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二元二次方程组

## 二元二次方程与二元二次方程组
由二元二次多项式组成的方程, 就叫做二元二次方程, 其一般形式是

$$
a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0 ...(4.16)
$$

其中 $a, b, c$ 不全为零; $d, e, f$ 为任意实数; $x, y$ 为二元.
凡满足方程 (4.16) 的有序数对 $(x, y)$, 都叫做方程 (4.16) 的一个解。
二元二次方程的实数解，可有三种情况存在，即有唯一解，无解和无限多解，例如：
- 方程 $2 x^2+y^2=0$, 只有一个解 $(0,0)$;
- 方程 $x^2+2 y^2+1=0$ ，就没有实数解；
- 方程 $x^2+2 y^2-4=0$, 就有无限多个解.

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及两个二元二次方程组成的方程组，都称为二元二次方程组. 因此，二元二次方程组的一般形式有两种类型：
(I) $\left\{\begin{array}{l}a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0 \\ m x+n y+\ell=0\end{array}\right.$
(II) $\left\{\begin{array}{l}a_1 x^2+2 b_1 x y+c_1 y^2+2 d_1 x+2 e_1 y+f_1=0 \\ a_2 x^2+2 b_2 x y+c_2 y^2+2 d_2 x+2 e_2 y+f_2=0\end{array}\right.$

## 二元二次方程组类型 (I) 的解法
第 (I) 类型的二元二次方程组, 指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，这种类型的方程组一般都可以用代入法来解。但根据方程组的特点还可以灵活应用其它解法.

`例` 解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x-2 y=7 ...(4.17)\\
x^2+y^2=25 ...(4.18)
\end{array}\right.
$$

解：由（4.17）得

$$
y=\frac{1}{2}(5 x-7) ...(4.19)
$$

代人 (4.18), 整理后得: $29 x^2-70 x-15=0$, 解出

$$
x_1=3, \quad x_2=-\frac{17}{29}
$$

代人 (4.19) 得

$$
y_1=4, \quad y_2=-\frac{144}{29}
$$
所以方程组的解集为

$$
\{(x, y)\}=\left\{(3,4),\left(-\frac{17}{29},-\frac{144}{29}\right)\right\}
$$

通过例 4.23，我们可以得到以下一般情况：
对于方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0 \\
m x+n y+\ell=0
\end{array}\right.
$$

可以这样解, 若 $n \neq 0$, 由 (4.21) 解出

$$
y=\frac{1}{n}(-m x-\ell)
$$

代人（4.20）就可以消去 $y$ 而得到 $x$ 的一元二次方程，求出 $x$ 后，再代人 (4.22)，从而求出相应的 $y$.

若 $m \neq 0$, 由 (4.21) 解出

$$
x=\frac{1}{m}(-\ell-n y)
$$

代人 (4.20) 也可以消去 $x$ 而得到 $y$ 的一元二次方程, 求出 $y$ 后, 再代人 (4.23),从而求出相应的 $x$.

这种解法就是代人消元法, 它是解这种类型方程组的基本方法.

`例` 解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
(3 x-2 y-5)(x-y+1)=0 \\
x+y=7
\end{array}\right.
$$

分析：这个方程组可以像例 4.23 一样用代人法求解，但由于其中的方程（4.24）具有特点：方程左边的式子是两个一次因式的乘积，方程右边等于 0 . 因此，原方程组可以改写成以下两个二元一次方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x-2 y-5=0 \\
x+y-7=0
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0 \\
x+y-7=0
\end{array}\right.
$$

显然由（4.26），（4.27）组成的方程组的解及由（4.28），（4.29）组成的方程组的解都能满足由 (4.24), (4.25) 组成的方程组; 反之, (4.24), (4.25) 的解至少能
满足 $(4.26),(4.27)$ 及 $(4.28),(4.29)$ 中的一个方程组, 所以, 只要分别出方程组 $(4.26),(4.27)$ 与 $(4.28),(4.29)$ 就可以了.
解：将原方程组改写成为以下两个方程组

