最后更新: 2025-10-31 16:56 查看: 1131 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

反比例函数

## 反比例函数的概念
`例`一个物体作匀速运动, 行程 120 米, 则运动速度 $v$ （米/秒）与所需时间 $t$ (秒) 之间有关系:

$$
v=\frac{120}{t}
$$

由这关系推知 $v$ 和 $t$ 成反比例变化, 事实上, 设 $t_1, t_2$ 是变量 $t$ 的任意两个不等于零的数值, $v_1$ 和 $v_2$ 分别是它们的对应值, 于是

$$
\frac{v_2}{v_1}=\frac{\frac{120}{t_2}}{\frac{120}{t_1}}=\frac{\frac{1}{t_2}}{\frac{1}{t_1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{v_2}{v_1}=\frac{t_1}{t_2}
$$

这就是说, 变量 $v$ 和变量 $t$ 的倒数成正比例, 因此 $v$ 是 $t$ 的反比例函数, 它的解析式是：

$$
v=\frac{120}{t} \quad(t \neq 0)
$$

由上式得到 $v t=120$, 或 $v_2 t_2=v_1 t_1=$ 常数, 这也就是说, 如果两个变量成反比例变化, 那么这两个变量对应值的乘积恒等于常数, 反过来也对.

### 定义
形如 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数, $k \neq 0)$ 的函数称为反 比例函数, 其中 $x$ 是自变量, $y$ 是 $x$ 的函数, $k$ 是比例 系数.
三种表达式方法: $y=\frac{k}{x}$ 或 $x y=k x$ 或 $y=k x^{-1}(k \neq 0)$.
防错提醒:
(1) $k \neq 0$;
(2) 自变量 $x \neq 0$;
(3) 函数 $y \neq 0$.

### 反比例函数的图像
下面我们来研究函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象. 先来讨论 $k$ 是正数的情形, 例如 $k=6$ 。

任意取自变量 $x$ 的一些值（除零以外）, 算出 $y$ 的对应值,列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/2adfdb.jpg)
 
 现在我们再来研究 $y=\frac{6}{x}$ 的图象的一些特点.
当 $x$ 的绝对值逐渐扩大的时候， $y$ 的绝对值逐渐缩小，但是不论取 $x$ 等于什么值， $y$ 的值都不能是零，因此， $y=\frac{6}{x}$ 的图象向右和向左都逐渐接近于 $x$轴，但是无论什么时候也不能达到 $x$ 轴。

同样当 $x$ 的绝对值逐渐缩小的时候， $y$ 的绝对值逐渐扩大，但是 $x$ 的值不能是零。因此 $y=\frac{6}{x}$ 的图象向上和向下都逐渐接近于 $y$ 轴，但是无论什么时候也不能达到 $y$ 轴。

如果 $k$ 是负数, 函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象也有同样的特点, 不过这时图象一个分支在第二象限，另一个分支在第四象限（图4.17）。
$y=\frac{k}{x}$ 的图象叫做**双曲线**。

> 我们也容易看出：如果 $k>0$ ，它在区间 $(-\infty, 0)$ 或 $(0,+\infty)$ 上是递减函数; 如果 $k<0$, 它在区间 $(-\infty, 0)$ 或 $(0,+\infty)$ 上是递增函数.

![图片](/uploads/2024-11/1ff9fa.jpg)
 
## 反比例函数总结

(1) 反比例函数的图象: 反比例函数 $y=\frac{k}{x} \quad({k} \neq 0)$ 的图象是双曲线, 它既是轴对称图形又是中心对称图形.

反比例函数的两条对称轴为直线 $y=x$ 和 $y=-x$; 对称中心是原点.

(2) 反比例函数的性质

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229634696e.png)

#### 反比例函数比例系数 $k$ 的几何意义
$k$ 的几何意义 : 反比例函数图象上的点 $(x, y)$ 具有两坐标之积 $(x y=k)$ 为常数这一特点,
即过双曲线上任意一点, 向两坐标轴作垂线, 两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 $|k|$.

规律: 过双曲线上任意一点, 向两坐标轴作垂线, 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 $\frac{|k|}{2}$.
![图片](/uploads/2023-02/image_20230205763776c.png)

`例` 已知点 $P(1,-3)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, 则 $k$ 的值是
(B)
A. $3$
B. $-3$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $-\dfrac{1}{3}$

`例` 若 $y=(a+1) x^{a^2-2}$ 是反比例函数，则 $a$ 的值为 (A)
A. $1$
B. $-1$
C. $\pm 1$
D. 任意实数

`例` 已知点 $\mathrm{A}\left(1, y_1\right), \mathrm{B}\left(2, y_2\right), \mathrm{C}\left(-3, y_3\right)$ 都在反比 例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上, 则 $y_1, y_2, y_3$ 的大小关系是
（D）
A. $y_3<y_1<y_2$
B. $y_1<y_2<y_3$
C. $y_2<y_1<y_3$
D. $y_3<y_2<y_1$

`例` 如图, 两个反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 和 $y=\frac{2}{x}$ 在第一象 限内的图象分别是 $C_1$ 和 $C_2$, 设点 $P$ 在 $C_1$ 上, $P A \perp$ $x$ 轴于点 $A$, 交 $C_2$ 于点 $B$, 则 $\triangle P O B$ 的面积为 （1）

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229a9f9ff8.png)

`例` 如图, 已知点 $A, B$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 上, $A C \perp x$ 轴于 点 $C, B D \perp y$ 轴于点 $D, A C$ 与 $B D$ 交于点 $P, P$ 是 $A C$ 的中点, 若 $\triangle A B P$ 的面积为 6 , 则 $k=$
![图片](/uploads/2022-12/image_20221229a7a4c08.png)

解：

$$
\begin{aligned}
& S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2} S_{\text {四边形 } B F C P}, \\
& =\frac{1}{2}\left(S_{\text {四边形 } B D O F}-S

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