最后更新: 2025-05-23 06:48 查看: 129 次反馈同步训练

一元二次函数

二次函数与一元二次方程是我们学习过的两个重要内容, 它们之间有着怎样的关系呢？

## 二次函数

先观察几个具体的一元二次方程及对应的二次函数, 如:
(1) 一元二次方程 $x^2-4 x+3=0$ 与二次函数 $y=x^2-4 x+3$;
(2) 一元二次方程 $x^2-4 x+4=0$ 与二次函数 $y=x^2-4 x+4$;
(3) 一元二次方程 $x^2-2 x+3=0$ 与二次函数 $y=x^2-2 x+3$.
 
 
 ![图片](/uploads/2024-11/b31f88.jpg)

容易知道, 一元二次方程 $x^2-4 x+3=0$ 有两个实数根 $x_1=1, x_2=3$; 二次函数 $y=x^2-4 x+3$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点 $(1,0),(3,0)$ ，如图2.2-1（1）。这样，方程 $x^2-4 x+3=0$ 的两个实数根就是函数 $y=x^2-4 x+3$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

一元二次方程 $x^2-4 x+4=0$ 有两个相等的实数根 $x_1=x_2=2$ ；二次函数 $y=$ $x^2-4 x+4$ 的图象与 $x$ 轴有唯一的交点 $(2,0)$, 如图2.2-1(2). 这样, 方程 $x^2-$ $4 x+4=0$ 的实数根就是函数 $y=x^2-4 x+4$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

一元二次方程 $x^2-2 x+3=0$ 没有实数根；二次函数 $y=x^2-2 x+3$ 的图象与 $x$轴没有交点，如图2.2-1（3）。

上述关系对一般的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 及对应的二次函数 $y=a x^2+$ $b x+c$ 是否也成立呢？

### 结论
一般地，设判别式 $\Delta=b^2-4 a c$ ，我们有：
（1）当 $\Delta>0$ 时，一元二次方程有两个不相等的实数根 $x_1, x_2$ ，对应二次函数
的图象与 $x$ 轴有两个交点 $\left(x_1, 0\right),\left(x_2, 0\right)$ ；
（2）当 $\Delta=0$ 时，一元二次方程有两个相等的实数根 $x_1=x_2$ ，对应二次函数的图象与 $x$ 轴有唯一的交点 $\left(x_1, 0\right)$ ；
（3）当 $\Delta<0$ 时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与 $x$ 轴没有交点。

根据以上归纳, 可得如下表格:

![图片](/uploads/2025-05/a4e5b2.jpg)

### 零点
 一般地, 我们把使得 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 成立的实数 $x$ 叫作二次函数 $y=a x^2+$ $b x+c$ 的**零点**. 
 
 例如, 1,3 是二次函数 $y=x^2-4 x

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