最后更新: 2024-11-03 16:04 查看: 168 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

实系数多项式实根的计算

在前面我们已经根据中间值定理, 运用逼近方法求过的实根的近似值, 但太繁，计算量也很大，以下我们将利用两种换元变形，改进计算过程，从而得到多项式实根近似计算的秦九韶方法。
（一）多项式的两种换元变形
第一种变形: 令 $y=x-k$, 则 $x=y+k$, 于是

$$
\begin{aligned}
f(x) & =f(k)+\frac{f^{\prime}(k)}{1!}(x-k)+\frac{f^{\prime \prime}(k)}{2!}(x-k)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(k)}{n!}(x-k)^n \\
& =f(k)+\frac{f^{\prime}(k)}{1!} y+\frac{f^{\prime \prime}(k)}{2!} y^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(k)}{n!} y^n \\
& =g(y)=g(x-k)
\end{aligned}
$$

若 $g(y)$ 的一个根是 $\alpha$, 即 $y=\alpha$ 时, $g(y)=0$. 也就是: $x-k=\alpha$ 时, $g(x-k)=0$. 但 $g(x-k)=f(x)$, 所以 $x=k+\alpha$ 时, $f(x)=0$. 这说明在求出 $g(y)$ 的一个根后, 加上 $k$ 就是 $f(x)$ 的根. 由于 $k$ 可以自由选择, 常可以使 $\alpha$ 比之 $k+\alpha$ 更易于计算.

利用这种变形, 就可以把 "求 $f(a)$ 在 $(a, b)$ 内的一个实根" 问题, 转化为 "求 $g(y)$ 在 $(a-k, b-k)$ 内的一个实根" 问题. 适当选择 $k$, 可以简化计算.

例如, 求多项式 $f(x)=x^3-3 x+1$ 的位于 $(1,2)$ 的根时, 可令 $y=x-1$,得

$$
g(y)=-1+3 y^2+y^3
$$

只须先求 $g(y)$ 在 $(0,1)$ 的根. 这时, 只须计算 $g(0.5), g(0.6)$ 等, 比之计算 $f(1.5), f(1.6)$ 等要简单一些.

为了把 $f(x)$ 改写成 $g(x-k)$, 可以应用泰勒公式; 也可应用余式定理及其推论, 采用综合除法; 还可以用直接代人法.

第二种变形: 令 $y=k x,(k \neq 0)$, 则 $x=\frac{y}{k}$, 于是

$$
\begin{aligned}
f(x) & =a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \\
& =a_n\left(\frac{y}{k}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{y}{k}\right)^{n

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