最后更新: 2026-04-27 10:31 查看: 223 次纠错评论(0) 课件开VIP

实系数多项式实根的计算-秦九韶方法

## 实系数多项式实根的计算
在前面我们已经根据中间值定理, 运用逼近方法求过的实根的近似值, 但太繁，计算量也很大，以下我们将利用两种换元变形，改进计算过程，从而得到多项式实根近似计算的秦九韶方法。

### 多项式的两种换元变形
第一种变形: 令 $y=x-k$, 则 $x=y+k$, 于是

$$
\begin{aligned}
f(x) & =f(k)+\frac{f^{\prime}(k)}{1!}(x-k)+\frac{f^{\prime \prime}(k)}{2!}(x-k)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(k)}{n!}(x-k)^n \\
& =f(k)+\frac{f^{\prime}(k)}{1!} y+\frac{f^{\prime \prime}(k)}{2!} y^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(k)}{n!} y^n \\
& =g(y)=g(x-k)
\end{aligned}
$$

若 $g(y)$ 的一个根是 $\alpha$, 即 $y=\alpha$ 时, $g(y)=0$. 也就是: $x-k=\alpha$ 时, $g(x-k)=0$. 但 $g(x-k)=f(x)$, 所以 $x=k+\alpha$ 时, $f(x)=0$. 这说明在求出 $g(y)$ 的一个根后, 加上 $k$ 就是 $f(x)$ 的根. 由于 $k$ 可以自由选择, 常可以使 $\alpha$ 比之 $k+\alpha$ 更易于计算.

利用这种变形, 就可以把 "求 $f(a)$ 在 $(a, b)$ 内的一个实根" 问题, 转化为 "求 $g(y)$ 在 $(a-k, b-k)$ 内的一个实根" 问题. 适当选择 $k$, 可以简化计算.

例如, 求多项式 $f(x)=x^3-3 x+1$ 的位于 $(1,2)$ 的根时, 可令 $y=x-1$,得

$$
g(y)=-1+3 y^2+y^3
$$

只须先求 $g(y)$ 在 $(0,1)$ 的根. 这时, 只须计算 $g(0.5), g(0.6)$ 等, 比之计算 $f(1.5), f(1.6)$ 等要简单一些.

为了把 $f(x)$ 改写成 $g(x-k)$, 可以应用泰勒公式; 也可应用余式定理及其推论, 采用综合除法; 还可以用直接代人法.

### 第二种变形: 令 $y=k x,(k \neq 0)$, 则 $x=\frac{y}{k}$, 于是

$$
\begin{aligned}
f(x) & =a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \\
& =a_n\left(\frac{y}{k}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{y}{k}\right)^{n-1}+\cdots a_1\left(\frac{y}{k}\right)+a_0 \\
& =\frac{1}{k^n}\left(a_n y^n+a_{n-1} k y^{n-1}+\cdots+a_1 k^{n-1} y+a_0 k^n\right) \\
& =g_1(y)=\frac{1}{k^n} \cdot g(y)=\frac{1}{k^n} g(k x)
\end{aligned}
$$

显然 $g_1(y)$ 与 $g(y)$ 有相同的根.

若 $g(y)$ 的一个根是 $\alpha$, 则 $y=\alpha$ 时, $g(y)=0$. 也就是 $k x=\alpha$ 时, $g_1(k x)=0$, 但 $g_1(k x)=f(x)$, 所以 $x=\frac{\alpha}{k}$ 时, $f(x)=0$, 这说明在求出 $g(y)$的一个根以后，除以 $k$ 就是 $f(x)$ 的根。 由于 $k$ 可以自由选择，就可以使 $\alpha$ 比之 $\frac{\alpha}{k}$ 更易于计算.

例如, 已知 $f(x)=x^3+3 x^2-1$ 一根在 $(0,1)$, 令 $y=10 x$, 则 $x=\frac{y}{10}$, 于是

$$
g(y)=y^3+30 y^2-1000
$$

对应的一根在 $(0,10)$. 为了求这个根, 可以计算 $g(5), g(6), \ldots$ 等, 求出 $g(y)$ 的误差不大于 1 的根的近似值后，除以 10 即得 $f(x)$ 的误差不大于 0.1 的近似根. 这比之计算 $f(0.5), f(0.6), \ldots$ 等, 可以避免小数的出现.

利用这种变形，就可以把 "求 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的一个实根"，转化为 "求 $g(y)$ 在 $(k a, k b)$ 内的一个实根". 适当选择 $k$, 同样可以简化计算.
##  秦九韶法
把以上两种变形交替使用，主要依靠中间值定理，我们就得到多项式实根近似计算的秦九韶方法.

