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初中数学
第十二章 *多项式理论
实系数多项式实根的计算
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2024-11-03 16:04
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实系数多项式实根的计算
在前面我们已经根据中间值定理, 运用逼近方法求过的实根的近似值, 但太繁,计算量也很大,以下我们将利用两种换元变形,改进计算过程,从而得到多项式实根近似计算的秦九韶方法。 (一)多项式的两种换元变形 第一种变形: 令 $y=x-k$, 则 $x=y+k$, 于是 $$ \begin{aligned} f(x) & =f(k)+\frac{f^{\prime}(k)}{1!}(x-k)+\frac{f^{\prime \prime}(k)}{2!}(x-k)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(k)}{n!}(x-k)^n \\ & =f(k)+\frac{f^{\prime}(k)}{1!} y+\frac{f^{\prime \prime}(k)}{2!} y^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(k)}{n!} y^n \\ & =g(y)=g(x-k) \end{aligned} $$ 若 $g(y)$ 的一个根是 $\alpha$, 即 $y=\alpha$ 时, $g(y)=0$. 也就是: $x-k=\alpha$ 时, $g(x-k)=0$. 但 $g(x-k)=f(x)$, 所以 $x=k+\alpha$ 时, $f(x)=0$. 这说明在求出 $g(y)$ 的一个根后, 加上 $k$ 就是 $f(x)$ 的根. 由于 $k$ 可以自由选择, 常可以使 $\alpha$ 比之 $k+\alpha$ 更易于计算. 利用这种变形, 就可以把 "求 $f(a)$ 在 $(a, b)$ 内的一个实根" 问题, 转化为 "求 $g(y)$ 在 $(a-k, b-k)$ 内的一个实根" 问题. 适当选择 $k$, 可以简化计算. 例如, 求多项式 $f(x)=x^3-3 x+1$ 的位于 $(1,2)$ 的根时, 可令 $y=x-1$,得 $$ g(y)=-1+3 y^2+y^3 $$ 只须先求 $g(y)$ 在 $(0,1)$ 的根. 这时, 只须计算 $g(0.5), g(0.6)$ 等, 比之计算 $f(1.5), f(1.6)$ 等要简单一些. 为了把 $f(x)$ 改写成 $g(x-k)$, 可以应用泰勒公式; 也可应用余式定理及其推论, 采用综合除法; 还可以用直接代人法. 第二种变形: 令 $y=k x,(k \neq 0)$, 则 $x=\frac{y}{k}$, 于是 $$ \begin{aligned} f(x) & =a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \\ & =a_n\left(\frac{y}{k}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{y}{k}\right)^{n-1}+\cdots a_1\left(\frac{y}{k}\right)+a_0 \\ & =\frac{1}{k^n}\left(a_n y^n+a_{n-1} k y^{n-1}+\cdots+a_1 k^{n-1} y+a_0 k^n\right) \\ & =g_1(y)=\frac{1}{k^n} \cdot g(y)=\frac{1}{k^n} g(k x) \end{aligned} $$ 显然 $g_1(y)$ 与 $g(y)$ 有相同的根. 若 $g(y)$ 的一个根是 $\alpha$, 则 $y=\alpha$ 时, $g(y)=0$. 也就是 $k x=\alpha$ 时, $g_1(k x)=0$, 但 $g_1(k x)=f(x)$, 所以 $x=\frac{\alpha}{k}$ 时, $f(x)=0$, 这说明在求出 $g(y)$的一个根以后,除以 $k$ 就是 $f(x)$ 的根。 由于 $k$ 可以自由选择,就可以使 $\alpha$ 比之 $\frac{\alpha}{k}$ 更易于计算. 例如, 已知 $f(x)=x^3+3 x^2-1$ 一根在 $(0,1)$, 令 $y=10 x$, 则 $x=\frac{y}{10}$, 于是 $$ g(y)=y^3+30 y^2-1000 $$ 对应的一根在 $(0,10)$. 为了求这个根, 可以计算 $g(5), g(6), \ldots$ 等, 求出 $g(y)$ 的误差不大于 1 的根的近似值后,除以 10 即得 $f(x)$ 的误差不大于 0.1 的近似根. 这比之计算 $f(0.5), f(0.6), \ldots$ 等, 可以避免小数的出现. 利用这种变形,就可以把 "求 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的一个实根",转化为 "求 $g(y)$ 在 $(k a, k b)$ 内的一个实根". 适当选择 $k$, 同样可以简化计算. ## (二)秦九韶法 把以上两种变形交替使用,主要依靠中间值定理,我们就得到多项式实根近似计算的秦九韶方法. 例 4.21 求多项式 $f(x)=x^3-3 x+1$ 在 $(1,2)$ 的实根近似值, 要求误差不大于 $10^{-8}$. 解: 第一步:令 $y=x-1
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