最后更新: 2025-04-14 18:58 查看: 72 次反馈刷题

从函数角度看一元二次方程

二次函数与一元二次方程是我们学习过的两个重要内容, 它们之间有着怎样的关系呢？

## 二次函数

先观察几个具体的一元二次方程及对应的二次函数, 如:
(1) 一元二次方程 $x^2-4 x+3=0$ 与二次函数 $y=x^2-4 x+3$;
(2) 一元二次方程 $x^2-4 x+4=0$ 与二次函数 $y=x^2-4 x+4$;
(3) 一元二次方程 $x^2-2 x+3=0$ 与二次函数 $y=x^2-2 x+3$.
 ![图片](/uploads/2024-11/b31f88.jpg)
 容易知道, 一元二次方程 $x^2-4 x+3=0$ 有两个实数根 $x_1=1, x_2=3$; 二次函数 $y=x^2-4 x+3$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点 $(1,0),(3,0)$ ，如图2.2-1（1）。这样，方程 $x^2-4 x+3=0$ 的两个实数根就是函数 $y=x^2-4 x+3$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

一元二次方程 $x^2-4 x+4=0$ 有两个相等的实数根 $x_1=x_2=2$ ；二次函数 $y=$ $x^2-4 x+4$ 的图象与 $x$ 轴有唯一的交点 $(2,0)$, 如图2.2-1(2). 这样, 方程 $x^2-$ $4 x+4=0$ 的实数根就是函数 $y=x^2-4 x+4$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

一元二次方程 $x^2-2 x+3=0$ 没有实数根；二次函数 $y=x^2-2 x+3$ 的图象与 $x$轴没有交点，如图2.2-1（3）。

上述关系对一般的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 及对应的二次函数 $y=a x^2+$ $b x+c$ 是否也成立呢？

一般地，设判别式 $\Delta=b^2-4 a c$ ，我们有：
（1）当 $\Delta>0$ 时，一元二次方程有两个不相等的实数根 $x_1, x_2$ ，对应二次函数
的图象与 $x$ 轴有两个交点 $\left(x_1, 0\right),\left(x_2, 0\right)$ ；
（2）当 $\Delta=0$ 时，一元二次方程有两个相等的实数根 $x_1=x_2$ ，对应二次函数的图象与 $x$ 轴有唯一的交点 $\left(x_1, 0\right)$ ；
（3）当 $\Delta<0$ 时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与 $x$ 轴没有交点。

根据以上归纳, 可得如下表格:
 ![图片](/uploads/2024-11/79c876.jpg)
 一般地, 我们把使得 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 成立的实数 $x$ 叫作二次函数 $y=a x^2+$ $b x+c$ 的零点. 例如, 1,3 是二次函数 $y=x^2-4 x+3$ 的两个零点, 2 是二次函数 $y=x^2-4 x+4$ 的唯一零点，二次函数 $y=x^2-2 x+3$ 没有零点。

这样，一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 的实数根就是二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的零点, 也就是函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标.

`例` 二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象如图 2.2-2 所示, 根据图象解答下列问题:
(1) 写出方程 $a x^2+b x+c=0$ 的两个根;
(2) 若方程 $a x^2+b x+c=k$ 有两个不相等的实数根, 求 $k$ 的取值范围。

解 (1) 观察图象可知, 二次函数的图象与 $x$ 轴交于 $(1,0),(3,0)$ 两点, 故方程 $a x^2+b x+c=0$ 的两个根是 $x_1=1, x_2=3$.
(2) 若方程 $a x^2+b x+c=k$ 有两个不相等的实数根, 则二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象与直线 $y=k$ 有两个不同的交点. 观察图象可知, 二次函数图象的顶点纵坐标为 2 , 所以只有当 $k<2$ 时才能满足条件.
 ![图片](/uploads/2024-11/f98572.jpg)
 
 
 `例`已知二次函数 $y=x^2+b x+c$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $\Lambda(0,-3)$, 与 $x$ 轴的两个交点的横坐标的平方和为 15 , 求该二次函数的表达式.

解 由二次函数的图象与 $y$ 轴交于点 $\Lambda(0,-3)$ 知， $c=-3$ 。
设二次函数的图象与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_1, x_2$, 则 $x_1, x_2$ 是一元二次方程

$$
x^2+b x-3=0
$$

的两个根, 由根与系数的关系知

$$
x_1+x_2=-b, x_1 x_2=-3,
$$

所以

$$
\begin{aligned}
x_1^2+x_2^2 & =\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2 \\
& =b^2+6=15,
\end{aligned}
$$

解得 $b= \pm 3$.
故所求二次函数的表达式为 $y=x^2+3 x-3$ 或 $y=x^2-$ $3 x-3$.

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