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 3 x - 2 y - 5 = 0 } \\
{ x + y - 7 = 0 }
\end{array} \text { 及 } \quad \left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0 \\
x+y-7=0
\end{array}\right.\right.
$$

解得：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x = \frac { 1 9 } { 5 } } \\
{ y = \frac { 1 6 } { 5 } }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
x=3 \\
y=4
\end{array}\right.\right.
$$

所以, 原方程组的解集为

$$
\{(x, y)\}=\left\{\left(\frac{19}{5},-\frac{16}{5}\right),(3,4)\right\}
$$

一般地, 方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0 \\
m x+n y+\ell=0
\end{array}\right.
$$

可以转化为两个二元一次方程组

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } = 0 } \\
{ m x + n y + \ell = 0 }
\end{array} \text { 与 } \quad \left\{\begin{array}{l}
a_2 x+b_2 y+c_2=0 \\
m x+n y+\ell=0
\end{array}\right.\right.
$$

求解.

`例` 解方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=15 \\ x y=56\end{array}\right.$
分析：这个方程组除可以用代人法求解外，还可以应用韦达定理，以 $x, y$ 为两根，先做一个一元二次方程，再来求解。
解：由已知方程可知，若设 $x, y$ 为某一个一元二次方程的两个根，则由韦达定理可得出这一元二次方程为

$$
z^2-15 z+56=0
$$

解出这个方程, 得: $z_1=7, z_2=8$, 所以原方程组的解集为:

$$
\{(x, y)\}=\{(7,8),(8,7)\}
$$
一般地, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=a \\ x y=b\end{array}\right.$ 的解, 可以建立一个一元二次方程

$$
z^2-a z+b=0
$$

解出两根 $z_1=\alpha, z_2=\beta$, 从而得出方程组的解集:

$$
\{(x, y)\}=\{(\alpha, \beta),(\beta, \alpha)\}
$$

综合例 4.23-4.25的一般结论, 我们还可以给出这种类型方程组解的几何意义如下：

一次方程表示直线，二次方程表示二次曲线，因此，这种类型方程组的一个解，就表示直线与二次曲线的一个交点.

显然, 直线与二次曲线最多有两个交点, 也可能有两个重合的交点, 也可能没有交点. 相应地说明这种类型的二元二次方程组最多有两个解，也可能有两个相同的解，也可能没有解.

## 二元二次方程组类型(II) 的解法 
第 (II) 类型的二元二次方程组指的是由两个二元二次方程组成的方程组，
这种类型的方程组求解是比较复杂的，若用代入法，都要解四次方程，这里我
们只讲一些特殊的方程组的解法，其要领仍是降次、消元

### （一）可转化为第（II）类型的方程组

`例`解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=20 \\
x^2-5 x y+6 y^2=0
\end{array}\right.
$$
分析：这个方程组的特点是：其中有一个方程 (4.31) 的左边可以分解为两个一次因式的乘积，右边等于 0 。因此，方程（4.31）可化为两个二元一次方程，从而原方程组就可以化为两个第 (I) 类型的二元二次方程组.
解: 由 (4.31) 得: $(x-2 y)(x-3 y)=0$, 所以

$$
x-2 y=0 \quad \text { 或 } \quad x-3 y=0
$$

因此，原方程组可化为以下两个方程组：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 0 } \\
{ x - 2 y = 0 }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=20 \\
x-3 y=0
\end{array}\right.\right.
$$

解这两个方程组, 即得到原方程组的解集为:

$$
\{(x, y)\}=\{(4,2),(-4,-2),(3 \sqrt{2}, \sqrt{2}),(-3 \sqrt{2},-\sqrt{2})\}
$$

`例`  解方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2+2 y-1=0 \\ 2 x^2-3 x y-2 y^2+2 x+6 y-4=0\end{array}\right.$
分析：这个方程组的特点是：两个方程的左边都可以分解为一次式的乘积，右边都等于 0 ．因此，原方程组就可以化为四个二元一次方程组来解．
解：用待定系数法分别将两个方程左边进行因式分解，可得

