最后更新: 2024-11-03 16:08 查看: 262 次反馈同步训练

二元二次方程组

一、二元二次方程与二元二次方程组
由二元二次多项式组成的方程, 就叫做二元二次方程, 其一般形式是

$$
a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0
$$

其中 $a, b, c$ 不全为零; $d, e, f$ 为任意实数; $x, y$ 为二元.
凡满足方程 (4.16) 的有序数对 $(x, y)$, 都叫做方程 (4.16) 的一个解。
二元二次方程的实数解，可有三种情况存在，即有唯一解，无解和无限多解，例如：
- 方程 $2 x^2+y^2=0$, 只有一个解 $(0,0)$;
- 方程 $x^2+2 y^2+1=0$ ，就没有实数解；
- 方程 $x^2+2 y^2-4=0$, 就有无限多个解.

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及两个二元二次方程组成的方程组，都称为二元二次方程组. 因此，二元二次方程组的一般形式有两种类型：
(I) $\left\{\begin{array}{l}a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0 \\ m x+n y+\ell=0\end{array}\right.$
(II) $\left\{\begin{array}{l}a_1 x^2+2 b_1 x y+c_1 y^2+2 d_1 x+2 e_1 y+f_1=0 \\ a_2 x^2+2 b_2 x y+c_2 y^2+2 d_2 x+2 e_2 y+f_2=0\end{array}\right.$

## 二、二元二次方程组类型 (I) 的解法
第 (I) 类型的二元二次方程组, 指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，这种类型的方程组一般都可以用代人法来解。但根据方程组的特点还可以灵活应用其它解法.

例 4.23 解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x-2 y=7 \\
x^2+y^2=25
\end{array}\right.
$$

解：由（4.17）得

$$
y=\frac{1}{2}(5 x-7)
$$

代人 (4.18), 整理后得: $29 x^2-70 x-15=0$, 解出

$$
x_1=3, \quad x_2=-\frac{17}{29}
$$

代人 (4.19) 得

$$
y_1=4, \quad y_2=-\frac{144}{29}
$$
所以方程组的解集为

$$
\{(x, y)\}=\left\{(3,4),\left(-\frac{17}{29},-\frac{144}{29}\right)\right\}
$$

通过例 4.23，我们可以得到以下一般情况：
对于方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0 \\
m x+n y+\ell=0
\end{array}\right.
$$

可以这样解, 若 $n \neq 0$, 由 (4.21) 解出

$$
y=\frac{1}{n}(-m x-\ell)
$$

代人（4.20）就可以消去 $y$ 而得到 $x$ 的一元二次方程，求出 $x$ 后，再代人 (4.22)，从而求出相应的 $y$.

若 $m \neq 0$, 由 (4.21) 解出

$$
x=\frac{1}{m}(-\ell-n y)
$$

代人 (4.20) 也可以消去 $x$ 而得到 $y$ 的一元二次方程, 求出 $y$ 后, 再代人 (4.23),从而求出相应的 $x$.

这种解法就是代人消元法, 它是解这种类型方程组的基本方法.

例 4.24 解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
(3 x-2 y-5)(x-y+1)=0 \\
x+y=7
\end{array}\right.
$$

分析：这个方程组可以像例 4.23 一样用代人法求解，但由于其中的方程（4.24）具有特点：方程左边的式子是两个一次因式的乘积，方程右边等于 0 . 因此，原方程组可以改写成以下两个二元一次方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x-2 y-5=0 \\
x+y-7=0
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0 \\
x+y-7=0
\end{array}\right.
$$

显然由（4.26），（4.27）组成的方程组的解及由（4.28），（4.29）组成的方程组的解都能满足由 (4.24), (4.25) 组成的方程组; 反之, (4.24), (4.25) 的解至少能
满足 $(4.26),(4.27)$ 及 $(4.28),(4.29)$ 中的一个方程组, 所以, 只要分别出方程组 $(4.26),(4.27)$ 与 $(4.28),(4.29)$ 就可以了.
解：将原方程组改写成为以下两个方程组

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 3 x - 2 y - 5 = 0 } \\
{ x + y - 7 = 0 }
\end{array} \text { 及 } \quad \left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0 \\
x+y-7=0
\end{array}\right.\right.
$$

解得：

$$
\left\{\begin{array} { l }

免费注册看余下 50%

本站提供海里试题，欢迎使用，最低 8.2 元/月，非VIP每天12篇文章

赞助本站

上一篇：实系数多项式实根的计算

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)