最后更新: 2024-11-09 19:24 查看: 435 次反馈刷题

正比例函数与一次函数

## 正比例函数

**引入**
物理学中的虎克定律是 "在弹性限度内, 弹力跟弹簧的伸长（或缩短）成正比例"，设弹簧的原长为 $\ell_0(cm)$ ，弹簧变形后的弹簧长为 $\ell( cm )$ ，当弹簧伸长 $\Delta \ell_1=\ell_1-\ell_0(cm)$ 时，对应的弹力为 $F_1(kg)$ ；当弹簧伸长 $\Delta \ell_2=\ell_2-\ell_0(cm)$时, 对应弹力为 $F_2(kg)$, 依虎克定律有:

$$
\frac{F_2}{F_1}=\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1}
$$

也就是： $\frac{F_2}{\Delta \ell_2}=\frac{F_1}{\Delta \ell_1}=k$ ，这里 $k$ 是常数，在数值上等于弹簧伸长 1 cm 时对应的弹力数值. 因此, 弹力 $F$ 与伸长 $\Delta \ell$ 有下面的关系:

$$
F=k \Delta \ell
$$

如果两个变量 $x$ 和 $y$ 之间的相依关系是：当变量 $x$ 依某一比值变化时，变量 $y$ 按相同比值变化，我们说变量 $y$ 和变量 $x$ 成正比例变化，或者说变量 $y$是变量 $x$ 的正比例函数．

正比例函数的一般解析式是:

$$
\boxed{
y=k x, \quad k \neq 0, \quad x \in(-\infty,+\infty)
}
$$

在函数研究中常用上面的解析式作为正比例函数的定义.

### 定义
函数 $y=k x$ （ $k$ 是不等于零的常数）叫做**正比例函数**，这里常数 $k$ 叫做变量 $y$ 对变量的**比例系数**，它的数值等于自变量取数值 1 时，因变量 $y$的对应值。

### 正比例函数图像
可以使用秒点法画出正比例函数图像，当$x=0$时,$y=0$, $当x=1$时，$y=k$， 因此可以画出其图形，如下

![图片](/uploads/2024-11/adfabb.jpg)
 从图中容易知道
 
> 正比例函数函数$y = kx$ 的图象是经过 $O(0, 0), N(1, k)$ 的一条直线．

根据比例系数k的不同，可以画出他在坐标系里的图像，如下图
  ![图片](/uploads/2024-11/35c753.jpg)
  
 #### 斜率
 
 对于同一个坐标平面, 作函数 $y=\frac{1}{2} x, y=x, y=2 x$ 的图象（图 4.12）,这里三个比例系数都是正的, 并且是依次增加的, 从图里可以看出, 按照比例系数的增加，函数的图象渐渐离开 $x$ 轴而接近 $y$ 轴。

对于同一 $\cdot$ 坐标平面, 作函数 $y=-\frac{1}{4} x, y=-x, y=-3 x$ 的图象（图 4.13). 这里三个比例系数都是负的, 并且它们的绝对值也是依次增加的. 从图里可以看出，按照比例系数的绝对值增加，函数的图象也渐渐离开 $x$ 轴而接近于 $y$ 轴。

因此, 比例系数 $k$ 和直线 $y=k x$ 与 $x$ 轴正方向所成的角有关, $k$ 叫做直线 $y=k x$ 的**斜率**.
 
### 正比例函数的增减性
如果函数的值随着自变量的值增加而增加，用算式表示就是：当 $x_1<x_2$时， 有不等式 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为递增函数.
如果函数的值随着自变量的值增加而减少, 即当 $x_1<x_2$ 时, 有 $f\left(x_1\right)>$ $f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为递减函数.

> 从函数 $y=k x$ 图象可以看出, 当 $k>0$ 时, $y=k x$ 是递增函数, 当 $k<0$时, $y=k x$ 是递减函数.
 
 
 
## 一次函数
**引入**
 从北京到广州的包裹邮费为每公斤 0.9 元, 每件另加手续费 0.2 元,那么总邮费 $y$ （元）与包裹重量 $x$ （公斤）之间的函数关系就是：

$$
y=0.9 x+0.2
$$

形如

$$
\boxed{
y=k x+b
}

其中, $k, b$ 是两个常量, $k \neq 0$, 这种形式的函数称为一次函数（或线性函数）.其定义域是 $(-\infty,+\infty)$ ，值域也是 $(-\infty,+\infty)$ 。

如果 $b=0$, 那么 $y=k x+b$ 就成为 $y=k x$, 所以正比例函数是一次函数的特例。

当 $x=0$ 时, $y=b$, 这就是说 $b$ 表示直线和 $y$ 轴交点的纵坐标, 所以 $b$ 叫做直线 $y=k x+b$ 在 $y$ 轴上的**截距**.

