最后更新: 2023-10-03 11:24 ● 参与者查看: 310 次纠错分享评论参与项目

一次函数

**一、函数**

1. 常量与变量
   数值发生变化的量 叫变量, 数值始终不变的量 叫常量.
   2.函数定义:
   在一个变化过程中, 如果有两个变量 $x$ 与 $y$, 并 且对于 $x$ 的每一个确定的值, $y$ 都有唯一确定的值 与其对应, 那么我们就说 $x$ 是自变量, $y$ 是 $x$ 的函数.
2. 函数的图象: 对于一个函数, 如果把自 变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐 标和纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成 的图形, 就是这个函数的图象.
   4.描点法画图象的步骤：列表，描点、连线
   5.函数的三种表示方法:
   列表法 解析式法 图象法

**一次函数**
1.一次函数与正比例函数的概念
![图片](/uploads/2022-12/image_202212294bbb338.png)
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
3.一次函数的图象与性质

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229e593fa7.png)

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229a4b00c0.png)

例1 王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间x（分钟）与离家距离 y（米）之间的关系是（    D    ）

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229b4673cb.png)

列2：星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（C）

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229b7fa717.png)
A．小强从家到公共汽车站步行了2千米

B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟

C．公交车的平均速度是34千米/时

D．小强乘公交车用了30分钟

例3  已知函数 $y=（2m+1）x+m﹣3 $；
(1)若该函数是正比例函数，求m的值；
(2)若函数的图象平行直线$y=3x﹣3$，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(4)若这个函数图象过点$（1，4）$，求这个函数的解析式.

解: (1) $\because$ 函数是正比例函数, $\therefore m-3=0$, 且 $2 m+1 \neq 0$, 解得 $m=3$.
(2) $\because$ 函数的图象平行于直线 $y=3 x-3, \therefore 2 m+1=3$, 解得 $m=1$.
(3) $\because y$ 随着 $x$ 的增大而减小, $\therefore 2 m+1<0$, 解得 $m<-\frac{1}{2}$.
(4) $\because$ 该函数图象过点 $(1,4)$, 代入得 $2 m+1+m-3=4$, 解得 $m=2, \therefore$ 该函数的解析式为 $y=5 x-1$.

例 4 如图, 一次函数 $y_1=x+b$ 与一次函数 $y_2=k x+4$ 的图 象交于点 $P(1,3)$, 则关于 $x$ 的不等式 $x+b>k x+4$ 的解集是 ( C )
![图片](/uploads/2022-12/image_20221229e002101.png)
A. $x>-2$
B. $x>0$
C. $x>1$
D. $x<1$
【分析】观察图象, 两图象交点为 $P(1 ， 3)$, 当 $x>1$ 时, $y_1$ 在 $y_2$ 上方, 据此解题即可.
【答案】 $\mathrm{C}$.

例5 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？

![图片](/uploads/2022-12/image_202212295b03cdd.png)

解: 设一次函数的解析式为 $y=k x+35$, 将(160,25)代入, 得 $160 k+35=25$, 解得 $k=-\frac{1}{16}$,
所以一次函数的解析式为 $y=-\frac{1}{16} x+35$. 再将 $x=240$ 代入 $y=-\frac{1}{16} x+35$, 得 $y=-\frac{1}{16} \times 240+35=20$,
即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升.

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