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一元二次方程

> 一元二次方程在初中已经学过，考虑一元二次方程在数学里占用重要地位，这里以重温为主。
## 一元二次方程
如果方程只有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，这样的方程叫做**一元二次方程**，其基本形式是：

$$
a x^2+b x+c=0
$$

其中，$a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。

类似的，只有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做**一元二次不等式**，其基本形式是：

$$
a x^2+b x+c>0 \text { 或 } a x^2+b x+c<0
$$

其中，$a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。
初中已经学习了**一元二次函数**的基本知识，其基本形式是：

$$
y=a x^2+b x+c
$$

其中，$a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。

### 三者关系
**二次函数、一元二次方程，一元二次不等式 都有相同的表达式 $a x^2+b x+c$ ，只是其余的部分不同**。

本章将从表达式 $a x^2+b x+c$ 出发，建立二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

## 一元二次方程的解

一元二次方程有两种基本解法：因式分解法和配方法，其中因式分解法更简便，配方法更普遍适用且能反映方程的特点。

`例` 解一元二次方程 $x^2-8 x-20=0$ 。
解析：因式分解法：
常数项 $-20=-10 \times 2$ ，一次项系数 $-8=-10+2$ ，对等式的左边进行因式分解：

$$
\begin{aligned}
& (x-10)(x+2)=0, \\
& x-10=0 \text { 或 } x+2=0,
\end{aligned}
$$

$$
x_1=10, x_2=-2 \text { 。 }
$$

配方法：
将等式的左边凑成完全平方公式的标准形式：

$$
\begin{aligned}
& x^2-8 x+16-36=0, \\
& (x-4)^2=36, \\
& x-4=6 \text { 或 } x-4=-6, \\
& x_1=10, x_2=-2 。
\end{aligned}
$$

虽然因式分解法更简便，但需要对因数（式）分解很熟悉。配方法的思路更直白，即＂凑完全平方公式＂，适用于所有一元二次方程。利用配方的过程，可以推导出一元二次方程的通解公式，根的判别式与韦达定理。

### 求根公式

一元二次方程$a x^2+b x+c =0$ 的解为：

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

如果令$\Delta=b^2-4 a c$  
(1) 当 $\Delta=b^2-4 a c>0$ 时, 方程的解集为

$$
\left\{\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}, \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\right\}
$$

(2) 当 $\Delta=b^2-4 a c=0$ 时, 方程的解集为 $\left\{-\frac{b}{2 a}\right\}$;

(3)当 $\Delta=b^2-4 a c<0$ 时，方程的解集为 $\varnothing$.

### 根与系数的关系(韦达定理)

韦达定理也被称作一元二次方程根与系数的关系。我们知道, 当一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 的解集不是空集时, 这个方程的解可以记为

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$, 
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

可以发现
$ {x}_1+{x}_2=-\frac{b}{a} ①$
和
$x_1 x_2=\frac{c}{a} ②$

这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.

## $\Delta$ 判别式法求最值

`例`求函数 $y=\frac{x-1}{x^2-x+1}$ 在定义域 $x>1$ 上的最大值．

解：这是一个典型的一次／二次型分式函数，且带有定义域

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