最后更新: 2025-06-26 07:36 查看: 581 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正比例函数与一次函数

## 正比例函数

**引入**
物理学中的虎克定律是 "在弹性限度内, 弹力跟弹簧的伸长（或缩短）成正比例"，设弹簧的原长为 $\ell_0(cm)$ ，弹簧变形后的弹簧长为 $\ell( cm )$ ，当弹簧伸长 $\Delta \ell_1=\ell_1-\ell_0(cm)$ 时，对应的弹力为 $F_1(kg)$ ；当弹簧伸长 $\Delta \ell_2=\ell_2-\ell_0(cm)$时, 对应弹力为 $F_2(kg)$, 依虎克定律有:

$$
\frac{F_2}{F_1}=\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1}
$$

也就是： $\frac{F_2}{\Delta \ell_2}=\frac{F_1}{\Delta \ell_1}=k$ ，这里 $k$ 是常数，在数值上等于弹簧伸长 1 cm 时对应的弹力数值. 因此, 弹力 $F$ 与伸长 $\Delta \ell$ 有下面的关系:

$$
F=k \Delta \ell
$$

如果两个变量 $x$ 和 $y$ 之间的相依关系是：当变量 $x$ 依某一比值变化时，变量 $y$ 按相同比值变化，我们说变量 $y$ 和变量 $x$ 成正比例变化，或者说变量 $y$是变量 $x$ 的正比例函数．

正比例函数的一般解析式是:

$$
\boxed{
y=k x, \quad k \neq 0, \quad x \in(-\infty,+\infty)
}
$$

在函数研究中常用上面的解析式作为正比例函数的定义.

### 定义
函数 $y=k x$ （ $k$ 是不等于零的常数）叫做**正比例函数**，这里常数 $k$ 叫做变量 $y$ 对变量的**比例系数**，它的数值等于自变量取数值 1 时，因变量 $y$的对应值。

### 正比例函数图像
可以使用秒点法画出正比例函数图像，当$x=0$时,$y=0$, $当x=1$时，$y=k$， 因此可以画出其图形，如下

![图片](/uploads/2024-11/adfabb.jpg){width=300px}
 从图中容易知道
 
> 正比例函数函数$y = kx$ 的图象是经过 $O(0, 0), N(1, k)$ 的一条直线．

根据比例系数k的不同，可以画出他在坐标系里的图像，如下图
  ![图片](/uploads/2024-11/35c753.jpg)
  
 #### 斜率
 
 对于同一个坐标平面, 作函数 $y=\frac{1}{2} x, y=x, y=2 x$ 的图象（图 4.12）,这里三个比例系数都是正的, 并且是依次增加的, 从图里可以看出, 按照比例系数的增加，函数的图象渐渐离开 $x$ 轴而接近 $y$ 轴。

对于同一坐标平面, 作函数 $y=-\frac{1}{4} x, y=-x, y=-3 x$ 的图象（图 4.13). 这里三个比例系数都是负的, 并且它们的绝对值也是依次增加的. 从图里可以看出，按照比例系数的绝对值增加，函数的图象也渐渐离开 $x$ 轴而接近于 $y$ 轴。

因此, 比例系数 $k$ 和直线 $y=k x$ 与 $x$ 轴正方向所成的角有关, $k$ 叫做直线 $y=k x$ 的**斜率**.
 
### 正比例函数的增减性
如果函数的值随着自变量的值增加而增加，用算式表示就是：当 $x_1<x_2$时， 有不等式 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为递增函数.
如果函数的值随着自变量的值增加而减少, 即当 $x_1<x_2$ 时, 有 $f\left(x_1\right)>$ $f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为递减函数.

> 从函数 $y=k x$ 图象可以看出, 当 $k>0$ 时, $y=k x$ 是递增函数, 当 $k<0$时, $y=k x$ 是递减函数.
 
 
 
## 一次函数
**引入**
 从北京到广州的包裹邮费为每公斤 0.9 元, 每件另加手续费 0.2 元,那么总邮费 $y$ （元）与包裹重量 $x$ （公斤）之间的函数关系就是：

$$
y=0.9 x+0.2
$$

形如

$$
\boxed{
y=k x+b
}

其中, $k, b$ 是两个常量, $k \neq 0$, 这种形式的函数称为一次函数（或线性函数）.其定义域是 $(-\infty,+\infty)$ ，值域也是 $(-\infty,+\infty)$ 。

如果 $b=0$, 那么 $y=k x+b$ 就成为 $y=k x$, 所以正比例函数是一次函数的特例。

当 $x=0$ 时, $y=b$, 这就是说 $b$ 表示直线和 $y$ 轴交点的纵坐标, 所以 $b$ 叫做直线 $y=k x+b$ 在 $y$ 轴上的**截距**.

这样，我们可以说：一次函数 $y=k x+b$ 的图象是一条具有斜率 $k$ ，而在 $y$ 轴上的截距为 $b$ 的直线.

## 一次函数的性质
设函数 $y=k x+b$ 的自变量从 $x_1$ 变到 $x_2$, 因变量则从 $y_1$ 变到 $y_2$. 设 $\Delta x=x_2-x_1$ 为自变量的改变量, $\Delta y=y_2-y_1$ 为因变量的改变量. 我们称函数改变量与自变量改变量的比 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为函数 $y$ 对于自变量 $x$ 的**平均变化率**.

由 $y_1=k x_1+b$ 和 $y_2=k x_2+b$ 得: $y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right)$ ，即：

$$
\Delta y=k \Delta x
$$

这表示一次函数的改变量与自变量的改变量成正比例变化，比例常数 $k$ 就是一次函数的斜率，因此

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=k
$$

即一次函数的变化率总是常数, 等于一次函数的斜率 $k$ (图 4.23).

![图片](/uploads/2024-11/e68c29.jpg)

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