这样，我们可以说：一次函数 $y=k x+b$ 的图象是一条具有斜率 $k$ ，而在 $y$ 轴上的截距为 $b$ 的直线.

## 一次函数的性质
设函数 $y=k x+b$ 的自变量从 $x_1$ 变到 $x_2$, 因变量则从 $y_1$ 变到 $y_2$. 设 $\Delta x=x_2-x_1$ 为自变量的改变量, $\Delta y=y_2-y_1$ 为因变量的改变量. 我们称函数改变量与自变量改变量的比 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为函数 $y$ 对于自变量 $x$ 的**平均变化率**.

由 $y_1=k x_1+b$ 和 $y_2=k x_2+b$ 得: $y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right)$ ，即：

$$
\Delta y=k \Delta x
$$

这表示一次函数的改变量与自变量的改变量成正比例变化，比例常数 $k$ 就是一次函数的斜率，因此

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=k
$$

即一次函数的变化率总是常数, 等于一次函数的斜率 $k$ (图 4.23).

![图片](/uploads/2024-11/e68c29.jpg)

变化率为常数说明：
1. 不管 $x_1, x_2$ 在区间的什么位置, 即 $\Delta x$ 不管在何处产生, 变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是一样的；
2. 变化时时刻刻在发生，不管 $\Delta x$ 多小，变化率也是一样的，这就表明，函数 $y$ 随着 $x$ 而均匀变化。

反过来看, 如果一个函数的平均变化率等于一个常量 $k$, 那么这个函数是一次函数.

## 方程 $a x+b y+c=0$ 的图象
在前面的内容中，我们已经知道函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的图象是一条直线，但是无论 $k$ 和 $b$ 取什么数值，一次函数的图象仅是坐标平面上直线集合中的一部分, 因为 $k \neq 0$, 所以直线 $y=k x+b(k \neq 0)$, 不能表示 $x$ 轴以及和 $x$ 轴平行的任何直线. 又当直线向上方向与 $x$ 轴正方向所成角 $\alpha=90^{\circ}$ 时， $k=\tan \alpha$ 不存在, 这就是说直线 $y=k x+b(k \neq 0)$, 不能表示 $y$ 轴以及和 $y$轴平行的直线. 我们把函数关系 $y=k x+b$ ，也可以看做是关于 $x$ 和 $y$ 的一次方程

$$
k x-y+b=0
$$

这样, 我们也就可以知道二元一次方程

$$
k x-y+b=0
$$

的图象是一条直线。
现在，我们来研究一般的情况，证明任何一个二元一次方程

$$
a x+b y+c=0 \quad(a, b \text { 不同时为零 })
$$

的图象都是直线。
根据 $a, b$ 可取值的条件, 可以看出要证明这个结论应该分三种情况, 就是:
- $a \neq 0, \quad b \neq 0$
- $a=0, \quad b \neq 0$
- $a \neq 0, \quad b=0$
1. $a \neq 0, b \neq 0$, 这时方程可以化为:

$$
y=-\frac{a}{b} x-\frac{c}{b}
$$

这是 $x$ 的一次函数, 我们已经知道它的图象是一条直线, 这条直线的斜率是 $-\frac{a}{b}$, 在 $y$ 轴上的截距是 $-\frac{c}{b}$. 如果 $c=0$, 那么这条直线就经过原点.
2. $a=0, b \neq 0$, 这时方程可化为:

$$
y=0 x-\frac{c}{b}
$$

这里可以看到, 不论变量 $x$ 取什么实数值, 和它对应的 $y$ 的值总等于 $-\frac{c}{b}$.所以它的图象是平行于 $x$ 轴，并且和 $x$ 轴的距离等于 $-\frac{c}{b}$ 的直线. 当 $-\frac{c}{b}>0$ 时, 直线在 $x$ 轴上方; 当 $-\frac{c}{b}<0$ 时, 直线在 $x$ 轴下方, 特别,当 $c=0$ 时, $-\frac{c}{b}=0$, 这时 $y=0$, 它的图象就是 $x$ 轴（图 4.24）。
3. $a \neq 0, b=0$, 这时方程可化为:

$$
x=0 \cdot y-\frac{c}{a}
$$

可以看到, 不论变量 $y$ 取什么数值, 和它对应的 $x$ 的值总等于 $-\frac{c}{a}$. 所以它的图象是平行 $y$ 轴, 并且和 $y$ 轴的距离是 $-\frac{c}{a}$ 的一条直线. 当 $-\frac{c}{a}>0$时, 直线在 $y$ 轴的右边, 当 $-\frac{c}{a}<0$ 时, 直线在 $y$ 轴的左边, 特别, 当 $c=0$ 时, $-\frac{c}{a}=0$, 这时 $x=0$, 它的图象就是 $y$ 轴（图 4.25）。
 ![图片](/uploads/2024-11/703ef7.jpg)
 
