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概率论与数理统计
第十篇 回归分析
引言
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更新:
2025-02-22 08:46
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引言
早在 19 世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿（Galton）在研究父代与子代身高的遗传问题时, 收集了 1078 对父与子的身高数据. 设 $x$ 表示父亲身高, $y$ 表示成年儿子的身高, 将这 1078 对父与子的身高数据放在直角坐标系中，发现这 1078 个点基本上在一条直线附近，该直线方程为 (单位: 英寸, 1 英寸 $=2.54 cm$ ): $$ y=33.73+0.516 x . $$ 结果表明: （1）父亲身高每增加 1 个单位，其儿子的身高平均增加 0.516 个单位. （2）高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但是一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父辈们的平均身高. 例如: $x=80$, 则 $y=75.01$. （3）矮个子父亲的儿子们平均身高要比父辈们平均身高要高一些. 例如: $x=60$, 则 $y=64.69$. 这体现了子代的平均身高有向中心回归的趋势，使得一段时间内人的平均身高相对稳定. 之后回归分析的思想渗透到数理统计的其他分支中，应用也越来越广泛。 回归分析研究的是变量与变量间的关系。通常变量具有两类关系：一类称为**确定性关系**，即变量间的关系是完全确定的，可以用函数关系表示。例如，欧姆定律中电压 $U$ 与电阻 $R$ 、电流 $I$ 之间的关系 $U=I R$ ；圆的面积 $S$ 与半径 $R$ 之间的关系 $S=\pi R^2$ 等。另一类称为**相关关系**，即变量间有关系，但是不能用函数来表示。例如，人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额间的关系等，它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。具有相关关系的变量之间虽然具有某种不确定性，但通过对它们的不断观察，可以探索出它们之间的统计规律，回归分析就是研究这种统计规律的一种数学方法。 本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验及相应的预测和控制等问题.
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