的多项式来说的, 因此可设多项式 $f(x)$ 没有重根。 又因为当多项式的首项系数 $a_n \neq 1$ 时,可用 $a_n$ 去除这个多项式的每一项,从而得到一个首项系数为 1 的实系数多项式,它的零点(实根)不发生变化. 因此,我们就可设 $f(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdot
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