最后更新: 2024-11-03 16:02 查看: 101 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

实数列的变号数

在史笃姆函数序列中, 以实数 $a$ 代 $x$, 得到一系列实常数:

$$
f(a), f_1(a), f_2(a), \ldots, f_k(a), \ldots, f_s
$$

这些数有正、有负，也可能有零. 丢开那些具体数字，只考查各项的符号，就成为一系列符号的排列，例如

$$
+\quad+\quad-\quad+\quad+\quad-\quad+\quad+-\quad-+
$$

如果在这个排列中，两个相邻的符号相反，我们就说这一排列有一个变号.整个排列中变号的总数，就叫做它的变号数. (4.13) 的变号数是 6 .

如果在实数列中含有零，那么，它的变号数就指去掉零以后，剩下的各数组成的数列的变号数. 例如

$$
++-0+2+0+\infty--
$$

的变号数，就是指

$$
+\quad+\quad+\quad+\quad-\quad+\quad-
$$

的变号数，显然它们的变号数是 5 .
给出一个多项式的史笃姆函数序列以后，用实数 $a$ 代人，得实数列

$$
f(a), f_1(a), f_2(a), \ldots, f_k(a), \ldots, f_s
$$

我们把这一数列的变号的个数记为 $W(a)$.

## （四）史笃姆定理及其证明
定理 2 (史管姆定理)
如果用 $-M, M$ 代人没有重根的多项式 $f(x)$ 的史笃姆函数序列，所得实数列的变号数分别为 $W(-M)$ 与 $W(M)$, 那么, 多项式 $f(x)$ 在 $[-M, M]$内就有 $W(-M)-W(M)$ 个实根。

例 4.19 求多项式 $f(x)=x^3-10 x+2$ 的实根个数及各个根所在的位置.
解: 由例 4.17 知 $f(a)$ 的根都在 $[-13,13]$ 之内, 又由例 4.18 知 $f(x)$ 的史笃姆函数序列为

$$
f(x)=x^3-10 x+2, \quad f_1(x)=3 x^2-10, \quad f_2(x)=10 x-8, \quad f_3=1
$$

在根界 $[-13,+13]$ 内, 取点计算变号数, 变号的情况列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/efb621.jpg)
 
 从中根据史笃姆定理就可以断定, 多项式 $f(x)=x^3-10 x+2$ 共有 $W(-13)-$ $W(13)=8$ 个实根；同时还可以进一步得出，这三个实根分别在 $(-4,-3),(0,1)$ ， $(3,4)$ 三个区间之中.

以下我们分几个步骤来证明史笃姆定理。(以下供选学)
第一个问题：会不会出现类似以下的排列

$$
++\quad+0+1-
$$

即中间有一个零, 而其左右同号, 如果有这种情况, 这个零就不能随便算作正的或负的了. 我们来证明这种情况不会产生, 即:
史笃姆函数序列中以一个实常数代人，居中间出现一个零，则其左右必为一正一负，既不会出现相邻的两个零，也不会在零的左右出现两个同是正号或两个同是负号。

证明: 若以 $a$ 代人 $f_k(x)$, 得 $f_k(a)$ 为零, 则 $(x-a) \mid f_k(x)$.
此时如

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