最后更新: 2024-11-09 18:54 查看: 552 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数的定义(初中)

## 函数的定义
如果有两个变量 $x$ 和 $y$, 对于变量 $x$ 在某一给定范围内的每一确定的值，变量 $y$ 按照一个确定的法则有唯一确定的值和它对应，那么变量 $y$ 就叫做变量 $x$ 的函数，并把 $x$ 叫做**自变量**，$y$ 叫做**因变量**，自变量的取值范围叫做这个函数的**定义域**，在这个定义域上，因变量 $y$ 的取值范围叫做这个函数的**值域**．

### 函数的定义域
所谓函数的定义域，就是自变量容许取值的范围，也就是自变量所取数值
的集合．

`例`求下列函数的定义域
1. $y=x+1$
2. $y=\frac{x^2+1}{x-1}$
3. $y=\sqrt{3-x}$
4. $y=\sqrt{3-x}+\sqrt{x+3}$
5. $\frac{1}{\sqrt[3]{x+4}}$
6. $\frac{\sqrt{x+1}}{x^2-5 x+6}$

解：
1. $y=x+1$ 的定义域为实数集 $R$, 即: $(-\infty,+\infty)$.
2. $y=\frac{x^2+1}{x-1}$ 的定义域为 $x \neq 1$ 的一切实数，即

$$
x \in(-\infty, 1) \cup(1,+\infty)
$$

3. $y=\sqrt{3-x}$, 要使根式有意义, 就要 $3-x \geq 0$, 即 $x \leq 3$, 即 $x \in(-\infty, 3)$.
4. $y=\sqrt{3-x}+\sqrt{x+3}$ 要使两个根式同时有意义，定义域只能是每个根式的定义域的交集。
 $3-x \geq 0$ 的解集是 $(-\infty, 3)$;
 $x+3 \geq 0$ 的解集是 $(-3,+\infty)$.

因此, $x \in(-\infty, 3) \cap(-3,+\infty)=[-3,3]$ （图 4.4）
 ![图片](/uploads/2024-11/075272.jpg)
 
 5. 要使式子 $\frac{1}{\sqrt[3]{x+4}}$ 有意义, 就要 $x+4 \neq 0$, 即 $x \neq-4$, 所以定义域是 $(-\infty,-4) \cup(-4,+\infty)$.

6. 要使式子 $\frac{\sqrt{x+1}}{x^2-5 x+6}$ 有意义, 必须且只须,

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x + 1 \geq 0 } \\
{ x ^ { 2 } - 5 x + 6 \neq 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x \geq-1 \\
x \neq 2 \quad x \neq 3
\end{array}\right.\right.
$$
  ![图片](/uploads/2024-11/abd690.jpg)

故定义域是 $[-1,2) \cup(2,3) \cup(3,+\infty)$ (图 4.5).

### 函数值域
当函数的自变量$x$ 取遍定义域 中的一切值时，所对应的函数值$ y$ 的取值范围为函数的值域．

`例` 求 $y=|x| ，(x \in R)$ 的取值范围
解：因为$|x| \ge 0$ , 所以$y$的取值范围为$y \ge 0$

### 对应法则

对应法则是因变量 y 对自变量 x 的依赖关系（即函数关系）的具体表现，它是函数概念里最本质的东西，也是区别各个不同函数的最主要的标志．对应法则的表现形式是各种各样的．一种是用数学公式来表示函数关系，叫做解析式表示法; 一种是列出对应的数值表来表示函数关系，叫做列表表示法, 还有一种是用图象来表示，叫做图象表示法

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