$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y-1)(x-y+1)=0  \tag{4.32}\\
(2 x+y-2)(x-2 y+2)=0
\end{array}\right.
$$

原方程组可化为以下四个线性方程组：

$$
\begin{array}{ll}
\left\{\begin{array}{l}
x+y-1=0 \\
2 x+y-2=0
\end{array}\right. & \left\{\begin{array}{l}
x+y-1=0 \\
x-2 y+2=0
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0 \\
2 x+y-2=0
\end{array}\right. & \left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0 \\
x-2 y+2=0
\end{array}\right.
\end{array}
$$

解出这几个方程组，即可得原方程组的解集为：

$$
\{(x, y)\}=\left\{(1,0),(0,1),\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right),(0,1)\right\}
$$

`例`  解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+5 x y-2 x+3 y+1=0  \tag{4.34}\\
3 x^2+15 x y-7 x+8 y+4=0
\end{array}\right.
$$

分析：这个方程组的特点是：两个方程中对应二次项系数成比例，这样，我们可以运用方程的变换，消去二次项得到一个二元一次方程，将原方程组转化为第（I）类型方程组求解。
解：由 $(4.35)-(4.34) \times 3$ ，得

$$
\begin{equation*}
-x-y+1=0 \tag{4.36}
\end{equation*}
$$

将原方程组化为（4．34），（4．36）组成的（或（4．35），（4．36））第（I）类型方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+5 x y-2 x+3 y+1=0 \\
-x-y+1=0
\end{array}\right.
$$

用代人法可以解出

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x _ { 1 } = 1 } \\
{ y _ { 1 } = 0 }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
x_2=-1 \\
y_2=2
\end{array}\right.\right.
$$

所以，原方程组的解集为

$$
\{(x, y)\}=\{(1,0),(-1,2)\}
$$

注意：解由（4．35），（4．36）组成的方程组，可得同样结果，但相比之下，计算要繁一些。

`例`  解方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2+x y+x-3 y+3=0  \tag{4.37}\\
3 x y+y^2-2 x+6 y-6=0
\end{array}\right.
$$

分析：这一方程组的特点是：两方程的左边虽不能分解因式，但这两个方程的非二次项系数是成比例的，因而，我们可以通过方程的变换，消去非二次项得到一个二元二次齐次式的方程，而这一方程的左边一般是可以分解因式的．从而可以将方程组化为第（I）类型求解。
解：由 $(4.37) \times 2+(4.38)$ ，得 $4 x^2+5 x y+y^2=0$ ，即：

$$
\begin{equation*}
(4 x+y)(x+y)=0 \tag{4.39}
\end{equation*}
$$

这样，原方程组可转化为（4．37），（4．39）所组成的方程组，（或者（4．38）， （4．39）所组成的方程组）再由例 4.24 的分析即可化为以下两个方程组求解：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 2 x ^ { 2 } + x y + x - 3 y + 3 = 0 } \\
{ 4 x + y = 0 }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
2 x^2+x y+x-3 y+3=0 \\
x+y=0
\end{array}\right.\right.
$$

分别解出，得

$$
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{l}
x_1=\frac{13+\sqrt{193}}{4} \\
y_1=-13-\sqrt{193}
\end{array}\right. & \left\{\begin{array}{l}
x_2=\frac{13-\sqrt{193}}{4} \\
y_2=-13+\sqrt{193}
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x_3=-1 \\
y_3=1
\end{array}\right. & \left\{\begin{array}{l}
x_4=-3 \\
y_4=3
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

所以，原方程组的解集为

$$
\begin{aligned}
\{(x, y)\}= & \left\{\left(\frac{13+\sqrt{193}}{4},-13-\sqrt{193}\right),\left(\frac{13-\sqrt{193}}{4},-13+\sqrt{193}\right),\right. \\
& (-1,1),(-3,3)\}
\end{aligned}
$$