`例`求多项式 $f(x)=x^3-3 x+1$ 在 $(1,2)$ 的实根近似值, 要求误差不大于 $10^{-8}$.

解: 第一步：令 $y=x-1$ ，并令 $z=10 y$ ，得 $z$ 的多项式 $z^3+30 z^2-1000$ 。
由于后面还要变形，文字变化太多很不方便，我们仍用 $x$ 作为变数，只要是注意要求的是 $f_1(x)$ 在 $(1,2)$ 的根的小数点后第一位数字。

记 $f_1(x)=x^3+30 x-1000$, 计算得出 $f_1(0)<0, f_1(5)=-125<0$, $f_1(6)=+296>0, f_1(10)>0$. 所以 $f_1(x)$ 的根在 $(5,6)$ 中, 即 $f(x)$ 根在 $(1.5,1.6)$ 中.

第二步: 在 $f_1(x)$ 中, 使 $y=x-5, z=10 y$, 写成 $z$ 的多项式后, 仍以 $x$为变数，得

$$
f_2(x)=x^3+450 x^2+37500 x-125000
$$

$f_2(x)$ 的根在 $(0,10)$ 中, 因而 $x_3$ 的绝对值比之其他各项要小得多, $x^2$ 项也比较小, 对 $f(x)$ 为正或为负主要决定于后两项, 因而估计 $x$ 在 $(3,4)$ 中, 计算结果确有 $f_2(3)<0, f_2(4)>0$. 所以 $f_2(x)$ 的根 $(3,4)$ 中, 即 $f(x)$ 的根在 $(1.53,1.54)$ 中.

第三步: 在 $f_2(x)$ 中使 $y=x-3, z=10 y$ 仍写成 $x$ 的多项式, 得

$$
f_3(x)=x^3+4590 x^2+4022700 x-8423000
$$

由最后两项估计, 根在 $(2,3)$ 中, 试算结果确有 $f_3(2)<0, f_3(3)>0$, 所以 $f_3(x)$ 的根在 $(2,3)$ 中, 即 $f(x)$ 的根一定在 $(1.532,1.533)$ 中.

第四步：在 $f(x)$ 中使， $y=x-2, z=10 y$ ，仍写成 $x$ 的多项式，得

$$
f_4(x)=x^3+45960 x^2+404103200 x-359236000
$$

现在, 前两项起的作用更小了, 我们可以一次算出 $x$ 应取值的三位数字, 然后再加以验算, 不必象前面那样一位数一位数地计算了, 把后两项系数相除, 得 $x=0.889$, 由此应得 $f(x)$ 的根在 $(1.532888,1.532889)$ 中, 验证得 $x \approx 1.532889$,误差小于 $10^{-8}$.
注意：上述方法对多项式的正根与负根显然同样适用，但是计算负根时，出错的可能性比计算正根要大些，为此，我们可以利用第二种变形，令 $k=-1$ ，就把计算负根改变为计算正根了。 例如为求 $f(x)=x^3-3 x+1$ 在 $(-2,-1)$ 的根, 可改为求 $g(y)=y^3-3 y-1$ 在 $(1,2)$ 的根, 求出后改变符号即得 $f(x)$ 在 $(-2,-1)$ 的根。

在常数项的绝对值比其他各系数的绝对值大许多倍时, 可以先把中间两项略去，估计根有几位整数，然后从 $n \times 10, n \times 100$ ，或开始试除。若特大的系数
不是出现在常数项，而是出现在中间某一项，也可把除第一项与最大系数的那项以外的所有项先略去，估计根有几位数，按照上述方法试除.

`例` 估计多项式 $f(x)=x^3+x^2-10^7$ 的正根有几位整数。
解: 由方程 $x^3-10^7=0$ 可看到其正根是以百位数字为第一位数字. 因此用 $x=100, x=200, x=300, \ldots$ 来试算, 得 $f(200)=-1960000, f(300)=$ +17090000 . 因而有一个根在 $(200,300)$ 中, 即正根有 3 位整数.

若需要求这个根的近似值, 用前述方法, 先减去 200 , 但不必乘 10 , 得 $f_1(x)$的根在 $(0,100)$ 中, 然后以 $n \times 10$ 试算. 以后再减去这个 $n \times 10$, 得 $f_2(x)$, 它的根在 $(0,10)$ 中, 这样就与例 4.21 相类似了.

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