 总结上面这三种情况, 我们得到: 方程 $a x+b y+c=0 \quad(a, b$ 不同时等于
零）的图象是一条直线。
以后我们把这个图象, 简称为直线 $a x+b y+c=0$.

`例` 在同一坐标系里作以下方程的图象:

$$
x-y+2=0, \quad 2 x+y+1=0
$$

解: 列表:
 ![图片](/uploads/2024-11/2bc481.jpg)
 作图
 
  ![图片](/uploads/2024-11/9f0010.jpg)

## 一次函数总结与训练

1.一次函数与正比例函数的概念
![图片](/uploads/2022-12/image_202212294bbb338.png)
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
3.一次函数的图象与性质

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229e593fa7.png)

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229a4b00c0.png)

`例` 王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间x（分钟）与离家距离 y（米）之间的关系是（    D    ）

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229b4673cb.png)

`例`星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（C）

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229b7fa717.png)
A．小强从家到公共汽车站步行了2千米

B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟

C．公交车的平均速度是34千米/时

D．小强乘公交车用了30分钟

`例`  已知函数 $y=（2m+1）x+m﹣3 $；
(1)若该函数是正比例函数，求m的值；
(2)若函数的图象平行直线$y=3x﹣3$，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(4)若这个函数图象过点$（1，4）$，求这个函数的解析式.

解: (1) $\because$ 函数是正比例函数, $\therefore m-3=0$, 且 $2 m+1 \neq 0$, 解得 $m=3$.
(2) $\because$ 函数的图象平行于直线 $y=3 x-3, \therefore 2 m+1=3$, 解得 $m=1$.
(3) $\because y$ 随着 $x$ 的增大而减小, $\therefore 2 m+1<0$, 解得 $m<-\frac{1}{2}$.
(4) $\because$ 该函数图象过点 $(1,4)$, 代入得 $2 m+1+m-3=4$, 解得 $m=2, \therefore$ 该函数的解析式为 $y=5 x-1$.

`例` 如图, 一次函数 $y_1=x+b$ 与一次函数 $y_2=k x+4$ 的图 象交于点 $P(1,3)$, 则关于 $x$ 的不等式 $x+b>k x+4$ 的解集是 ( C )
![图片](/uploads/2022-12/image_20221229e002101.png)
A. $x>-2$
B. $x>0$
C. $x>1$
D. $x<1$
【分析】观察图象, 两图象交点为 $P(1 ， 3)$, 当 $x>1$ 时, $y_1$ 在 $y_2$ 上方, 据此解题即可.
【答案】 $\mathrm{C}$.

`例` 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？

![图片](/uploads/2022-12/image_202212295b03cdd.png)

`例`解: 设一次函数的解析式为 $y=k x+35$, 将(160,25)代入, 得 $160 k+35=25$, 解得 $k=-\frac{1}{16}$,
所以一次函数的解析式为 $y=-\frac{1}{16} x+35$. 再将 $x=240$ 代入 $y=-\frac{1}{16} x+35$, 得 $y=-\frac{1}{16} \times 240+35=20$,
即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升.

画出下列函数的图象：
1. $y=2 x, \quad(x \in R )$;
2. $y=2 x, \quad(0 \leq x \leq 5)$;
3. $y=2 x, \quad(x$ 是整数).