综合例 4．26－4．29 的分析可以得出：对一些具有一定特点（如其中一或两个方程的一边可分解因式，另一边为 0 ；两个方程相应的二次项系数成比例；两方程相应的非二次项系数戌比例）的第（II）类型二元二次方程组，我们可以利用分解因式或方程的变换等方法，降低方程的次数，转化为第（I）类型方程组求解．

## （二）可转化为含一元方程的方程组
例 4.30 解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2-x y+y^2-3 y+2=0  \tag{4.40}\\
6 x^2-3 x y-y^2-y+6=0
\end{array}\right.
$$

分析：这一方程组的特点是：两方程的左边不能分解因式，二次项或非二次项系数都无法消去，但其中含有同一个元 $x$ 或 $y$ 的相应各项系数是成比例的．本题中含 $a$ 的项有：$\frac{2}{6}=\frac{-1}{-3}$ 。因而，我们可以利用方程的变换首先消去一元，得到一个一元方程，从而原方程组即可化为含有此一元方程的方程组求解．
解：由 $(4.41)-(4.40) \times 3$ ，得 $-4 y^2+8 y=0$ ，即：

$$
\begin{equation*}
4 y(y-2)=0 \tag{4.42}
\end{equation*}
$$

这样，原方程组就可转化为由（4．40），（4．42）组成或由（4．41），（4．42）组成的方程组求解．再由象例 4.26 的分析，原方程组就化为

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 2 x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } - 3 y + 2 = 0 } \\
{ y = 0 }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
2 x^2-x y+y^2-3 y+2=0 \\
y-2=0
\end{array}\right.\right.
$$

直接用代人法即可解出：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x _ { 1 } = 0 } \\
{ y _ { 1 } = 2 }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
x_2=1 \\
y_2=2
\end{array}\right.\right.
$$
 所以原方程组的解集为：

$$
\{(x, y)\}=\{(0,2),(1,2)\}
$$

## （三）可用换元法解的方程组
例 4.31 解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2-2 x y+y^2+3 x+3 y-2=0  \tag{4.43}\\
2 x^2-2 x y+2 y^2-2 x-2 y+15=0
\end{array}\right.
$$

分析：这个方程组的特点是：在两个方程中若 $x, y$ 将位置互换，方程式不变，这种方程我们叫做轮换对称方程，这种方程组一般可用换元的办法，设 $x+y=s$ ， $x \cdot y=t$ ，将方程组转化为关于 $s, t$ 的方程组，解出 $s, t$ 再进而解出 $x, y$ 。
解：设

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=s  \tag{4.45}\\
x y=t
\end{array}\right.
$$

代人原方程组，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
s^2-4 t+3 s-2=0  \tag{4.46}\\
2 s^2-6 t-2 f+15=0
\end{array}\right.
$$

象例 4.30 一样，在（4．46），（4．47）中消去 $t$ ，由（4．46）$\times 3-(4.47) \times 2$ 得： $-s^2+13 s-36=0$ ，即：

$$
(s-4)(s-9)=0
$$
因此就有：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ s ^ { 2 } - 4 t + 3 s - 2 = 0 } \\
{ s - 4 = 0 }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
s^2-4 t+3 s-2=0 \\
s-9=0
\end{array}\right.\right.
$$

解得

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ s = 4 } \\
{ \frac { 1 3 } { 2 } }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
s=9 \\
t=\frac{53}{2}
\end{array}\right.\right.
$$

将上述两解代回（4．45）中，得

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x + y = 4 } \\
{ x y = \frac { 1 3 } { 2 } }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
x+y=9 \\
x y=\frac{53}{2}
\end{array}\right.\right.
$$

这两方程组都无实数解．
所以，原方程组无实数解．
综合以上的解法讨论，我们同样可以给出这种类型方程组解的几何意义如下：

第（II）类型的二元二次方程组的解，就是它们两个方程所代表的两条二次曲线的交点．

两条二次曲线的交点最多有四个，也可能有两个，还可能没有交点．相应地，第（II）类型的二元二次方程组最多四个解，也可能有两个解，还可能没有解．

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