解： 1 的图象是图 4.35(a) 的直线 $A B ; 2$ 的图象是图 4.35(b) 的线段 $C D ; 3$ 的图象是图 4.35(c) 的一些离散的点.
 ![图片](/uploads/2024-11/098f98.jpg)
 
 从这里我们再次体会到, 当谈论函数时是离不开定义域的, 因为若函数表达式一样，而其定义域不同，则它们的图象会差之干里，故例中 $1 、 2 、 3$ 三个函数不能认为是相同的函数。

有时用公式表示的函数，在它的定义域的不同部分可以用不同的公式表示，即可用若干公式表示变量间的关系，请看下例：

`例` 火车在 9 小时内从 A 行驶到 B ，在最初三小时内，它的行驶速度为 50 公里/小时, 接下来它停止了两小时, 在最后的四小时内, 它以速度 60 公里/小时行驶到达 B. 试表示行车路程和时间的关系。

解：以 $x$ 表示时间，单位为小时；以 $y$ 表示走过的路程，单位为公里，我们就

得到下面的函数式 $y=f(x)$ :

$$
y=f(x)= \begin{cases}50 x & 0 \leq x \leq 3 \\ 150 & 3 \leq x \leq 5 \\ 150+60(x-5) & 5 \leq x \leq 9\end{cases}
$$

显见，对于定义域 $[0,9]$ 内每一个 $x$ 值， $y$ 就有唯一确定的值和它对应，因而 $f(x)$ 是个定义在 $[0,9]$ 上的函数, 但这个函数是用几个不同的式子给出来的,这个函数的图象画在图 4.36 中.
 ![图片](/uploads/2024-11/20e66a.jpg)
 
 `例`  画出函数 $y=|x|$ 的图象.
解：这个函数的定义域是一切实数，按照绝对值的定义我们有：

$$
y=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/341713.jpg)

图象是折线（图4.37）。

`例`已知 $f(x)=|x+1|+\sqrt{(x-2)^2}$
1. 求函数的定义域;
2. 当 $-1 \leq x<2$ 时, 化简函数的解析式;
3. 作出函数的图象, 并说明函数的值域是什么?

解:
1. 对于 $|x+1|, x$ 可取一切实数; 对于 $\sqrt{(x-2)^2}, x$ 必须满足 $(x-2) \geq 0$,这个不等式对于一切实数都成立，所以函数的定义域是一切实数.
2. $\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|, f(x)=|x+1|+|x-2|$, 要脱掉绝对值符号需分段讨论. 我们知道 $x=-1$ 时, $|x+1|=0 ; x=2$ 时, $|x-2|=0$, 故 $-1,2$ 把数轴分为三段: $(-\infty,-1),[-1,2),[2,+\infty)$.
- 当 $x \in(-\infty,-1)$ 时,

$$
f(x)=|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-2 x+1
$$

- 当 $x \in[-1,2)$ 时, $f(x)=(x+1)-(x-2)=3$
- 当 $x \in[2,+\infty)$ 时, $f(x)=(x+1)+(x-2)=2 x-1$

即:

$$
f(x)= \begin{cases}-2 x+1 & x<-1 \\ 3 & -1 \leq x<2 \\ 2 x-1 & x \geq 2\end{cases}
$$
3. 画出的图象是图 4.38. 由观察图象知:
- 当 $x<-1$ 时, $f(x)=-2 x+1>3$;
- 当 $-1 \leq x<2$ 时, $f(x)=3$;
- 当 $x \geq 2$ 时, $f(x)=2 x-1 \geq 3$

所以函数的值域是 $f(x) \geq 3$ 的一切实数.
 ![图片](/uploads/2024-11/ca05ac.jpg)
 
 
 下面我们再来看一类函数作为本章的结束.
`例` 邮局规定，寄往外埠普通信件重量不超过 20 克者邮资 8 分，重量超过 20 克但不超过 40 克者，邮资 1 角 6 分，重量超过 40 克但不超过 60 克者，邮资 2 角 4 分，依此每增加 20 克邮资增加 8 分，因此邮资是重量 $x$ 的函数，函数的图象为图 4.39.
 ![图片](/uploads/2024-11/a12d9c.jpg)
 
 这种类型的函数称为阶梯函数, 它的特点是: 自变量 $x$ 的变化范围分成若干区间, 在每个区间中, 因变量 $y$ 的值是不变的, 但对应不同区间, $y$ 值是可

以不同的, 在每个区间的端点处, 因变量 $y$ 的值有一个跳跃, 也就是说函数的图象不是连续的, 而有间断的地方.

上例中的函数从总体看也是递增变化的, 但有时不增也不减处在平稳状态, 这样的函数称为不减的.

定义
如果对于开区间 $(a, b)$ （或闭间 $[a, b]$ ）的任意两个自变量的值 $x_1$ 和 $x_2$ :
- 当 $x_1<x_2$ 时, 可以推出 $f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为在开区间 $(a, b)$ （或闭区间 $[a, b]$ 上）不减.
- 当 $x_1<x_2$ 时, 可以推出 $f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为在开区间（或闭区间 $[a, b]$ 上不增.

刷题

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